Многоугольники Выпуклые и невыпуклые многоугольники



Скачать 32.13 Kb.
Дата08.10.2012
Размер32.13 Kb.
ТипЗадача
6 класс

Листок-5, 20.11.09.

Многоугольники-1. Выпуклые и невыпуклые многоугольники.




Определение 1. Ломаной линией А1А2...Аn называется фигура, состоящая из отрезков А1А2, А2А3, ..., Аn–1An, которые называются её звеньями. Ломаная называется замкнутой, если точки А1 и Аn совпадают. Кроме того, всегда предполагается, что все точки А1, A2, ..., Аn различны, а соседние звенья ломаной не могут лежать на одной прямой.

На рисунке справа изображена незамкнутая ломаная А1A2A3A4A5А6, имеющая самопересечения.
Задача 1. Какое наибольшее число самопересечений может иметь ломаная, состоящая из четырёх звеньев? Пяти звеньев? А если известно, что ломаная замкнутая?




Определение 2. Многоугольником называется часть плоскости, ограниченная несамопересекающейся замкнутой ломаной. Звенья этой ломаной называются сторонами многоугольника, а сама ломаная – контуром (или границей) многоугольника.

На рисунке слева изображён многоугольник А1A2A3A4A5.

Задача 2. Про два многоугольника известно, что они имеют общую внутреннюю точку (не лежащую на их контурах). Верно ли, что пересечение двух многоугольников (если оно не пусто) является многоугольником? Верно ли, что их объединение является многоугольником?

Задача 3. Могут ли у многоугольника найтись две стороны, лежащие на одной прямой? А миллион таких сторон?
Определение 3а. Многоугольник называется выпуклым по Михаилу Юрьевичу, если любой отрезок с концами в точках, лежащих в многоугольнике, целиком ему принадлежит.

Определение 3б. Многоугольник называется выпуклым по Николаю Александровичу, если он лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей одну из сторон многоугольника.

Задача 4. Является ли многоугольник, изображённый на рисунке слева от определения 2, выпуклым по Михаилу Юрьевичу? А выпуклым по Николаю Александровичу? Почему?

Задача 5. Объясните, почему любой выпуклый по Николаю Александровичу многоугольник является выпуклым и по Михаилу Юрьевичу?

(Начало решения. Пусть нашёлся многоугольник, который является выпуклым по Николаю Александровичу, но не является выпуклым по Михаилу Юрьевичу.
Тогда в нём найдутся две точки такие, что соединяющий их отрезок пересекает контур многоугольника. Но это невозможно по причине того, что...)


Задача 6. Наоборот, объясните, почему и любой выпуклый по Михаилу Юрьевичу многоугольник является выпуклым по Николаю Александровичу?

(Указание. Решайте задачу методом "от противного", как и задачу 5.)

Замечание. Решив задачи 5, 6, мы доказали эквивалентность определений 3а и 3б. Поэтому мы можем, не рискуя запутаться, называть многоугольник, для которого удалось проверить одно из определений, просто выпуклым.

Задача 7. Проверьте, что в случае выпуклых многоугольников ответы на вопросы задачи 2 положительны. Посмотрите, можно ли эти задачи обобщить на случаи трёх и большего числа многоугольников.

Задача 8. Может ли выпуклый многоугольник обладать двумя сторонами, лежащими на одной прямой?

Задача 9. Ученик шестого класса придумал такое определение: "Многоугольник называется выпуклым, если любая прямая на плоскости либо не пересекается с многоугольником, либо пересекается с ним по точке, либо пересекается с ним по отрезку." Докажите, что оно эквивалентно определениям 3а и 3б.

Попробуйте придумать своё определение выпуклого многоугольника, которое будет эквивалентно перечисленным.

Похожие:

Многоугольники Выпуклые и невыпуклые многоугольники iconВыпуклые и невыпуклые многоугольники

Многоугольники Выпуклые и невыпуклые многоугольники icon«Конструирование и исследование многоугольников (работа в тетради для исследований)»
Исследование №2 «Многоугольники». Конструируем многоугольники из тико-деталей, считаем количество углов и сторон, называем многоугольники...
Многоугольники Выпуклые и невыпуклые многоугольники iconМногоугольники Симметрия
По просьбам трудящихся не только многоугольники, а ещё и листья, снежинки, бабочки…
Многоугольники Выпуклые и невыпуклые многоугольники iconТесты для учеников 12 2 Тесты для студентов по теме «Правильные многоугольники» 14
Анализ содержания учебных пособий и методические особенности преподавания темы «Правильные многоугольники» 4
Многоугольники Выпуклые и невыпуклые многоугольники iconВписанные и описанные многоугольники. Правильные многоугольники
Вписанным в круг называется многоугольник, вершины которого расположены на окружности ( рис. 54 ). Описанным около круга называется...
Многоугольники Выпуклые и невыпуклые многоугольники iconД. Б. Богданов Многоугольником (в вычислительной геометрии также полигоном) называется замкнутая кривая на плоскости, образованная отрезками прямых линий. Многоугольники были известны ещё в Древней Греции. На сегодн
Многоугольники были известны ещё в Древней Греции. На сегодняшний день этот математический объект является одним из основных в элементарной...
Многоугольники Выпуклые и невыпуклые многоугольники iconВсё о четырехугольниках или почти всё
Четырёхугольник — это многоугольник, содержащий четыре вершины и четыре стороны. Различают выпуклые и невыпуклые четырёхугольники...
Многоугольники Выпуклые и невыпуклые многоугольники iconТема 5: Многоугольники
Плоская фигура, образованная замкнутой цепочкой отрезков, называется многоугольником
Многоугольники Выпуклые и невыпуклые многоугольники icon«Многоугольники»
Тип учебного занятия: изучение и первичное закрепление новых знаний и способов деятельности
Многоугольники Выпуклые и невыпуклые многоугольники iconПриложение многоугольники уровень 1
Заполнить пропуски. Ломаная называется, если она не имеет самопересечений
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org