Линейные преобразования



Скачать 129.3 Kb.
Дата21.12.2012
Размер129.3 Kb.
ТипДокументы

Линейные преобразования


Пусть дано п-мерное действительное пространство Vп. Рассмотрим преобразование этого пространства, то есть отображение, переводящее каждый вектор а пространства Vп в некоторый вектор а этого же пространства. Вектор абудем называть образом вектора а при рассматриваемом преобразовании.

Обозначив преобразование через , образ вектора а будем обозначать а, то есть

а¢ = а

Преобразование j линейного пространства Vп называется линейным преобразованием этого пространства, если оно переводит сумму любых векторов а и b в сумму образов этих векторов

(а + b) j = аj + bj, (1)

а произведение любого вектора а на любое число  переводит в произведение образа вектора а на это же число 

( а) j =  (а j). (2)

Из этого определения следует, что линейное преобразование линейного пространства переводит любую линейную комбинацию данных векторов a1,a2,…,aп в линейную комбинацию образов этих векторов с теми же коэффициентами

(1а1 + 2а2 +  + пап) j = 1(а1 j) +  2(а2j) ++ п(ап j ) (3)

При любом линейном преобразовании j линейного пространства Vп нулевой вектор 0 остаётся неподвижным:

0 j= 0,

а образом вектора, противоположного данному вектору а, является вектор, противоположный образу вектора а:

(–a) j = – a j

Доказательство. Если а – произвольный вектор, то из (2) следует:

0 j = (0а) j = 0(а j) = 0

Кроме того,

(–а) j = ((–1)а) j = –1 (а j) = – (а j)

Примерами линейных преобразований могут служить тождественное преобразование j, ставящее всякий вектор в соответствие самому себе: а j = а, и нулевое преобразование, отображающее каждый вектор а в нуль: а j = 0.

Пусть

е1,е2,…, еп, (4)

– базис линейного пространства Vп. Будем обозначать еТ = (е1,е2,…, еп).
Так как всякий вектор а пространства Vп однозначно выражается в виде линейной комбинации векторов базиса (4), то по свойству (3) образ вектора а с теми же коэффициентами выражается через образы векторов (4). Иными словами, всякое линейное преобразование j пространства Vп однозначно определяется заданием образов е1 j,е2 j,…, еп j всех векторов базиса (4).

Для любой упорядоченной системы из п векторов

с1,с2,…, сп (5)

пространства Vп существует, причём единственное, такое линейное преобразование j этого пространства, что (5) является системой образов векторов базиса (4) при этом преобразовании

eij = ci, i = 1,2,…,n. (6)

Единственность преобразования j только что доказана, и нужно доказать лишь его существование. Определим преобразование j так: если а – произвольный вектор пространства и его запись в базисе (4) имеет вид

,

то положим

(7)

Для доказательства линейности этого преобразования положим, что некоторый другой вектор пространства имеет представление



Тогда





Далее, если  – любое число, то



Справедливость равенства (6) следует из того, что в выражении вектора еi через вектора базиса (4) лишь коэффициент i равен единице, а остальные коэффициенты равны нулю.

Таким образом установлено взаимно однозначное соответствие между всеми линейными преобразованиями линейного пространства Vп и всеми упорядоченными системами (5) из п векторов этого пространства.

Всякий вектор сi обладает определённой записью в базисе (4)

(8)

Из координат векторов сi можно составить квадратную матрицу

А = (ij) (9)

беря в качестве i-й строки строку координат вектора сi , = 1,2,…,п. Так как система (5) была !!!! , то матрица А будет произвольной квадратной матрицей п-го порядка с действительными элементами.

Таким образом, имеет место взаимно однозначное соответствие между всеми линейными преобразованиями пространства Vп и всеми квадратными матрицами порядка п; это соответствие, конечно, зависит от выбора базиса (4).

Будем говорить, что матрица А задаёт линейное преобразование j в базисе (4), или что А является матрицей линейного преобразования j в базисе (4). Если через еj обозначить столбец, составленный из образов векторов базиса (4), то из (6), (7) и (8) следует матричное равенство, полностью описывающее связи , существующие между линейным преобразованием Vп, базисом е и матрицей А, задающей это линейное преобразование в этом базисе

еj = Ае (10)

Зная матрицу А линейного преобразования j в базисе (4), можно по координатам вектора а в этом базисе найти координаты его образа аj. Если

,

то

,

что равносильно матричному равенству

.

Используя (10), получаем



Отсюда следует, что строка координат вектора аj равна строке координат вектора а, умноженной справа на матрицу А линейного преобразования j, все в базисе (4).

Связь между матрицами линейного преобразования в разных базисах.


Матрица, задающая линейное преобразование, зависит от выбора базиса. Установим связь между матрицами, задающими в разных базисах одно и то же линейное преобразование.

Пусть даны базисы е и е с матрицей перехода Т

е¢ Те (11)

и пусть линейное преобразование j задаётся в этих базисах соответственно матрицами А и А

е j = Ае, е¢jАе¢ (12)

Тогда

(Те) j= А(Те)

Пусть (i 1, i 2,…, i п) – i-я строка матрицы Т. Тогда

(i 1е1 +  i 2 е+…+ i п е п) j = i 1(е1j)  +  i 2 (еj)+…+ i п( е п j) 

и

(Те) j= Т(е j)

Таким образом,

(Те) j= Т(е j) = Т (Ае) = (ТА)е,

А( Те) = (А Т)е

Таким образом,

(ТА)е = (А Т)е

Если хотя бы для одного i, = 1,2,…,n i-я строка матрицы ТА будет отличаться от i-й строки матрицы А Т, то две различные линейные комбинации векторов е1,е2,…, еп окажутся равными друг другу, что противоречит линейной независимости базиса е. Таким образом,

ТА = АТ,

откуда следует, ввиду невырожденности матрицы перехода Т

А = ТАТ–1, А Т–1АТ (13)

Будем называть матрицы В и С подобными, если они связаны равенством

С = Q–1BQ,

где Q – невырожденная матрица, и будем говорить, что матрица С получена из матрицы В трансформированием матрицы Q.

Доказанные выше равенства можно сформулировать в виде теоремы:

Матрицы, задающие одно и то же линейное преобразование в разных базисах, подобны между собой. При этом матрица линейного преобразования j в базисе е получается трансформированием матрицы этого преобразования в базисе е матрицей перехода от базиса е к базису е.

Если матрица А задаёт линейное преобразование j в базисе е, то любая матрица В, подобная матрице А,

В = Q–1АQ,

также задаёт преобразование j в некотором базисе, а именно в базисе, получающемся из базиса е при помощи матрицы перехода Q–1.

Операции над линейными преобразованиями.

Сопоставляя каждому линейному преобразованию пространства Vп его матрицу в фиксированном базисе, получаем взаимно однозначное соответствие между всеми линейными преобразованиями и всеми квадратными матрицами порядка п. Естественно ожидать, что операциям сложения и умножения матриц, а также умножения матрицы на число, будут соответствовать аналогичные операции над линейными преобразованиями.

Пусть в пространстве Vп даны линейные преобразования  и , определяемые равенством

а( + ) = а + а (14)

Оно переводит, следовательно, любой вектор а в сумму его образов при преобразованиях  и .

Преобразование ( + ) является линейным. Если а и с – произвольные векторы, а  – любое число, то

(а + с)( + ) = (а + с) + (а + с) = а + с + а + с = = а( + ) + с( + ) 

(a) ( + ) = (a) +(a)  =  (a) +  (a)  = (a + a) = (a( + ))

Назовём произведением линейных преобразований  и  преобразование , определяемое равенством

а() = (а ) (15)

то есть получающееся в результате последовательного применения преобразований  и .

Преобразование  является линейным:

(а + с)( ) = ((а + с))  = (а + с) = (а) + (с) = а() + с() 

(а) ( ) = ((а) ) = ((а )) = ((а )) = (а()) 

Назовём произведением линейного преобразования  на число  преобразование , определяемое равенством

а() = (а)  (16)

Образы при преобразовании  всех векторов умножаются на число .

Преобразование  является линейным:

(а + с)( ) = ((а + с)) = (а + с) = (а) + (с) = а() +  с () 

(а) () = ((а ) ) = ((а)) = (а( ))

Пусть в базисе е1,е2,…, еп преобразования  и  задаются соответственно матрицами А = (ij) и В = (ij)

е = А е, е = В е

Тогда, ввиду (14),

е i( + ) = еi + еi = ,

то есть,

е( + ) = (А + В)е

Таким образом, матрица суммы линейных преобразований в любом базисе равна сумме матриц этих преобразований в том же базисе.

Далее, ввиду (15),

то есть

е(j y) = (АВ)е

Иными словами, матрица произведения линейных преобразований в любом базисе равна произведению матриц этих преобразований в том же базисе.

Наконец, ввиду (16),

,

то есть,

е()=(А) 

Следовательно, матрица, задающая в некотором базисе произведение линейного преобразования  на число , равна произведению матрицы самого преобразования  в этом базисе на число .

Из полученных результатов следует, что операции над линейными преобразованиями обладают теми же свойствами, что и операции над матрицами. Так, сложение линейных преобразований коммутативно и ассоциативно, а умножение ассоциативно, но при п > 1 не коммутативно. Для линейных преобразований существует однозначное вычитание. Тождественное преобразование играет среди линейных преобразований роль единицы, а нулевое преобразование – роль нуля. Действительно, в любом базисе тождественное преобразование задаётся единичной матрицей, а нулевое преобразование – нулевой матрицей.

Похожие:

Линейные преобразования iconПрограмма курса Линейная и векторная алгебра. Программа курса
Линейные операции над векторами. Базисы, разложение вектора по базису. Координаты вектора. Декартов базис. Скалярное, векторное и...
Линейные преобразования iconГлава I. Линейные преобразования § 1

Линейные преобразования iconПреобразования в 2D пространстве Преобразования используются в разных целях
С аналитической точки зрения преобразования это пересчет значений координат. Двухмерные и трехмерные преобразования отличаются по...
Линейные преобразования icon4. линейные операторы
Пусть Xn и Ym – линейные пространства. Отображение a называется линейным оператором из Xn в Ym, если оно сохраняет линейные зависимости,...
Линейные преобразования iconРеферат на тему «Геометрические преобразования»
Геометрические преобразования являются достаточно поздним разделом математики. Первые геометрические преобразования стали рассматриваться...
Линейные преобразования iconЛекции по теории и приложениям искусственных нейронных сетей, Рига,2007 Лекция Сведения из высшей математики
Векторное пространство. Базис. Ортогональные проекции. Гиперсферы и гиперповерхности. Матрицы. Линейные преобразования
Линейные преобразования iconВопросы по курсу общей физики к разделам «Механика. Электромагнетизм». (Химфак, 1 курс, 2 семестр)
Кинематика материальной точки. Основные определения. Линейные и угловые характеристики движения, связь между ними. Преобразования...
Линейные преобразования icon4. Линейные уравнения и метод исключения Гаусса. Характеристика метода
Компонентные уравнения для основных элементов электронных схем. Понятие о многополюсниках, зависимые источники, элементарные четырехполюсники....
Линейные преобразования iconАналитическая геометрия
Линейные операции, линейные комбинации и линейная зависимость векторов. Необ­ходимое и достаточное условие линейной зависимости
Линейные преобразования iconВысшего профессионального образования города Москвы
Матрицы и определители. Векторные пространства. Евклидовы пространства. Линейные преобразования и их матрицы. Собственные векторы...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org