Анализу для подготовки к экзамену II семестр, 2006-2007 уч год



Скачать 62.84 Kb.
Дата20.12.2012
Размер62.84 Kb.
ТипДокументы
ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ

(II семестр, 2006–2007 уч. год)

Лектор: Пахомова Е.Г.





  1. ФНП: определение, способы заданий, предел и непрерывность.

  2. Определение частной производной. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных. Частные производные высших порядков.

  3. Дифференцируемость ФНП: определение, необходимое (доказать) и достаточное (без доказательства) условия дифференцируемости ФНП.

  4. Дифференциал ФНП: определение, геометрический смысл дифференциала функции двух переменных. Дифференциалы высших порядков.

  5. Частные производные и дифференциал сложной функции. Инвариантность формы записи первого дифференциала. Неинвариантность формы записи дифференциалов высших порядков.

  6. Неявные функции: теорема существования, дифференцирование неявно заданных функций одной и нескольких переменных.

  7. Производная по направлению: определение, физический смысл, вычислительная формула.

  8. Градиент: определение, свойства.

  9. Экстремум ФНП: определение экстремума и точки экстремума, необходимое и достаточное условия экстремума.

  10. Условный экстремум: определение, нахождение.

  11. Первообразная: определение, достаточное условие существования первообразной, теорема о количестве первообразных.

  12. Неопределенный интеграл: определение, основные свойства неопределенного интеграла, основные методы интегрирования.

  13. Рациональные дроби: определение правильной и неправильной рациональной дроби, определение простейших рациональных дробей, интегрирование простейших рациональных дробей

  14. Интегрирование рациональных дробей: основная теорема алгебры рациональных функций, метод неопределенных коэффициентов.

  15. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций.

  16. Интегрирование некоторых иррациональностей.

  17. Определенный интеграл: определение, физический и геометрический смысл, условия существования, основные свойства.

  18. Определенный интеграл с переменным верхним пределом, формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле.

  19. Геометрические приложения определенного интеграла.

  20. Приближенное вычисление определенных интегралов.

  21. Несобственные интегралы I и II рода: определение, сходящиеся и расходящиеся несобственные интегралы, геометрический смысл сходящихся несобственных интегралов. Признаки сходимости.

  22. Интегралы, зависящие от параметра: определение собственного и несобственного интеграла, зависящего от параметра, его непрерывность и дифференцируемость по параметру.

  23. Числовые ряды: определение числового ряда, его суммы, сходящиеся и расходящиеся ряды. Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости.


  24. Знакоположительные и знакоотрицательные ряды. Необходимое и достаточное условие сходимости знакоположительного ряда. Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов (признаки сравнения, Даламбера, Коши, интегральный).

  25. Знакопеременные ряды. Теорема Лейбница о знакочередующемся ряде. Условная и абсолютная сходимость. Обобщение признака Даламбера и Коши. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов. Признаки Дирихле и Абеля.

  26. Функциональные ряды: определение, область сходимости функционального ряда. Сумма функционального ряда.

  27. Равномерная сходимость функциональных рядов: определение, признак Коши и признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда, свойства равномерно сходящихся рядов.

  28. Степенной ряд: определение, теорема Абеля и ее следствие, радиус и интервал сходимости степенного ряда, свойства степенных рядов.

  29. Разложение функций в степенные ряды: ряд Тейлора и Маклорена, условия разложения функции в ряд Тейлора. Ряды Маклорена функций , , , , , (вывод).

  30. Тригонометрический ряд: определение, ряд Фурье для функций с периодом , ряд Фурье для четных и нечетных функций. Достаточные условия разложимости периодических функций в ряд Фурье. Разложение в ряд Фурье непериодических функций, заданных на интервале или .

  31. Интеграл Фурье. Достаточные условия представления функции в виде интеграла Фурье. Интеграл Фурье для четных и нечетных функций. Представление интегралом Фурье функций, заданных на полуоси.



Упражнения


  1. Найти , если , . Сделать вывод об инвариантности формы дифференциалов высших порядков ФНП.

  2. При каком условии интеграл представляет собой рациональную функцию?

  3. При каком условии интеграл () представляет собой алгебраическую функцию?

  4. В каком случае интеграл представляет собой элементарную функцию (ℕ или ).?

  5. Получить рекуррентные формулы для вычисления интегралов и (ℕ и ).

  6. Получить рекуррентные формулы для вычисления интегралов и (ℕ и ).

  7. Получить рекуррентную формулу для вычисления интегралов и (ℕ и ).

  8. Получить рекуррентную формулу для вычисления интеграла (ℕ).

  9. Вывести формулу:

,

где , – некоторые числа (выразить их через ,,).

  1. Вывести формулу:

,

где ,, – некоторые числа (выразить их через ,,), (ℕ или ).

  1. Доказать, что определенный интеграл от суммы двух функций равен сумме определенных интегралов от слагаемых.

  2. Доказать, что если на , то .

  3. Получить рекуррентные формулы для вычисления интегралов , и (ℕ и ).

  4. Показать, что если – функция периодическая с периодом , то не зависит от (Подсказка: докажите, что он равен при любом ).

  5. Докажите, что если функция – нечетная и периодическая с периодом , то также является периодической функцией с тем же периодом (Подсказка: используйте тот факт, что для периодической функции с периодом не зависит от ).

  6. Показать, что если функция нечетная, то – функция четная. Будет ли – нечетной, если – четная?

  7. Доказать, что . Найдите производные:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

  1. Найти производную по от функции заданной

а) неявно: .

б) параметрически: , .

  1. Найти пределы:

а) ; б) .

  1. Найдите длину линии, заданной уравнением .

  2. Найдите длину дуги линии , от начала координат до ближайшей точки с вертикальной касательной.

  3. Доказать, что сумма сходящегося и расходящегося ряда – расходящийся ряд.

  4. Доказать признак Коши сходимости знакоположительного ряда.

  5. Доказать, что если ряды и сходятся абсолютно, то их линейная комбинация – абсолютно сходящийся ряд.

  6. Доказать, что если ряд сходится абсолютно, а ряд сходятся условно, то их линейная комбинация – условно сходящийся ряд.

  7. Доказать, что если ряды и сходятся, и для любого имеет место равенство , то ряд – тоже сходится (Подсказка: рассмотреть неравенство ).

  8. Доказать, что если ряд сходится, то ряд – тоже сходится. Показать, что обратное неверно.

  9. Доказать, что если ряды и сходятся, то ряд – тоже сходится (Подсказка: доказать и использовать неравенство ).

  10. Доказать, что если ряды и сходятся, то ряд – тоже сходится.

  11. Пусть знакоположительные ряды и расходятся. Что можно сказать о сходимости рядов и ?

  12. Доказать, что если ряд сходится равномерно на отрезке , то ряд тоже сходится равномерно на этом отрезке.

  13. Доказать, что если ряд сходится в точке , то он сходится абсолютно для любого .

  14. Если ряд имеет радиус сходимости , а ряд – радиус сходимости , то какой радиус сходимости имеют ряды а) ; б) ?

  15. Доказать признак Абеля.

  16. Функция удовлетворяет условиям:

а) , ;

б) , .

Какие из ее коэффициентов Фурье равны нулю?





Похожие:

Анализу для подготовки к экзамену II семестр, 2006-2007 уч год iconАнализу для подготовки к экзамену III семестр, 2006-2007 уч год
Дифференциальные уравнения 1-го порядка: определение дифференциального уравнения, его решения; задача Коши; общее, частное, особое...
Анализу для подготовки к экзамену II семестр, 2006-2007 уч год iconПособия, разработанные с участием фипи: 2005-2006 год
Оксфордские тесты для подготовки к единому государственному экзамену/ Марк Харрисон, консультант В. Симкин, издательство Оксфордского...
Анализу для подготовки к экзамену II семестр, 2006-2007 уч год iconДля подготовки к экзамену по высшей геодезии для аф-iv (2005/2006 год)
Связь между пространственными геодезическими координатами и декартовыми (формула Боуринга)
Анализу для подготовки к экзамену II семестр, 2006-2007 уч год iconВопросы к экзамену по математическому анализу второй семестр, весна2003

Анализу для подготовки к экзамену II семестр, 2006-2007 уч год iconВопросы для подготовки к экзамену по архитектурной светологии IV курс (7 семестр), дневное отделение (2010-2011 уч. Год)
Световые характеристики окружающей среды, какие из них используются в проектировании естественного освещения?
Анализу для подготовки к экзамену II семестр, 2006-2007 уч год iconПеречень вопросов к экзамену по математическому анализу (1-4 семестр) для студентов математического факультета (заочное отделение) по направлению 010501. 65 «Прикладная математика и информатика»

Анализу для подготовки к экзамену II семестр, 2006-2007 уч год iconУчебное пособие для подготовки к экзамену Издание четвертое Харьков «Одиссей» 2006 ббк 67. 9 М45
Данное учебное пособие является основой для подготовки к экзамену по истории государства и права Украины. Получение отличной оценки...
Анализу для подготовки к экзамену II семестр, 2006-2007 уч год iconВопросы для подготовки к экзамену (фаи, 2 семестр)
Дробей (2 теоремы о разложении). Простейшие алгебраические дроби и их интегрирование
Анализу для подготовки к экзамену II семестр, 2006-2007 уч год iconПеречень вопросов к экзамену по математическому анализу (1-4 семестр) для студентов математического факультета (заочное отделение) по направлению 010501. 65 «Прикладная математика и информатика»
Интеграл как функция верхнего предела: непрерывность, дифференцируемость, формула Ньютона-Лейбница
Анализу для подготовки к экзамену II семестр, 2006-2007 уч год iconВопросы к экзамену по математическому анализу 1 семестр, специальность математика
Функции, отображения, образы, прообразы и их свойства. Инъекция, сюръекция, биекция. Примеры. Композиция отображений
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org