Лекция №13 Линейные непрерывные функционалы



Скачать 143.36 Kb.
страница1/4
Дата20.12.2012
Размер143.36 Kb.
ТипЛекция
  1   2   3   4
Лекция № 13
Линейные непрерывные функционалы
Ранее мы рассматривали линейные функционалы в линейных пространствах. Как обычно, функционал – это отображение топологического линейного пространства в поле (действительных или комплексных) чисел:

.

Функционал называется непрерывным в точке , если существует такая окрестность точки , что

.

Функционал непрерывен всюду в , если он непрерывен в любой точке топологического векторного пространства .

Сейчас нас в основном интересуют линейные функционалы, т.е. аддитивные и однородные функционалы, определенные на линейном топологическом пространстве :

, , .

Если – конечномерное топологическое линейное пространство, то любой линейный функционал непрерывен в нем (докажите это!). В общем случае это, вообще говоря, не так.

Лемма 1. Если линейный функционал непрерывен в какой-либо одной точке топологического векторного пространства , то он непрерывен всюду в gif" name="object23" align=absmiddle width=20 height=18>.

Доказательство. Если функционал непрерывен в , то существует окрестность этой точки такая, что

.

Если теперь – любая точка из , то положим

.

Ясно, что является окрестностью точки , и если , то , где . Тогда в силу линейности функционала



Утверждение доказано.

Таким образом, для непрерывности линейного функционала на топологическом векторном пространстве достаточно его непрерывности в одной точке, например, в нуле.

Если – пространство с первой аксиомой счетности, то непрерывность линейного функционала на можно сформулировать в терминах последовательностей: функционал называется непрерывным в точке , если из следует, что . Необходимо доказать эквивалентность этого определения непрерывности исходному (естественно, в пространствах с первой аксиомой счетности). Докажите это!

Теорема 1. Для того чтобы линейный функционал был непрерывен на топологическом векторном пространстве , необходимо и достаточно, чтобы существовала такая окрестность нуля в , на которой функционал ограничен.

Доказательство. Если функционал непрерывен в точке , то существует окрестность нуля , на которой

, т.е. он ограничен на .

Обратно, пусть – такая окрестность нуля, на которой ограничен, т.е. , и пусть . Тогда есть такая окрестность нуля, на которой . Тем самым доказана непрерывность в точке , а значит и всюду. Теорема доказана.

Задача 1. Если линейный функционал непрерывен на топологическом векторном пространстве , то подпространство



замкнуто.

Решение. Предположим, что . Тогда существует окрестность точки такая, что . Поскольку – точка прикосновения для , то не пусто. Если , то . В силу произвольности получаем, что , т.е. , т.е. подпространство замкнуто.

Задача 2. Если линейный функционал на топологическом векторном пространстве таков, что подпространство



замкнуто, то функционал непрерывен.

Линейные функционалы на нормированных пространствах. Пусть рассматриваемое пространство нормировано. По теореме 1 всякий непрерывный линейный функционал ограничен в некоторой окрестности нуля. Но в нормированном пространстве всякая окрестность нуля содержит шар; значит, ограничен на некотором шаре.

В силу линейности функционала это равносильно его ограниченности на любом шаре, в частности, на единичном шаре . Обратно, из ограниченности линейного функционала на единичном шаре следует, в силу той же теоремы 1, его непрерывность (ибо внутренность этого шара представляет собой окрестность нуля).

Итак, в нормированном пространстве линейный функционал непрерывен в том и только том случае, когда его значения на единичном шаре ограничены в совокупности.

Если – непрерывный линейный функционал в нормированном пространстве , то число

, (1)

т.е. точную верхнюю грань значений на единичном шаре пространства , мы назовем нормой линейного функционала .

Отметим почти очевидные свойства нормы линейного функционала .

(1) .

(2) Для любого вектора .

Рассмотрим примеры линейных функционалов в нормированных пространствах.

Пример 1. В -мерном евклидовом пространстве возьмем фиксированный вектор и рассмотрим функционал

, где пробегает .

В силу неравенства Коши-Буняковского имеем: , откуда следует ограниченность, а следовательно и непрерывность этого функционала. Кроме того, , т.е. , откуда следует, что . Полагая , получим: , т.е. , т.е. .

Пример 2. Интеграл

,

где – непрерывная на отрезке функция, представляет собой линейный функционал в пространстве непрерывных функций . Так как

,

причем при достигается равенство, то .

Пример 3. Пусть – фиксированная непрерывная функция. положим

.

Этот функционал линеен и ограничен, так как

.

В силу линейности и ограниченности он непрерывен, а для его нормы справедлива оценка

.
  1   2   3   4

Похожие:

Лекция №13 Линейные непрерывные функционалы iconЛекция I. Функциональные пространства. 3 часа
Евклидово пространство, норма вектора. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Норма оператора в евклидовом пространстве. Линейные...
Лекция №13 Линейные непрерывные функционалы iconВопросы к экзамену. Линейные и нелинейные функционалы, свойства линейных функционалов
Записать и пояснить вид функционала, позволяющего решать задачу о нахождении кривой минимальной длины между двумя точками
Лекция №13 Линейные непрерывные функционалы iconЛинейные функционалы и операторы в пространстве степенных рядов с быстро убывающими коэффициентами  2010 г. Мануилов Н. Ф
Определена топология, в которой такие пространства является пространствами и типа Фреше. Найден общий вид линейного функционала в...
Лекция №13 Линейные непрерывные функционалы iconЛекция №18 Нелинейный функциональный анализ
Многие задачи, возникающие в математике, носят существенно нелинейный характер. Возникает необходимость развивать нелинейную теорию,...
Лекция №13 Линейные непрерывные функционалы iconЛекция 6 Непрерывные стационарные системы
Рассмотрим сначала простейшее дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами
Лекция №13 Линейные непрерывные функционалы icon4. линейные операторы
Пусть Xn и Ym – линейные пространства. Отображение a называется линейным оператором из Xn в Ym, если оно сохраняет линейные зависимости,...
Лекция №13 Линейные непрерывные функционалы iconЛекция №7 Общая топология
Непрерывные отображения компактных пространств, в частности, компактов, обладают рядом интересных и важных свойств
Лекция №13 Линейные непрерывные функционалы iconЛекция 12. Формула Тейлора 2
Пусть даны функции,, определенные на отрезке, имеющие непрерывные производные до порядка на интервале, причем
Лекция №13 Линейные непрерывные функционалы iconЛекция Линейные действия над векторами в координатной форме. Основные вопросы
Из представления вектора через его координаты в выбранной системе координат и свойств умножения вектора на число и суммы векторов...
Лекция №13 Линейные непрерывные функционалы iconЛекция №19 Банаховы алгебры
Ранее мы изучали линейные нормированные пространства. Был выделен важный класс – банаховы пространства. Эта лекция посвящена введению...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org