Упражнение Проверить, что при. Упражнение 2



Скачать 50.85 Kb.
Дата22.12.2012
Размер50.85 Kb.
ТипДокументы

Перов Юра, к 20 декабря

Упражнение 1. Проверить, что при .

Упражнение 2. Доказать, что в нильпотентной группе ступени 2 и меньше элементы попарно перестановочны.
Для этого достаточно доказать, что .
Докажем это.
На семинаре мы доказывали, что в указанных группах справедливо:



Упражнение 3. . Доказать, что G разрешима.
Во-первых, покажем, что любой элемент можно представить в виде .
Для этого достаточно показать, что .
Рассмотрим первый случай :

Из соотношения получается, что . Найдем, чему равно :


Из этого можно сделать вывод, что , а . Этот случай можно обобщить и для .
Рассмотрим второй случай :

Из соотношений получается, что


Следовательно,


Следовательно, при , а при gif" name="object25" align=absmiddle width=219 height=24>.
Заметим также, что при :


Рассмотрим теперь коммутатор:


Рассмотрим четыре случая:

  1. ,

  2. ,

  3. ,

  4. .


Следовательно, .
Тогда можно сделать, что , так как (коммутатор от G) является циклической группой, а коммутатор от абелевой (в том числе циклической) группы есть группа порядка 1.
Таким образом, группа G разрешима.
Упражнение 4. Доказать, что группа порядка pqr, где p, q и r — различные простые числа, разрешима.
Пусть . Пусть — количество q- и r-силовских подгрупп соответственно.
Сделаем отступление:

Если p — простое число, m — натуральное число, , . Пусть — количество p-силовских подгрупп группы G. Тогда, количество элементов порядка p в группе G равно или больше. Почему так получается? Групп Силова порядка p — . Все они сопряжены и состоят из разных элементов. Эти группы — порядка p, то есть они обязательно циклические. В циклической группе порядка p есть p разных элементов, у единицы порядок один, у всех других — порядок p. Получается в каждой группе по элементу порядка p, а количество таких групп — . Добавим, что можно доказать и более сильное утверждение, что таких количество таких элементов обязательно равно , но нам это не понадобится.
Тогда в нашей группе должно выполняться неравенство: .
pqr должно делиться на . Тогда получается, что . Но так как при .
pqr должно делиться на . Тогда получается, что . Но так как при . Если .
Пусть . Тогда .
Тогда .
Заметим, что



(Первое неравенство получается за счет того, что . Второе неравенство получается за счет того, что .)
Но тогда , а это приводит к противоречию. Следовательно, по крайней мере, или , или .
Если , то существует одна силовская подгруппа порядка r, она нормальна в G, и факторгруппа группы G по ней имеет порядок pq.
Подгруппа порядка pq, где по условию, имеет одну нормальную силовскую подгруппу порядка q, так как число делит порядок группы pq только при . Факторгруппа группы порядка pq по нормальной подгруппе порядка q имеет порядок p. Обе этих группы: подгруппа и факторгруппа являются циклическими, следовательно, разрешимыми. По доказанной на лекции теореме подгруппа порядка pq является разрешимой.
Подгруппа порядка r разрешима, так как она циклическая, подгруппа pq также разрешима (мы только что это доказали). Следовательно, по доказанной нами на лекции теореме, группа pqr разрешима.
Если , то существует одна силовская подгруппа порядка q, она нормальна в G, и факторгруппа группы G по ней имеет порядок pr. Подгруппы q и pr по аналогии разрешимы, но тогда и группа pqr разрешима.
Я встречал доказательство того, что в группе pqr обязательно . Доказательство этого факта более длинное, нам достаточно и этого для разрешения вопроса.
Упражнение 5. Пусть G — нильпотентная группа и факторгруппа G/G' — циклическая. Доказать, что G — сама циклическая.
Найти возможность доказательства этого факта без ввода нескольких теорем и подгруппы Фраттини не удалось. Конечно, для доказательства этого утверждения не нужна сама по себе группа Фраттини, но теоремы, которые описывают связь подгруппы Фраттини с другими рассматриваемыми объектами, необходимы.
Подгруппа Фраттини определяется как пересечение множества всех максимальных подгрупп группы G, если G обладает таковыми, в противном случае подгруппа Фраттини является самой G.
Подгруппа Фраттини состоит из всех необразующих элементов группы G. Элемент x группы G является необразующим для G, если из равенства , где T — произвольное множество в G, следует равенство . То, что группа состоит из всех необразующих элементов группы G и только из них доказывается (это теорема). Также доказывается, что подгруппа Фраттини нильпотентной группы содержит производную группу (кстати, справедливо и обратное).
Так как G/G' циклическая, то . Возьмем любое . Тогда , и, соответственно, . Из этого следует, что . Но так как не содержит образующих, то .
Другое доказательство, которое было на семинаре:

Во-первых, мы доказали лемму о том, что если G — нильпотентная группа ступени s, то группа , где , является нильпотентной группой, ступень разрешимости которой не превосходит .
нормальна в G. Следовательно, любой элемент из H может быть представлен в виде . Найдем :


Докажем по индукции, что . Пусть (базис индукции). Получается, что . Лемма доказана.
Теперь вернемся к самому вопросу. Если , значит, G — циклическая сама.
Пусть теперь . Тогда . . Но лемме получается противоречие тогда: . Значит, обязательно.
При выполнении данных упражнений использовалась следующая литература:

  1. Маршалл Холл младший, «Теория групп» (М. : Издательство иностранной литературы, 1962 г.),

  2. Михаил Иванович Каргаполов, Юрий Иванович Мерзляков, «Основы теории групп», (М. : Наука, 1982 г.),

  3. Thanos Gentimi, «Solvable groups — a numerical approach» (http://plaza.ufl.edu/thanos/Text%20Files/solvable.pdf), стр. 4—5,

  4. Jenya Soprunova, materials for the course «Abstract Algebra» (http://www.math.kent.edu/~soprunova/61051/solutions10.pdf) (Kent State University), стр. 2—3,

  5. The Group Properties Wiki, (http://groupprops.subwiki.org/wiki/Nilpotent_implies_derived_in_Frattini и http://groupprops.subwiki.org/wiki/Nilpotent_implies_every_maximal_subgroup_is_normal).




Похожие:

Упражнение Проверить, что при. Упражнение 2 iconПеров Юра, к 06 декабря Упражнение 1
Упражнение Доказать, что расстояние от вершины a треугольника abc до любой внутренней точки меньше, чем длина ab или ac
Упражнение Проверить, что при. Упражнение 2 iconЗанятие -1 Упражнение -1: а-и-а-я-а-я-о-а-и-и-т-т-з-ф-п-т-т-и-и-е упражнение -2
Упражнение -3: 1(б); 2(в); 3(небожителей); 4(в); 5(г); 6(б); 7(г); 8(а); 9(г); 10(г)
Упражнение Проверить, что при. Упражнение 2 iconПеров Юра, к 04 октября Упражнение 1
Упражнение Доказать, что в группе порядка, где p и q — простые числа, а p делит q – 1, есть подгруппа порядка pq
Упражнение Проверить, что при. Упражнение 2 icon«Мишкина малина» Оборудование
Упражнение По грибыДети встают в круг, поднимают руки вверх и выполняют упражнение на
Упражнение Проверить, что при. Упражнение 2 iconПеров Юра, к 29 ноября Упражнение 1
Упражнение Доказать через понятия «действие группы g на множестве X», «орбита», «стабилизатор» первую теорему Силова
Упражнение Проверить, что при. Упражнение 2 iconСтрадательный залог Упражнение 7a
Упражнение 7c. Употребите глаголы в скобках в требуемом по смыслу времени в активном или пассивном залоге. Переведите текст
Упражнение Проверить, что при. Упражнение 2 iconУпражнение, исправляющее овал лица
Это упражнение приводит в тонус, укрепляет малую и большую скуловые мышцы, вы быстро избавитесь от обвислости в области щек
Упражнение Проверить, что при. Упражнение 2 iconАнглийский Упражнение 1 стр 77 (чтение, перевод) Упражнение 2 стр 78 (соедините вопросы и ответы) Английский
Обеспечение личной безопасности при следовании к месту отдыха воздушным транспортом. Стр 70-72. Написать «Правила безопасного поведения...
Упражнение Проверить, что при. Упражнение 2 iconУпражнение с 1 по 5 Упражнение #1
Пожалуйста поработайте с новой FamilySearch столько времени, сколько сможете. Используйте как можно больше функций. В этом упражнении...
Упражнение Проверить, что при. Упражнение 2 icon2. расслабление мышц шеи рефлекторно расслабляет мышцы корня языка. Упражнение 1
Упражнение Медленно поглаживать шею сверху вниз в области горла ладонью то правой, то левой руки
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org