4. Векторная алгебра



Скачать 78.29 Kb.
Дата21.12.2012
Размер78.29 Kb.
ТипДокументы
Тема 4. Векторная алгебра
§1. Основные определения

Вектор. Проекция вектора на ось

В математике рассматриваются только свободные векторы. Они имеют 2-е характеристики: длину и направление.

О1: Свободным вектором (коротко: вектором) в трехмерной пространстве называется направленный отрезок, который можно перемещать в пространстве параллельно самому себе.

О2: Два вектора равны, если они имеют:

  1. равные длины;

  2. одинаковое направление (сонаправлены).

О3: Длиной (модулем) вектора называется расстояние между его началом и концом . Обозначается .

О4: Векторы, параллельные одной и той же прямой называются коллинеарными.

О5: Векторы, параллельные одной и той же плоскости называются компланарными.

О6: Среди всех векторов с началом в имеется один вектор, длина которого =0. Считается, что этот вектор начинается и кончается в , называется вектор нулевым и обозначается . Понятие направления нулевого вектора не существует.

О7: Вектор, длина которого равна 1, называется единичным.

О8: Единичный вектор , имеющий такое же направление, что и вектор , называется ортом вектора .

О9: Под углом между векторами понимается угол, не превосходящий 1800, на который надо повернуть один из них до совпадения его направления с направлением другого.

Пусть дан вектор и ось l (прямая с заданным направлением).

Обозначим через и проекции точек А и В на ось l. Тогда имеет место

О10: Проекцией вектора на ось l называется число, равное длине вектора gif" name="object16" align=absmiddle width=39 height=20> взятое со знаком (+), если ось и вектор сонаправлены, и со знаком (-), если они противоположно направлены.

Обозначается .



Свойства проекции вектора на ось:

  1. , где ­α – угол между и l.

  2. .

  3. .

§2. Линейные операции над векторами

1. Сложение.

Если не параллелен , то их можно складывать по правилу параллелограмма.

Любые векторы (коллинеарные и неколлинеарные) можно складывать по правилу треугольника.

В случае большого числа слагаемых – по правилу замкнутого многоугольника.

Свойства операции сложения векторов

  1. Свойство нулевого вектора: .

  2. Ассоциативность (сочетательность) сложения:

  3. к

    B


    C


    D
















    оммутативность (переместительность) сложения:









A


A


B


O







Вектором, противоположным вектору , называется вектор, обозначаемый , такой, что сумма и = :

.

Вектор, противоположенный обозначается :

.

Нулевые противоположенные векторы имеют равные длины , и противоположенные направления.

Разность двух векторов есть сумма и

.

Р

азность двух векторов может быть получена с помощью правила треугольника или правила параллелограмма.































2. Умножение вектора на число

Произведением ненулевого вектора на число называется вектор, имеющий направление вектора , если ; или противоположенный , если . Его модуль равен произведению .

Свойства операции умножения вектора на число:

  1. Коммутативность (переместительность): ;

  2. Ассоциативность (сочетательность): ;

  3. Дистрибутивность (распределительность) относительно сложения векторов: ;

  4. Дистрибутивность (распределительность) относительно сложения чисел: .


§3. Векторы в прямоугольной декартовой системе координат

Прямоугольная декартова система координат в пространстве считается заданной, если:

  1. Указаны 3 взаимно перпендикулярные оси ОХ, ОУ, OZ, пересекающиеся в одной точке О, называемой началом координат;

  2. Выбран прямоугольный декартов базис – единичные векторы , направленные по выбранным осям. Их называют также базисными ортами.

М





y

z
ы пользуемся правой системой координат, т.е. кратчайший поворот от вектора к вектору виден из конца вектора совершающимся против часовой стрелки (правило буравчика).








x



0

Прямоугольная декартова система координат позволяет перейти к аналитическому описанию вектора.

Всякий вектор единственным образом представляется в виде линейной комбинации базисных векторов: . Числа x, y, z – коэффициенты разложения вектора по базису – называется координатами вектора в прямоугольном декартовом базисе .

, х – абсцисса, у – ордината, z – аппликата.

Можно доказать, что прямоугольные декартовы координаты вектора равны проекции этого вектора на оси координат.

Причем .

В прямоугольной декартовой системе:

длина вектора: находится по формуле:

Направление описывается при помощи направляющих косинусов.

Это косинусы углов, которые данный вектор образует с осями координат . Если , то



Свойство направляющих косинусов

.

Вектор , идущий от начала координат называется радиус-вектор точки М.
§4. Правила действий над векторами, заданными своими координатами

Пусть в базисе даны и .

  1. Координаты суммы двух векторов равны сумме соответствующих координат слагаемых: .

  2. Координаты разности двух векторов равны разности соответствующих координат этих векторов: .

  3. Координаты произведения вектора на число равны произведению соответствующих координат на это число:

Модуль равен: .

Угол между пространственными векторами и равен:



Направляющие косинусы:

.

Направляющие косинусы любого вектора связаны равенством: .

С помощью формулы решается задача нахождения расстояния d между двумя точками и .

d – есть длина вектора

.

Рассмотрим поверхность шара с центром в точке и радиусом R. Точка тогда, и только тогда будет лежать на поверхности шара, когда , т.е.

- уравнение поверхности шара.

Если центр лежит в начале координат, то

Деление отрезков в данном отношении

Пусть даны точки и , и два числа и .

Н
М2
айти на отрезке точку , делящую в отношении:

М


М1


Векторы и параллельны и направлены в одну сторону. Тогда . Выразим это равенство через координаты векторов:



; ;

;

Таким образом, решение ничем не отличается от случая на плоскости.
§5. Скалярное произведение векторов

О1: Скалярным произведением 2-х векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними.















Свойства скалярного умножения векторов

  1. Коммутативность: переместительность



  1. Ассоциативность относительно умножения на число: сочетательность



  1. Дистрибутивность относительно сложения: распределительность



  1. Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов является равенство 0 их скалярного произведения. .

  2. Скалярное произведение называется скалярным квадратом вектора .



  1. Скалярное произведение двух векторов, заданных координатами, равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов:



Скалярное произведение имеет следующий механический смысл:

Пусть тело движется по прямой под действием силы , составляющей с направлением движения .

И

з физики , т.е.










Работа силы на прямолинейном участке пути равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.

Пример: Какую работу производит сила , если точка ее приложения переместилась из положения в положение .



Следствие:



Скалярное произведение двух векторов равно произведению модуля одного из них на проекцию второго вектора на направление первого.

  1. и .

  2. ; в координатной форме: .

Пример: .

Найти: .



Выражение длины вектора, заданного своими проекциями на оси координат

; т.к. , то .

Пример:

.

Пример: Найти угол между векторами и .



Пример: Найти направляющие косинусы вектора .

.

Похожие:

4. Векторная алгебра iconВекторная алгебра
Предлагаемая работа предназначена помочь студентам, изучающим векторную алгебру, получить навыки решения стандартных задач
4. Векторная алгебра iconКонтрольная работа №1. Раздел «Векторная алгебра»
Тематика и примеры контрольных заданий и вопросов (контрольные работы, тестирование, индивидуальные типовые расчеты, коллоквиум)
4. Векторная алгебра iconПрограмма государственного экзамена для специальности 010200 «Прикладная математика и информатика» Липецк 2005
Векторная алгебра. Аффинные координаты. Формулы преобразования координат. Прямые и плоскости
4. Векторная алгебра iconПрограмма по аналитической геометрии и топологии. Раздел I: Векторная алгебра
...
4. Векторная алгебра iconЛекция №1 (06. 09. 11) Глава Векторная алгебра § Векторы на плоскости и в пространстве
Определение Направленным отрезком называется упорядоченная пара точек (на плоскости или в трёхмерном пространстве)
4. Векторная алгебра iconIi векторная алгебра
Это не означает, однако, что сведения, полученные в средней школе, не верны. Просто мы будем изучать векторную алгебру, исходя из...
4. Векторная алгебра iconВекторная графика. Coreldraw
Графика бывает двух видов векторная и растровая. Основное отличие в принципе хранения изображения
4. Векторная алгебра icon«Векторная алгебра» иметодические рекомендации к ней для студентов очной формы обучения для инженерных направлений
Задание По координатам точек и для указанных векторов найти: 1; 2; 3; 4 координаты т., делящей отрезок в отношении
4. Векторная алгебра iconВопросы к экзамену по дифференциальной геометрии 4 семестр 2010 г. Векторная функция скалярного аргумента. Круговые векторные функции
Векторная функция двух скалярных аргументов. Понятие поверхности. Параметризация. Примеры
4. Векторная алгебра iconПрограмма по аналитической геометрии и топологии. Раздел I: Векторная алгебра
Смешанное произведение векторов, свойства, выражение в координатах. Геометрический смысл скалярного, векторного и смешанного произведений,...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org