Функция задание Определение функции



Скачать 78.07 Kb.
Дата20.12.2012
Размер78.07 Kb.
ТипДокументы
ФУНКЦИЯ
Задание 4.1. Определение функции.

.

  1. Периметр прямоугольника 20 см. Выразите длину диагоналей прямоугольника как функцию длины сторон прямоугольника и найдите область определения функции.

  2. Дана функция:



Найдите: ; ; ; ; .

  1. Найдите по графику область определения и множество значений функции:

  2. Найдите по формуле область определения и множество значений функции:

1);

2);

3);

4).

Задание 4.2. Определение функции.

  1. Задает ли формула функцию:

1);

2);

3).


  1. Функция задана параметрически:



Задайте ее аналитически.

  1. Задайте функцию формулой и постройте ее график, если ее область определения – отрезок [0;1], а множество значений – интервал (0;1).

  2. На рисунке представлен график функции, определенной на отрезке [a;b]. S(x) – площадь «подграфика» на отрезке [a;x], . Выразите величину S(x) через x и постройте график функции y=S(x). По этому графику найдите множество значений функции y=S(x).


Задание 4.3. Область определения и множество значений функции.

  1. Найдите область определения функции:

1);

2).



  1. Найдите множество значений функции:

1);

2);

3).

  1. Найдите наибольшее значение функции:

.


  1. Пусть множество значений y=f(x) есть отрезок [-3;5]. Найдите все целочисленные значения функции:

.

  1. Найдите все значения параметра a, при которых областью определения функции будет:

а) Луч;

б) Отрезок;

в) Единственная точка;

г) Пустое множество.
Задание 4.4. Некоторые специальные функции.

  1. Постройте график функции:

а);

б).

  1. Найдите область определения выражения:

.

  1. Докажите тождество:

.

  1. Найдите [a] и {a}, где .

  2. Решить уравнение:

а);

б).

Задание 4.5. Ограниченность функции.

.

  1. Докажите, что функция является ограниченной:

;

  1. Является ли заданная функция ограниченной, и если да, то в каких границах лежат ее значения:

а);

б).

  1. Докажите, что функция не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значения.

  2. Функция F ограничена на R. Будет ли ограниченной функция:

1);

2);

3).

Ответ обоснуйте.


  1. Приведите пример неограниченных функций f и g, сумма которых ограничена.

  2. Верно ли, что произведение неограниченной функции f и ограниченной функции g не ограничено?

  3. Решить уравнение, используя свойство ограниченности функции:

.

Задание 4.6. Монотонность функции.


  1. Функция f убывает на R. Решите неравенство:

а);

б).

  1. Нарисуйте график всюду определенной функции, которая возрастала бы на промежутках и на , и вдобавок была бы положительной и ограниченной на R.

  2. Используя определения возрастания и убывания на промежутке, докажите, что функция возрастает на .

  3. Исследуйте на монотонность функции:

а);

б).

б).

  1. Пусть - возрастающая и положительная на R функция. Докажите, что тогда функция возрастает на R.

  2. Верно ли, что если функции y и z возрастают на каком-то промежутке, то функция монотонна на этом промежутке?


Задание 4.7. Монотонность функции.

  1. Решите уравнения:

а);

б).

  1. Докажите, что если f и g возрастают на каком-то промежутке и неотрицательны на нем, то функция так же возрастает на этом промежутке. Используя этот факт, решите уравнение .

  2. f удовлетворяет условию: для любого существует такая точка , что и . Следует ли отсюда, что f не убывает на R?

  3. *Пусть функция определена на отрезке [-1;1] и убывает на нем. Решите:

а) Уравнение ;

б) Неравенство .

  1. Является ли функция f возрастающей на R, если при любом x выполняется неравенство ?


Задание 4.8. Четность и нечетность функции.


  1. Исследуйте функцию на четность/нечетность:

а);

б);

в);

г).

  1. Известно, что функция g нечетная, , и она обращается в нуль при и . Укажите другие значения аргумента, при которых g обязательно обращается в нуль.

  2. Пусть , f - четная функция, а g – нечетная. Докажите, что - четная функция.

  3. Достройте график функции, изображенный на рисунке, до графика всюду определенной, непрерывной на R и

а) четной функции;

б) нечетной функции.
Задание 4.9. Четность и нечетность функции.

  1. Существуют ли всюду определенные функции, являющиеся одновременно:

а) Четными и возрастающими на R;

б) Нечетными и убывающими на R;

в) Нечетными и положительными на R .

  1. Функция f, определенную на , продолжите на R так, чтобы получить четную функцию. Постройте график полученной функции, если .

  2. Дана функция . Найдите все значения a, при которых функция является: четной, нечетной. Ответ обоснуйте.

  3. Существует ли функция f, определенная на и удовлетворяющая условию для всех ?

  4. Может ли уравнение иметь 8 корней?


Задание 4.10. Периодичность функции.


  1. Достройте, если возможно, данный график до графика периодической функции, которая была бы:

а) Четной;

б) Нечетной.

Если это невозможно, то обоснуйте. (T-основной период функции)

  1. Функции f и g определены на R, их периоды соответственно равны T1 и Т2. Известно, что . Найдите наименьший положительный период функции f+g. Ответ обоснуйте.

  2. Может ли сумма двух всюду определенных непериодических функций быть периодической функцией?

  3. Найдите основной период функции или докажите, что его не существует.

а) ;

б) .

Задание 4.11. Периодичность функции.


  1. Функция f – периодическая с периодом T=4, нечетная и для ее значения вычисляются по формуле .

а) Начертите график функции f;

б) Найдите , ;

в) Решите уравнение .

  1. Можно ли функцию представить в виде суммы двух функций, одна из которых четная, а другая периодическая?

  2. Функция а определена на R, и для всех , и при этом . Докажите, что f является периодической функцией.


Задание 4.12. Композиция функций.


  1. Даны функции и . Найдите следующие композиции:

а) ;

б) ;

в) .

  1. Даны функции , , . D(f)=D(g)=D()=. Какие из следующих функций являются возрастающими, а какие – убывающими:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

  1. Исследуйте на монотонность и найдите множество значений функции .

  2. Придумайте функцию, отличную от линейной, которая при любом x удовлетворяет равенству .



Задание 4.13. Простейшие функциональные уравнения.


  1. Найдите какую-нибудь функцию f, удовлетворяющую следующему условию:

а) для всех ;

б) для всех ;

в) для всех ;

г) для всех .

  1. Найдите функцию f(x), если и при любом выполняется тождество .


Задание 4.14. Обратная функция.

  1. Найдите функцию, обратную данной:

а), ;

б) , .

Постройте графики этих функций.

  1. Найдите функцию, обратную данной:



  1. Докажите, что функция, обратная к обратимой нечетной функции, также является нечетной.

  2. *Существует ли обратимая функция f, удовлетворяющая условию для всех ?


Задание 4.15. Элементарные преобразования графиков.


  1. Построить графики следующих функций при помощи элементарных преобразований:

а);

б) ;

в) .

  1. Функция f задана равенствами:



Постройте графики функций , , .

  1. Определите все значения k, при которых образ графика , сдвинутого на k единиц вдоль оси ординат, не пересекается с графиком .

  2. При каких a и b имеет решение уравнение .

  1. .



Задание 4.16. Построение графиков функций.

  1. Пусть .

а) Найдите множество значений функции f;

б) Постройте график функции f и найдите с помощью него число решений уравнения в зависимости от a.

  1. Постройте эскиз графика:

а);

б) ;

в) .

Задание 4.17. Построение графиков функций.

  1. Решите графически неравенство ;

  2. Может ли изображенный на рисунке график являться графиком отношения двух многочленов?

  3. Найдите асимптоты, корни, промежутки знакопостоянства и постройте эскиз графика .


Контрольное задание 4.1. Функция.

  1. Постройте график функции .

  2. Найдите промежутки монотонности и множество значений функции .

  3. Известно, что , . Найдите .

  4. Для функции найдите обратную.

  5. Найдите функции f(x) и g(x), удовлетворяющие условиям:

  6. Дано: , . Решите неравенство: .

  7. Найдите все значения a, при которых наименьшее значение функции равно 4. Постройте график функции при найденных значениях a и исследуйте ее на четность/нечетность.

  8. Решить уравнение .

Похожие:

Функция задание Определение функции iconВариант 1 Напишите определение функции одной действительной переменной. Найдите расстояние между точками на числовой оси. Запишите в виде интервала окрестность точки -2, имеющей радиус Укажите все
Функция является линейной Найдите аналитическое задание функции и постройте её график. Определите корень функции, её монотонность...
Функция задание Определение функции iconРяды Фурье для периодических и непериодических функций Пусть функция определена на ℝ. Определение
...
Функция задание Определение функции iconЛекция 12. Первообразная и неопределённый интеграл. 12 Первообразная функция. Определение
Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно...
Функция задание Определение функции iconСложная функция, непрерывность сложной функции Определение
Определение. Пусть функция определена на множестве и принимает значения из, а функция определена на множестве и принимает значения...
Функция задание Определение функции iconОсновные понятия и свойства функций Ключевые слова
Ключевые слова: область определения функции, область значений функции четная функция, нечетная функция, периодическая функция, монотонная...
Функция задание Определение функции iconВопросы к экзамену галактическая астрономия. 2008 г. (весна) Общая структура Галактики. Галактическая система координат. Определение расстояний в Галактике. Функция светимости и функция блеска. Определение функции светимости
Функция звездной плотности. Основное уравнение звездной статистики. Решение основного уравнения звездной статистики
Функция задание Определение функции iconИсследование функций и построение графиков §10. Исследование функций и построение графиков Возрастание и убывание функции определение. Функция называется возрастающей неубывающей
Определение. Функция называется возрастающей (неубывающей) на интервале если для любых таких, что значения функции и удовлетворяют...
Функция задание Определение функции iconОпределение: Функция F(x) называется первообразной функцией
Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно...
Функция задание Определение функции iconОпределение: Функция F(x) называется первообразной функцией
Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно...
Функция задание Определение функции iconОпределение функции комплексного переменного
Определение производной функции комплексного переменного. Дифференцируемая функция. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org