Линейные операторы



Скачать 30.32 Kb.
Дата20.12.2012
Размер30.32 Kb.
ТипДокументы

Линейные операторы


Линейным оператором, действующим из линейного пространства H в линейное пространство H1 , называется отображение, удовлетворяющее условиям:



Примеры линейных операторов

1. Определим , : , его линейность очевидна, оператор называется единичным.

2. В гильбертовом пространстве L2([a,b]) определим оператор, сопоставляющий функции , новую функцию

Множество линейных операторов действующее из в образуют линейное пространство.

Определение. Оператор непрерывен в точке x0, если из следует .

Оператор называется непрерывным, если он непрерывен в каждой точке.

Множество называется ограниченным, если оно содержится в шаре некоторого радиуса.

Оператор называется ограниченным, если всякое ограниченное в множество он переводит в ограниченное в

Теорема Если оператор линеен, то следующие утверждения эквивалентны.

  1. Существует точка , в которой оператор непрерывен.

  2. Оператор непрерывен.

  3. Оператор ограничен.

  4. Величина конечна

Доказательство. 1gif" name="object20" align=absmiddle width=32 height=19>: Допустим непрерывен в докажем, что непрерывен в любой другой точке . , тогда для , что доказывает непрерывность оператора .

. Поскольку непрерывен, то он непрерывен и в нуле. Следовательно, , что для , справедливо . Пусть теперь X -- ограниченное множество в H, т. е. такое множество, что существует положительное число , . Пусть , .

Поскольку ограничен, то , откуда существование очевидна.

Пусть , тогда положим , , т.е непрерывен в нуле.


Норма оператора

Лемма. Для любого линейного оператора A справедливы равенства




  • эта величина называется нормой оператора.

Теорема. Если и линейные операторы, то













Доказательство.

  1. То, что - очевидно, докажем , если , то и , следовательно, и . Если , то , значит для , т.е. .

  2. Поскольку для любого вектора Ax имеет место равенство , , а значит . Аналогично,

  3. используя неравенство треугольника , значит

  4. Очевидно.

  5. Дважды применяем свойство 4) и определение нормы оператора.

  6. Раскрывая модуль . Левое неравенство может быть записано так , но оно немедленно следует из неравенства треугольника

Сходимость операторов

Говорят, что последовательность линейных операторов сходится к , если числовая последовательность .

Простейшие свойства.

  1. Пусть , тогда

  2. Пусть и все ограничены то тоже ограничен и .

Доказательство. 1)

2) Выберем , так чтобы тогда , т.е. ограничен. Кроме того, .

Теорема. Всякая фундаментальная последовательность линейных операторов действующих из одного гильбертова пространства , в другое сходится.

Схема доказательства. Если фудаментальна, то также фундаментальна (почему?), а так как она в полном пространстве то существует . Обозначим , осталось показать, что линейный оператор и .

Похожие:

Линейные операторы iconDf. Вектор – это элемент векторного пространства (пространство с аксиомами для векторов). Df
Вопрос Линейные операторы (ЛО) в конечномерном пространстве и их матричное представление. Характеристический многочлен, собственные...
Линейные операторы icon4. линейные операторы
Пусть Xn и Ym – линейные пространства. Отображение a называется линейным оператором из Xn в Ym, если оно сохраняет линейные зависимости,...
Линейные операторы icon2. линейные операторы над векторным пространством
Корневые подпространства. Жорданова нормальная форма. Теорема Гамильтона—Кэли. Комплексификация линейного оператора. Собственные...
Линейные операторы iconЛинейные операторы методические указания к домашней контрольной работе по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Часть 1 Москва 2005
Линейные операторы: Метод указания к домашней контрольной ра­боте по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия». Часть 1...
Линейные операторы iconУрок 5 Тема: Простейшие линейные программы. Арифметические выражения. Оператор присваивания. Вопросы для повторения
Линейная программа (конструкция следования) содержит в себе операторы ввода, вывода и присваивания. Операторы линейного алгоритма...
Линейные операторы iconЗанятие Ввод вывод. Операторы Read (Readln), Write (Writeln). Простейшие линейные программы 11 Операторы Write и WriteLn 11
Занятие Язык программирования Паскаль. Знакомство со средой программирования Турбо Паскаль. Основные понятия. Первая программа. Оператор...
Линейные операторы iconЛекция I. Функциональные пространства. 3 часа
Евклидово пространство, норма вектора. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Норма оператора в евклидовом пространстве. Линейные...
Линейные операторы icon" Линейные операторы векторных пространств"
Матрица линейного оператора. Взаимно-однозначное соответствие между линейными операторами и их матрицами
Линейные операторы iconЛекция №17 (30. 04. 10) Глава Линейные операторы § Определения и простейшие свойства
Определение. Отображение : Kn  Kn называется линейным оператором, если оно удовлетворяет следующим условиям
Линейные операторы iconКонтрольная работа №1 по теме: «Линейные операторы и их матрицы»
Будет ли линейным оператором векторного пространства R3 отображение j ( x1, x2, x3 ) = ( x1 – x2,0, x1 x3 ). Определить его матрицу,...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org