Ііі. Дифференциальное исчисление главаvi: Производные и дифференциалы



Скачать 79.97 Kb.
Дата24.12.2012
Размер79.97 Kb.
ТипДокументы

РАЗДЕЛ ІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ГЛАВАVI: Производные и дифференциалы

§ 1 Понятие производной


Пусть функция определена на промежутке (возможно бесконечном). Возьмем произвольную точку и придадим ей произвольный прирост такой, чтобы . Функция получит в точке соответствующий прирост



Определение1. Производной функции в точке называется граница отношения прироста этой функции к приросту аргумента , когда прирост аргумента движется к нулю.

Производная обозначается одним из символов: . В дальнейшее, как правило, будем отдавать преимущество первому символу, который ввел Лагранж.

Следовательно, по определению

(1)

Отношение

(2)

называется дифференциальным отношением.

В случае, когда граница отношения (2) при не существует, будем считать, что функция в точке не имеет производной.

Если функция имеет производную в каждой точке , то обозначим эту производную или .

Следовательно, если - фиксированная точка промежутка Х, то производная gif" name="object21" align=absmiddle width=47 height=24> в случае ее существования - некоторое число. Если же производная существует в каждой точке , то уже функция от х.

Замечание 1. Если промежуток Х - замкнутый, например, и , то в формуле (1) граница правосторонняя



Аналогично, если , то



(граница левосторонняя).

Замечание 2. Понятно, что граница (1) существует не для любой функции и не всякой для точки . Например, для функции в точке граница (1) не существует, поскольку дифференциальное отношение (2)



Замечание 3. Если существуют границы

и ,

то их называют соответственно левой и правой производной функции в точке и обозначают і . Это так называемые односторонние производные. Например, эти производные в точке имеет функция , причем и .

Если существуют левая и правая производные и = , то, очевидно, существует производная , причем = = . Поскольку для функции , то не существует.

Замечание 4. Если для некоторого значения х выполнено одно из условий

или ,

то говорят, что в точке функция имеет бесконечную производную определенного знака.

Аналогично устанавливается понятие односторонних бесконечных производных. Например, функция в точке имеет бесконечную производную, что равно . Действительно,

.

В дальнейшем, если не оговаривается отдельно, под словами функция имеет производную будем понимать лишь наличие конечной производной.

Определение 2. Функция , которая имеет производную в точке , называется дифференцированной на промежутке Х.

Операция отыскания производной называется дифференцированием.

Теорема (о связи между понятиями дифференцированности и непрерывности). Если функция дифференцирована в точке , то она в этой точке непрерывная.

Доказательство. Поскольку функция дифференцирована в точке , то существует граница



Запишем тождество



и перейдем в нем к границе, если . Получим



А это и означает, что функция непрерывна в точке .

Подчеркнем, что функция непрерывная в точке , не обязательно дифференцированная в этой точке. Так, например, функция , о которой говорилось выше, очевидно, непрерывна в точке , тем не менее, производной в этой точке нет.

Известны примеры функций, которые непрерывны на всем промежутке Х, тем не менее ни в одной точке не имеют производной.

§2 Содержание производной


К понятию производной приводят разнообразные задачи геометрии, механики, химии, экономики, биологии и других наук. Рассмотрим некоторые из них.

2.1. Задача про касательную к кривой

Пусть функция дифференцирована в точке , то есть существует производная . Уравнение секущей , которая проходит через точки и график функции (рис. 45),




Рис. 45

имеет вид




где X и Y - переменные координаты точки секущей. Угловой коэффициент секущей при следует к . А потому предельное положение секущей определяется уравнением

.

Прямая, которая задается этим уравнением, называется касательной к графику функции в точке . Угловой коэффициент касательной .

Последняя формула приводит к геометрическому содержанию производной: производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции , проведенной в точке .

Геометрическое толкование производной как углового коэффициента касательной к графику функции распространяется и на случай бесконечной производной. В этом случае касательная параллельна оси Оу.

2.2. Задача о мгновенной скорости

Рассмотрим неравномерное прямолинейное движение тела, что начинается в момент времени . Будем считать, что путь, преодоленный телом за время , равен . Функция называется законом движения тела.

Путь , который преодолеет тело за отрезок времени , находится как



Средней скоростью движения за промежуток времени называется отношение



в котором легко узнать дифференциальное отношение.

Мгновенной скоростью движения в момент называется граница этого отношения, если , то есть

.

Следовательно, производная от пути по времени равна мгновенной скорости прямолинейного движения тела.

2.3. Задачи о затратах производства и выручку

Пусть - затраты производства однородной продукции - некоторая функция количества продукции х. Укажем, что количеству продукции отвечают затраты производства продукции . Следовательно, дифференциальное отношение, которое характеризует средний прирост затрат производства,



Оно отображает прирост затрат производства на единицу прироста количества продукции.

Граница



называется предельными затратами производства.

Пусть - выручка от продажи х единиц товара. Рассуждения, аналогичные предыдущим, приводят к границе



которую называют предельной выручкой.

§3. Правила дифференцирования


3.1 Дифференцирование суммы, произведения и частного

Теорема 1. Если функции и дифференцированные в точке х, то функции (в последнем случае предполагается, что ) тоже дифференцированные в этой точке и имеют место формулы:

а) ;

б) ;

в) .

Доказательство. а) Придадим х некоторый прирост . Тогда функции и будут иметь приросты и , а функция - прирост . И, следовательно,



то есть функции действительно дифференцированные в точке х , и имеет место формула а).

б) Придадим х некоторый прирост . Тогда функции и будут иметь приросты и , а функция - прирост



И, следовательно,



Отметим, что функция непрерывна в точке х, поскольку она дифференцированная в этой точке, а потому при . Переходя к границе при в последнем равенстве, получим , то есть функция действительно дифференцированная в точке х и имеет место формула б).

в) Придадим х некоторый прирост , тогда функция и будут иметь приросты и , а функция - прирост



Переходя к границе при в последнем равенстве, получим , то есть функция действительно дифференцированная в точке х и имеет место формула в).

Следствие. Предположим, в формуле б) , тогда и , то есть постоянный сомножитель можно выносить за знак производной.

3.2. Дифференцирование сложной функции

Теорема 2. Пусть - сложная функция, где и - дифференцированные функции своих аргументов. Точнее, внешняя функция в точке имеет производную (по U) , а внутренняя функция в точке х имеет производную (по х) . Тогда сложная функция - дифференцированная в точке х, причем ее производная исчисляется по формуле



или коротко

чи

Доказательство. Придадим х некоторый прирост . Тогда функция получит прирост , а функция - прирост .

При условии имеем



Переходя в этом равенстве к границе при , получим



что и требовалось доказать.

При доказательстве учтено, что функция непрерывна в точке х, поскольку она дифференцированная в этой точке и, следовательно, при .

Замечание. Предположение, что довольно малому отвечает , конечно же, важное. Тем не менее, если случится, что (кстати, этот случай встречается редко), то формулу дифференцирования сложной функции нетрудно установить немного другим путем.

Следствие. (дифференцирование обратной функции). Пусть функция обратная по отношению к функции , причем функции и имеют производные соответственно в точках х и . Установим связь между производными и .

Поскольку при всех х, то по правилу дифференцирования сложной функции производные от обеих частей этого равенства , откуда или коротко или .

Последние формулы имеют простое геометрическое содержание. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке , а угловой коэффициент к графику функции в точке (рис. 2).



Очевидно, что , а потому или .




Похожие:

Ііі. Дифференциальное исчисление главаvi: Производные и дифференциалы iconЛеонард эйлер (1707—1783)
Только после его исследований, изложенных в грандиозных томах его трилогии «Введение в анализ», «Дифференциальное исчисление» и «Интегральное...
Ііі. Дифференциальное исчисление главаvi: Производные и дифференциалы iconУважаемый студент! Вы изучили разделы математики: линейная алгебра, дифференциальное исчисление, интегральное исчисление и теория вероятностей
...
Ііі. Дифференциальное исчисление главаvi: Производные и дифференциалы iconЛ. С. Гордеев Дифференциальное и интегральное исчисление функции многих

Ііі. Дифференциальное исчисление главаvi: Производные и дифференциалы iconТема Дифференциальное и интегральное исчисление функции двух (нескольких) переменных

Ііі. Дифференциальное исчисление главаvi: Производные и дифференциалы iconГосударственный образовательный
Несобственные интегралы. Точечные множества в n – мерном пространстве. Функции нескольких переменных, их непрерывность. Производные...
Ііі. Дифференциальное исчисление главаvi: Производные и дифференциалы iconЛитература по дисциплине «Математический анализ»
Бугров Я. С., Никольский С. М.: Дифференциальное и интегральное исчисление. М. Высшая школа, 1993
Ііі. Дифференциальное исчисление главаvi: Производные и дифференциалы iconПроизводные и дифференциалы высших порядков
Опр-ие: производной n-го порядка (n2) функции у=f(х) называется производная (первого порядка) от производной (n-1)-го порядка
Ііі. Дифференциальное исчисление главаvi: Производные и дифференциалы iconД. И. Менделеева Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной
Авторы: Е. Г. Рудаковская, М. Ф. Рушайло, М. А. Меладзе, Е. Л. Гордеева, В. В. Осипчик
Ііі. Дифференциальное исчисление главаvi: Производные и дифференциалы iconУчебно-тематические планы лекционных занятий по дисциплине «Математика»
В математику. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной
Ііі. Дифференциальное исчисление главаvi: Производные и дифференциалы iconТема Дифференциальное исчисление функции одного аргумента. Применение производной к исследованию функции

Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org