Курс лекций для студентов специальности Психология Часть Элементы теории множеств и математической логики Лекция 1



Скачать 125.68 Kb.
Дата23.12.2012
Размер125.68 Kb.
ТипКурс лекций

Математика. Курс лекций для студентов специальности Психология

Часть 1. Элементы теории множеств и математической логики
Лекция 1

Множества и операции над ними
1. Понятие множества

2. Способы задания множества

3. Отношения между множествами

3. Операции над множествами

1. Понятие множества
Понятия «множество», «элемент множества», «элемент принадлежит множеству» относятся к первичным, неопределяемым понятиям современной математики, они не определяются через другие понятия.

  • Под множеством понимается всякая совокупность объектов (предметов, понятий), рассматриваемая как единое целое; при этом объекты этой совокупности называют элементами множества.

Примеры.

  1. Множество студентов в данной аудитории.

  2. Множество окружностей, имеющих центр в данной точке.

  3. Множество всех букв русского алфавита.

Основатель теории множеств - Георг Кантор (1845-1918, нем. математик) писал: «Множество есть многое, мыслимое как единое, целое». Множества обозначаются большими буквами , элементы множества - малыми буквами .

Если объект является элементом множества (принадлежит ), то это обозначается . Если не является элементом множества (не принадлежит ), то пишут .

Пример. Рассмотрим множество , составленное из чисел 1 и 3. Числа 1 и 3 принадлежат множеству , что записывается как , . Поэтому числа 1 и 3 являются элементами множества . Числа 2, gif" name="object16" align=absmiddle width=27 height=37> не принадлежат множеству , что записывается как , .

Элементами множества могут быть предметы различной природы (буквы, числа, люди, слова, точки, уравнения и т.д.). Именно этим объясняется общность теоретико-множественных понятий и их применимость к самым разным областям – математике, лингвистике, экономике, психологии, биологии и т.д.

  • Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми множествами.

  • Множество, которое не содержит ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается символом .

Примеры

  1. Множество точек пересечения параллельных прямых – пустое множество.

  2. Множество решений системы уравнений - пустое множество.


Понятие «множество» – как математическое, так и философское. Действительно, уже с рождения человек не только пополняет список объектов и явлений, но и начинает классифицировать их по определенным свойствам, объединяя тем самым объекты в некоторые совокупности, множества. Понятие множества используется для построения и других понятий, используемых не только в математике, но и в гуманитарных науках - например, в психологии – понятия отношения, понятия функции.

2. Способы задания множества
Множество считается заданным, если известен способ, позволяющий для данного предмета решить, принадлежит ли он этому множеству.

Множества могут быть заданы несколькими способами.

  • Задание множества перечислением его элементов.

Названия всех элементов множества (в произвольном порядке) записывают в строку, отделяют запятыми и заключают в фигурные скобки.


Примеры

  1. Множество из четырех букв записывается .

  2. Множество, состоящее из одного элемента , обозначается как . Необходимо различать символы: - предмет, но - множество, состоящее из одного элемента (одноэлементное множество).

Перечислением можно задать только множество, содержащее конечное число элементов. Множества натуральных чисел, целых чисел, множество рациональных чисел, действительных чисел перечислением задать нельзя, так как они бесконечные множества.


  • Задание множества с помощью описания

Примеры

  1. Множество точек плоскости, равноудаленных от двух точек.

  2. Множество решений уравнения .




  • Задание множества с помощью характеристического свойства

Множество может быть задано указанием характеристического свойства его элементов , то есть такого свойства, которым обладают все элементы данного множества, и только они: . Здесь означает, что элемент является элементом известного множества . Запись означает, что элемент обладает свойством .Свойство формулируется словами, символами или выражается с помощью уравнения или неравенства.

Замечание. Характеристических свойств, которыми обладают элементы множества, может быть несколько, тогда при перечислении они отделяются запятой или соединяются логическим союзом «и».

Примеры

  1. Множество целых чисел, которые больше –3, но меньше 4, с помощью характеристического свойства записывается так: . Элементами множества являются только целые числа, которые больше (–3) и меньше 4, то есть числа . Множество содержит конечное число элементов и поэтому может быть задано также перечислением элементов: .

  2. Число 2,5 принадлежит множеству .

  3. Множество решений системы неравенств можно записать в виде . Здесь - множество действительных чисел. Неравенство - первое характеристическое свойство; неравенство - второе характеристическое свойство, которым обладают действительные числа множества . Решая систему неравенств, получим: . Таким образом, множество - бесконечное числовое множество, состоящее из действительных чисел, заключенных между числами 2 и 4, включая число 2. На числовой оси множество задает отрезок , замкнутый снизу и открытый сверху.



2 4

Рисунок 1.1


3. Отношения между множествами
Включение множеств

Рассмотрим множество натуральных чисел, не превосходящих 5, и множество положительных делителей числа 4. Сравнивая эти множества, замечаем, что все элементы множества являются также и элементами множества .

  • Множество называется подмножеством множества (или частью множества ), если каждый элемент множества является также элементом множества . Говорят также, что множество включается во множество и обозначается как .

Отношения между множествами наглядно изображаются с помощью множеств точек, ограниченных замкнутыми кривыми, - так называемых диаграмм Эйлера-Венна. Например, на рисунке 2 приведена диаграмма для отношения включения, когда .

A

B


Рисунок 1.2

Примеры

  1. Всякое натуральное число является элементом множества целых чисел, то есть . Всякое целое число является элементом множества рациональных чисел, то есть , а каждое рациональное число является элементом множества действительных чисел, то есть .

  2. Любой правильный треугольник является элементом множества всех треугольников.

  3. Множество параллелограммов является подмножеством множества четырехугольников.

  4. Открытый отрезок является частью замкнутого отрезка , то есть .

Из определения отношения включения следуют его свойства.

  • Любое множество является подмножеством самого себя (рефлексивность): .

  • Для любых множеств , , справедливо свойство транзитивности: если и , то .

  • Для всякого множества пустое множество является его подмножеством: . Действительно, поскольку пустое множество не содержит ни одного элемента, то можно считать, что «все его элементы» принадлежат любому множеству .

Для отношения включения возможен случай, когда существует хотя бы один элемент множества , не принадлежащий множеству . Тогда говорят, что множество является собственным подмножеством множества , и обозначают отношение строгого включения как .

Пример. Элемент множества не принадлежит множеству , поэтому множество является собственным подмножеством множества , то есть , или .

Все подмножества любого множества , кроме пустого множества и самого множества , являются его собственными подмножествами, а остальные подмножества – несобственными.

Поставим задачу найти число всех подмножеств множества.

  • Если - пустое множество Ø, тогда само множество является единственным его подмножеством. Значит, число подмножеств пустого множества равно единице.

  • Одноэлементное множество имеет два подмножества – само множество и пустое множество. Значит, число подмножеств одноэлементного множества равно двум.

  • Если - двухэлементное множество , тогда его подмножествами являются само множество , пустое множество Ø, два одноэлементных множества и - всего 4 подмножеств. Значит, число подмножеств двухэлементного множества равно 4, или .

  • Пусть - трехэлементное множество , тогда его подмножествами являются: пустое множество ; три одноэлементных подмножества , , ; три двухэлементных подмножества , , и само множество - всего 8 подмножеств. Значит, число всех подмножеств трехэлементного множества равно - в два раза больше числа подмножеств двухэлементного множества.

Можно показать, что если конечное множество состоит из элементов, то число всех его подмножеств равно . Для бесконечного множества множество всех его подмножеств тоже бесконечно.

Равенство множеств

  • Множества и называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, то есть если любой элемент одного из множеств принадлежит другому множеству.

Примеры

1. , . Множества и состоят из одних и тех же элементов, поэтому они равные: .

2. Множество решений уравнения есть множество чисел 2 и 3, то есть . Множество простых чисел, меньших 5, также состоит из чисел 2 и 3, то есть . Значит, множества состоят из одних и тех же элементов и являются равными:.

Равенство множеств равносильно одновременной истинности утверждений: 1) для любых элементов и справедливо: если , то ; 2) если , то . На этом основывается доказательство равенства двух множеств.

4. Операции над множествами

Пересечение множеств

  • Пересечением множеств и называется множество, обозначаемое и состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат и множеству , и множеству :





А В

Рисунок 1.3


Примеры

1. Даны числовые множества , . Найдем их пересечение: .

2. Множество - числовой промежуток - отрезок, открытый слева, множество - бесконечный числовой промежуток, замкнутый слева . Поскольку нет чисел, которые принадлежат одновременно множествам и , то пересечение данных числовых промежутков есть пустое множество: .


-1 0 3
Рисунок 1.4

3. Пусть - множество прямоугольников, - множество ромбов. Так как каждый четырехугольник, который одновременно является и прямоугольником, и ромбом, есть квадрат, то пересечение - это множество квадратов.




А В

Прямоугольники Квадраты Ромбы

Рисунок 1.5

Свойства операции пересечения множеств

1. -

пересечение множества с пустым множеством есть пустое множество

2. -

пересечение множества с самим собой есть само множество

3. -

операция пересечения множеств коммутативна

4. -

Операция пересечения множеств ассоциативна

Объединение множеств

  • Объединением множеств и называется множество , состоящее только из тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств или :

.



А В

Рисунок 1.6


Объединение множеств содержит все элементы множества и все элементы множества .

Примеры

  1. Пусть , . При нахождении объединения множеств будем иметь в виду, что каждое объединение двух множеств содержит все элементы первого и второго множества, записанные по одному разу и в произвольном порядке:

.

  1. Если , и - множества абитуриентов, получивших на экзаменах по математике, биологии, русскому языку «отлично», то пересечение - это абитуриенты, набравшие в сумме 15 баллов.

Свойства операция объединения множеств

1. ,

2. ,

3. - коммутативность (переместительный закон)

4. - ассоциативность (распределительный закон)

5. - дистрибутивность пересечения,

6. - дистрибутивность объединения


Нетрудно заметить, что объединение и пересечение множеств обладают свойствами, аналогичными свойствам суммы и произведения чисел.

Для любых конечных множеств и справедливо соотношение

,

где и - число элементов множеств А и В.
Вычитание множеств

  • Разностью между множествами и называется множество , состоящее из тех элементов множества , которые не принадлежат множеству , то есть .









Рисунок 1.7


Примеры

1. Пусть - множество равнобедренных треугольников, - множество прямоугольных треугольников. Тогда разность состоит из равнобедренных непрямоугольных треугольников.

2. Найдем разности множеств , :

; . Как видно, .

Свойства операции вычитания множеств

1. .

2. .

3. тогда и только тогда, когда .

Дополнение множества

Часто множества , … являются подмножествами некоторого более широкого множества , принимаемого за универсальное.

  • Для совокупности множеств , ... универсальным множеством называют каждое множество такое, что , , , ... .

Примеры

1. Если - множество параллелограммов, - множество трапеций, - множество ромбов, - множество прямоугольников, - множество квадратов, то универсальным множеством служит множество всех четырехугольников.

2. Если - множество треугольников, - множество четырехугольников и так далее, то в качестве универсального множества можно выбрать множество всех многоугольников.

  • Множество элементов универсального множества , не принадлежащих множеству , называется дополнением множества до множества или просто дополнением и обозначается . Таким образом, .







Рисунок 1.8
Пример. Пусть - множество всех прямоугольников, - множество квадратов. Тогда дополнение множества квадратов до множества всех прямоугольников есть - множество разносторонних прямоугольников.
Свойства операции дополнения

Для любых множеств и , принадлежащих универсальному множеству , справедливы следующие свойства.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. Дополнение объединения множеств равно пересечению дополнений этих множеств ;

7. Дополнение пересечения множеств равно объединению дополнений этих множеств .





Похожие:

Курс лекций для студентов специальности Психология Часть Элементы теории множеств и математической логики Лекция 1 iconКурс лекций для студентов специальности Психология Часть Элементы теории множеств и математической логики Лекция 2
Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно...
Курс лекций для студентов специальности Психология Часть Элементы теории множеств и математической логики Лекция 1 iconКурс лекций для студентов специальности Психология Часть линейная и векторная алгебра Лекция 2
Каждой квадратной матрице поставим в соответствие некоторое число, которое будем называть определителем матрицы, и укажем правило...
Курс лекций для студентов специальности Психология Часть Элементы теории множеств и математической логики Лекция 1 iconКурс лекций для студентов специальности Психология Часть математическая статистика Лекция 4 Проверка гипотез о законе распределения
Распределением признака называется закономерность встречаемости разных его значений. В данной теме будем рассматривать сравнение...
Курс лекций для студентов специальности Психология Часть Элементы теории множеств и математической логики Лекция 1 iconКурс лекций для студентов специальности Психология Часть математическая статистика Лекция 2
Следующий шаг – получение числовых характеристик выборки, позволяющих глубже понять особенности объекта наблюдения: среднее значение...
Курс лекций для студентов специальности Психология Часть Элементы теории множеств и математической логики Лекция 1 iconКурс лекций для студентов специальности Психология Часть основы математического анализа Лекция 2
К основным операциям (+, –,, ), которые применяются в элементарной математике, в высшей математике добавляется еще одна – операция...
Курс лекций для студентов специальности Психология Часть Элементы теории множеств и математической логики Лекция 1 iconЛогинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление
В разделе рассматриваются основные понятия теории множеств, определение множества действительных чисел. Приводится необходимая терминология...
Курс лекций для студентов специальности Психология Часть Элементы теории множеств и математической логики Лекция 1 iconДискретная математика (конспект лекций)
Фгоу впо сибгути. Раздел 1 Основы теории множеств. Раздел 2 Формулы логики. Раздел 3 Булевы функции. Раздел 4 Предикаты и бинарные...
Курс лекций для студентов специальности Психология Часть Элементы теории множеств и математической логики Лекция 1 iconКомитет образования и науки администрации санкт-петербурга
«Элементы теории множеств» и «Элементы теории вероятности». Этот курс дополняет базовую программу, не нарушая её целостности. Задания,...
Курс лекций для студентов специальности Психология Часть Элементы теории множеств и математической логики Лекция 1 iconЭлементы математической логики
Простейшую из формальных логических теорий называют алгеброй высказываний, поэтому начнем знакомство с элементами математической...
Курс лекций для студентов специальности Психология Часть Элементы теории множеств и математической логики Лекция 1 iconКурс лекций по высшей геодезии раздел «теоретическая геодезия»
Курс лекций ведется на кафедре прикладной геодезии и фотограмметрии Полоцкого государственного университета для студентов специальности...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org