Вячеслав тельнин



Скачать 120.35 Kb.
Дата24.12.2012
Размер120.35 Kb.
ТипДокументы
ВЯЧЕСЛАВ ТЕЛЬНИН

ЧАСТЬ 2
Законы сохранения Нетер с учетом ВТОРЫХ производных в лагранжиане и с учетом кривизны пространства и с НЕСИММЕТРИЧНЫМ метрическим тензором.

Оглавление


  1. Предистория 2

  2. Функция действия в искривленном пространстве. 3

  3. Уравнения поля в искривленном пространстве. 4

  4. Первая теорема Нетер в искривленном пространстве

и с учетом вторых производных в лагранжиане и с несимметричным метрическим тензором. 4

  1. Вектор энергии-импульса в искривленном пространстве и …. 9

  2. Тензор момента количества движения в искривленном пространстве и …. 10

  3. Более полное описание орбитального и метрического моментов в искривленном пространстве и …. 11



  1. Предистория. В оглавление


Впервые с общей теорией относительности я встретился на 2-м курсе физфака Новосибирского Государственного Университета. Это был факультативный (необязательный) курс который читал Кулаков Юрий Иванович. Это был учебный год 1977-1978. Я прослушал все лекции и сдал экзамен на 5.

Второй раз встреча была в 1984 году. Я обнаружил в Тюменской Областной Научной Библиотеке (ТОНБ) книжку Дирака «Общая Теория Относительности» 1978 года издания. И, когда выдалась возможность, я ее прочел. Она очень тоненькая – по сравнению с другими курсами – но очень информативная. И в ней написано как строить функцию действия для системы полей в искривленном пространстве. И показано как потом из этой функции действия извлекать информацию о тензоре энергии-импульса (ТЭИ) – и тоже в искривленном пространстве. Только вот с ТЭИ самого гравитационного поля были какие-то затруднения. И ничего лучше не нашли чем какой-то псевдо-тензор энергии-импульса.

А потом – году в 1990-м или в 1991-м началась моя эпопея по поиску «спинорного произведения спиноров». И внутри нее я забрел в новую область. Встретил новые 2-х объекты. Поисследовал их. Построил с их помощью множество новых объектов. И у меня было предположение что эти объекты обладают рациональным спином (а некие другие и иррациональным). И я стал искать связь этих объектов со спином. И вот, в книге Боголюбова и Ширкова «Введение в теорию квантованных полей» 1984 года, я нашел необходимый формализм. Применил его к своему случаю и построил «оператор спина». Действуя им на эти новые объекты я получал их же самих, но умноженных на некое число. Это число совпадало со спином этих объектов когда они совпадали с хорошо известными полями спинов : 0, ½, 1, 2. Это совпадение позволяло надеяться что этот оператор и есть оператор спина.

Во время этих поисков я в этой же книге обнаружил применение этого формализма для определения тензора спина системы полей. Это мне пригодилось.
Заодно я ознакомился с теоремой Нетер через которую давались определения ТЭИ и тензора момента количества движения (ТМКД) – орбитального и спинового. Но этот вывод там сделан для неискривленного пространства. Вот если б найти книжку где эта теорема Нетер получена в искривленном пространстве …

И вот однажды я захотел еще раз взглянуть на одну сноску в книге Боголюбова, Ширкова, но не нашел ее там, где ожидал найти. Вместо нее я наткнулся на другую сноску : «Эта теорема в работе Нетер (1918) названа первой. Вторая теорема Нетер рассматривает группы преобразований с параметрами, зависящими от х.» Раньше я не смотрел на эту сноску, а тут подумал : «Искривленное пространство предполагает зависимость метрического тензора от х . Может эта вторая теорема Нетер как раз и дает учет гравитационных эффектов ?»

С помощью интернета нашел книгу Коноплевой, Попова «Калибровочные поля» 2000 год (переиздание 1980 года). И в ней есть и первая и вторая теоремы Нетер. Я прочел и про ту, и про другую. В этой книге первая теорема Нетер изложена с учетом не только первых производных от полей (как у Боголюбова, Ширкова), но и с учетом вторых производных. Правда вывод не такой подробный как у Боголюбова, Ширкова. Вторая же теорема Нетер дает те же самые уравнения что и первая теорема, но вдобавок еще и новые уравнения. Про учет гравитации здесь речи не идет…

Пришлось развивать свои построения беря определение ТЭИ из книги Дирака, а определение ТМКД из Боголюбова, Ширкова. И вот, при вычислениях ТЭИ для своих новых объектов, возник вопрос о тонкостях варьирования плотности Лагранжа по метрическому тензору. Это я читал в свое время в книжке Дирака. Пошел снова в ТОНБ, взял эту книжку и полистал ее – много лет ведь ее не видел. Заглянул и в раздел ТЭИ гравитационного поля. Посмотрел на псевдотензор энергии-импульса гравитационного поля и был потрясен : он совпадал с определением ТЭИ в первой теореме Нетер в формулировке Боголюбова, Ширкова ! Так значит эта теорема дает более глубокий подход к описанию ТЭИ и материальных полей, и гравитационного поля чем подход изложенный у Дирака. Это первое умозаключение. Возникло и второе – раз гравитационное поле описывается не только первыми производными от метрического тензора, но и вторыми, то и вывод ТЭИ для гравитационного поля надо делать с подходом книги Коноплевой, Попова. И при этом выводе надо учесть искривленность пространства. Жаль что в этой книге нет подробного вывода формулы.

Через некоторое время я решил взять книгу Боголюбова, Ширкова и проследить за каждым шагом вывода формулы. И там, где надо, ввести и учет вторых производных и учет искривленности пространства. Так и сделал.

Интересно – в работе Нетер 1918 года – какие производные учитывались – только первые или вторые тоже ? Откуда взяла Коноплева (эта часть книги написана ей) формулу для вида сохраняющихся токов с учетом вторых производных ? Из работы Нетер или вывела сама ? Или еще откуда ?

Ниже будет изложен пошаговый вывод формулы, взятый из книги Боголюбова, Ширкова, но с учетом вторых производных и кривизны пространства. Далее у Боголюбова, Ширкова рассматриваются различные частные случаи сохраняющихся величин – ТЭИ, ТМКД (орбитальный и спиновой), изотопический спин, заряд и вектор тока. Я же ограничусь ТЭИ и ТМКД.
2) Функция действия в искривленном пространстве. В оглавление
В книге Дирака «Общая теория относительности» 1978 г. написано, что если g – определитель метрического тензора, а S – скалярная функция, построенная из полей системы, то величина



является инвариантом относительно преобразований координат. И поэтому ее можно взять в качестве функции действия системы полей. Это можно обобщить и на N измерений.

Скаляр S строится из функций поля ( векторов, или спиноров, или тензоров – например метрического тензора - , или векторов из пространства степени M/L от базисного пространства, или каких-нибудь других), оператора , метрических, алгебраических тензоров, косбазов и других величин с индексами (определения смотри в Части 1), а также от их ковариантных производных и от их обычных производных (здесь мы учитываем не только первые, но также и вторые производные).



Величина L называется Лагранжевой плотностью. - обычная производная.







3) Уравнения поля в искривленном пространстве. В оглавление
Будем учитывать не только первые, но и вторые производные по от :



Проварьируем A по :




Если при любых вариация = 0, то получим уравнения поля :


4). Первая теорема Нетер с учетом вторых производных в искривленном пространстве и с несимметричными метрическими тензорами. В оглавление
Рассмотрим бесконечно малое преобразование координат и функций поля :




Вариации и выражаются через бесконечно малые линейно независимые параметры преобразования формулами :


Индексы функций поля i и параметров преобразования n могут иметь (или не иметь) простое тензорное содержание. Мы не будем пока его конкретизировать и условимся подразумевать суммирования по этим индексам, когда они дважды повторяются.

Отметим, что закон преобразования производных функций поля


содержит вариации , не являющиеся производными от . Иными словами, операции и не перестановочны. Дело в том, что - вариация функции поля как за счет изменения ее формы, так и за счет изменения аргумента. Введем вариацию формы функции



которая с точностью до бесконечно малых второго порядка может быть представлена в виде :



Ковариантная производная здесь учитывает кривизну пространства.

По определению операции она перестановочна с обычной производной : .

Определим теперь вариацию действия


где



причем



Ковариантная производная здесь учитывает кривизну пространства.

Здесь - вариация L за счет вариаций формы


а второй член описывает полную вариацию за счет вариаций координат. Итак :


Рассмотрим разность последних двух членов, описывающую вариацию объема интегрирования.

Преобразуем элемент объема


Ковариантная производная здесь учитывает кривизну пространства.

Поэтому



и



Найдём для несимметричных .













Из следует

Учитывая

и

[Символы Кристоффеля для несимметричных метрических тензоров надо брать из Части 3 (2.35)]





получим



Используя уравнения поля (3.1) :



получаем







С учетом (4.3) и (4.4) имеем :



где







Из требования исчезновения вариации действия получаем теперь, приравнивая нулю коэффициенты при независимых параметрах преобразования :


Используя произвольность области интегрирования, приходим к уравнению :



Если , то :

Преобразуя интеграл в правой части (4.6) по теореме Гаусса, можно получить законы сохранения соответствующих поверхностных интегралов. Считая для этого, что интегрирование в (4.6) происходит по объему, неограниченно расширяющемуся в пространственно-подобных направлениях и ограниченному во времениподобных направлениях пространственно-подобными трехмерными поверхностями и , получим, предполагая, что на границах пространственного объема поле практически равно нулю :



Здесь - проекция элемента поверхности на 3-плоскость, перпендикулярную к оси . Полученное уравнение показывает, что поверхностные интегралы


фактически не зависят от поверхности . В частном случае, когда поверхности представляют собой 3-плоскости , интеграция происходит по трехмерному конфигурационному пространству и интегралы


не зависят от времени.

Таким образом, доказано, что каждому непрерывному s-параметрическому преобразованию координат (4.1) и функций поля (4.2) соответствуют s инвариантов (4.8) (n = 1, …, s ), не зависящих от времени. Это и есть первая теорема Нетер (при ).

Величины неоднозначны. К ним могут быть прибавлены выражения вида


при условии, что



Указанный произвол, однако, не влияет на значение сохраняющихся интегралов (4.8).

Если же то из (4.6) следует :



Пусть тогда



Следовательно мы имеем :
Из (4.12) видно что величины



не зависят от времени. Это первая теорема Нётер для несимметричных метрических тензоров в искривлённом пространстве с учётом вторых производных в лагранжиане.
Перейдем к конкретизации величин и связанных с ними законов сохранения (4.8).
5). Вектор энергии-импульса в искривленном пространстве с несимметричным метрическим тензором. В оглавление
При бесконечно малых пространственно-временных трансляциях



выбирая в качестве параметров преобразования величины , находим с учетом закона и (4.3) и



и превращается в



( k, n = 1, 2, 3, 4)



Интегралы типа (4.13) от и представляют сохраняющийся во времени 4-вектор



Это вектор энергии-импульса.

Если вместо взять несимметричный метрический тензор , то из (2.35) Части 3



то есть

Используя это соотношение, а также и

и подставив их в (4.5) и в (5.1.2) получим псевдотензор энергии-импульса гравитационного поля. Полностью эта формула прописана в Части 3 в пункте 6.

В оглавление
6). Тензор момента количества движения в искривленном пространстве.
При бесконечно малых преобразованиях (вращениях при n m

И растяжениях-сжатиях при n=m ) :





Отсюда следует, что



Полную вариацию функции поля представим в виде



Тогда



Используя (4.5) получим



Из (4.4.1) следует








При и можно ввести







При m=n (растяжения – сжатия)







Здесь - это тензор орбитального момента, - тензор спинового момента, - тензор метрического момента. А - это тензор полного момента количества движения.








Свернем эти тензора с трехиндексным алгебраическим тензором (определение

алгебраического тензора смотри в Части 1):








Здесь - вектор орбитального момента, - вектор спинового момента, - вектор метрического момента, а - вектор полного момента количества движения для нашей системы полей. В оглавление
7). Описание орбитального и метрического моментов в искривленном пространстве с несимметричным метрическим тензором.

Опираясь на пункт 1 Части 4 можно выписать следующие соотношения :


В неискривленном пространстве

В искривленном пространстве величины находятся из уравнения :





Рассмотрим антисимметричную часть символов Кристоффеля (Часть 3 (2.17), (2.33) ) :













Учитывая и симметричную часть символов Кристоффеля (Часть 3 (2.17), (2.34) ) получим :

После этого тензор спина получается без изменений, а тензор орбитального момента выглядит так :


Тензор же метрического момента таков ( учитывая (4.4.1)



а также (7.1), (7.4) и (6.4.1) и (6.13.1) ) :


Рукопись части 2 закончена 11/11-2005, ее набор закончен 30/11-2005, исправление – 10/12-2006 . Пункт 7 добавлен 21/8-2007. Учёт ковариантных производных 7/1-2008.

Исправлено 6/2-2008. Доучёт вторых производных 4 апреля 2008. Переучёт кривизны 16 апреля 2008. Доучёт кривизны 6 июля 2008. Новое уравнение для спиков в искривлённом пространстве – 6/3-2012. Учёт несимметричных метрических тензоров – 27/3-2012. Ввод в рассмотрение тензора метрического момента и его явный вид в искривлённом пространстве-времени для несимметричных метрических тензоров – 8/11- 2012. Устранение опечаток – 10/10-2012

В оглавление




Похожие:

Вячеслав тельнин iconВячеслав тельнин
Более полный учет кривизны в тензоре момента количества движения гравитационного пол
Вячеслав тельнин iconВячеслав тельнин
То есть эквивалентная масса гравитационного поля Земли примерно в миллиард раз меньше массы Земли
Вячеслав тельнин iconВячеслав тельнин часть 4 Применение Части 2 к векторам из Части 1
В пункте 6 части 2 при определении тензора спина введены были спиновые Коэффициенты (спики) так
Вячеслав тельнин iconВячеслав Тельнин
В части 1 рассматривалось возведение векторного многомерного пространства в рациональную степень M/L. Теперь на этой основе продвинем...
Вячеслав тельнин iconВячеслав Тельнин часть возведение многомерных векторных пространств в рациональные степени M/L
И я стал пробовать применять кватернионы к моменту количества движения. И к другим физическим величинам. И оказалось что алгебра...
Вячеслав тельнин iconМодели эффекта Харста Участники: Вячеслав Иосифович Найденов
Вячеслав Иосифович Найденов доктор физико-математических наук, заведующий лабораторией поверхностных вод Института водных проблем...
Вячеслав тельнин iconСвоим опытом делится заведующий приёмным отделением областной инфекционной больницы г. Иркутска, кандидат медицинских наук, Леоненко Вячеслав Викторович Здравствуйте, Вячеслав Викторович
Применение Трансфер Факторов при профилактике и лечении вирусно-инфекционных болезней у беременных
Вячеслав тельнин iconПост-релиз Вячеслав Зайцев посетил «павловопосадский» показ мкс в Санкт-Петербурге 18 октября 2012 года в рамках 6 сезона Aurora Fashion Week Russia состоялся показ коллекции дизайнеров по меху Марины и Сергея Каминских
Марины и Сергея Каминских, посвященный 25-летию со дня основания Модного дома мкс. Вячеслав Зайцев посетил показ и сердечно поздравил...
Вячеслав тельнин iconВячеслав георгиевич

Вячеслав тельнин iconАверин вячеслав Афанасьевич

Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org