Начально-краевые задачи для уравнений параболического типа



страница4/6
Дата24.12.2012
Размер0.55 Mb.
ТипРеферат
1   2   3   4   5   6
§ 9. Конус в линейном нормированном пространстве [6-8]
Определение 14. Замкнутое выпуклое множество KE называется конусом, если из условия x K и x  0 следует , что x K при  0 и x K при < 0.

Определение 15. Конус называется телесным, если хотя бы одна точка вместе с некоторой окрестностью принадлежит K.

Точки, обладающие указанным свойством, называют внутренними точками, совокупность всех таких точек обозначается intK. Рассмотрим примеры конусов в разных пространствах.

              1. В качестве пространства выберем R3 и выделим в нем множество векторов с неотрицательными компонентами. Легко проверить, что это множество является конусом, причем телесным, так как вектор е = (1, 1, 1)Т со своей окрестностью принадлежит этому множеству.

              2. Рассмотрим множество симметричных матриц (n x n) – матриц Y  L (Rn, Rn). Ному элемента Y  L определим следующим образом
                L . (23)
                В L (Rn, Rn) выделим множество K= {Y  L (Rn, Rn): xTYx  0, xRn}. Здесь xTYx –образовано по обычным правилам векторного и матричного умножения. Множество K является конусом и этот конус является телесным. Действительно, множество точек intK определено неравенством xTYx > 0 при всех x  0. Очевидно, что единичная матрица удовлетворяет этому условию.

              3. Рассмотрим пространство C(a,b), то есть пространство непрерывных функций, заданных на отрезке (a,b), и норма определяется равенством . Выделим в этом пространстве совокупность неотрицательных функций. Это множество также является конусом, причем этот конус телесный, так как его внутренней точкой является функция f  1.

              4. Рассмотрим пространство L (a,b), то есть пространство непрерывных функций, заданных на отрезке (a,b), и норма определяется равенством . Множество неотрицательных функций образуют конус, но он не является телесным, так как о окрестности любой неотрицательной функции найдется функция, имеющая отрицательное значение.


Используя понятие конуса, можно ввести полуупорядоченность в исходном пространстве.

Определение 16. Элемент пространства х больше или равен элементу y (записывается x y), если xy K. Знак по конусу обладает свойствами обычного знака .

Определение 17. Конус K называют нормальным, если из неравенства 0 х y следует ||x||  N||y||, где N не зависит от x и y. Число N называют константой нормальности конуса. Если N = 1, то конус называют острым.



В качестве примера рассмотрим конус векторов с неотрицательными компонентами в R2. На рис. 5 изображен вектор xK. Векторы y x принадлежат заштрихованной области. Кроме того, легко видеть, что данный конус является острым. В пространстве C(0;1) задан элемент vK, где K совокупность неотрицательных функций. Элементы
u v совпадают с функциями, графики которых принадлежат заштрихованной области (рис.6). Этот конус также является острым.

Рассмотрим более сложный пример конуса. В пространстве L (Rn, Rn)с нормой (23). Для доказательства нормальности этого конуса заметим, что функционал

Обладает свойством нормы (проверку провести самостоятельно). Но ||Y1||1=||Y2||1+||Y1- Y2||1, если Y1 Y2 0. Отсюда следует, что по норме ||||1 конус K острый и, в силу эквивалентности норм ||||1 и ||||L , нормальный по исходной норме в
L (Rn, Rn).

Определение 18. Множество элементов x пространстве E, удовлетворяющих неравенству U x V , где U и V – некоторые фиксированные элементы пространства E, называют конусным отрезком.

Рассмотрим пример конусного отрезка в пространстве R2. Пусть в пространстве R2 выделены два элемента V = (1; 2) и U = (-1; -1). В качестве конуса выберем первый квадрант. Тогда заштрихованная область на рис. 7 выделит множество векторов, принадлежащих конусному отрезку.

Определение 19. Если каждый элемент xE может быть представлен в виде
x = uv , где u,vK, то конус называют воспроизводящим. Если, кроме того, элементы u и v можно выбрать так, что ||u||, ||v|| < a||x||, где a не зависит от x, то конус называют не- сплющенным.

Определение 20. Оператор A называют монотонным, если из неравенства x y следует Ax Ay.

Определение 21. Оператор A называют положительным, если из условия x K следует Ax K. Это свойство обычно записывают так: AK K.

Для линейных операторов монотонность и положительность являются эквивалентными понятиями, так как из условия x y или 0 y x следует 0 A(yx) = AyAx, то есть Ax Ay.

Приведем примеры положительных операторов. Пусть в пространстве Rn в качестве конуса выбрана совокупность векторов с неотрицательными компонентами. Тогда матрица n x n с неотрицательными элементами является примером оператора, положительного по выбранному конусу.

Пусть R(x,) непрерывная функция на квадрате 0  x,  1. Тогда в пространстве C(0;1) оператор , отображающий C(0;1) в C(0;1), является положительным оператором по конусу неотрицательных функций.
§ 10. Положительность операторной экспоненты.

Операторная экспонента играет существенную роль при построении решения задачи Коши. Например, решение задачи Коши для системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами может быть записано в виде [8], если при любом конечном t норма оператора ограничена. Если , то решение этой задачи будет положительным.

Пусть 0(A), а остальная часть спектра (A) удовлетворяет условию: (A), Re a и a < 0. В этом случае собственное значение 0 называют ведущим.

Теорема 9. Пусть конус K - конус векторов с неотрицательными компонентами и A- n x n матрица. Пусть выполнено одно из следующих условий:

  1. exp(At)KK при всех t  0.

  2. (IA)-1K K при всех действительных больших некоторого 0.

  3. (A + I) K K при некотором .

Тогда выполнены остальные два условия.

Доказательство. Покажем выполнение второго условия при выполнении первого. Обозначим 0 = max Re (A) и при > 0 рассмотрим тождество

.
Так как Re(A - I) < 0, то интеграл при T  сходится абсолютно и, кроме того,
||exp(A - I)T||  0. Переходя к пределу при T , имеем

.
Правая часть равенства, очевидно, является положительным оператором, то есть и левая часть также является положительным оператором. Следовательно, из первого условия следует второе.

Обратное утверждение также легко доказывается. Прежде всего отметим, что последовательность операторов сильно сходится к оператору A, так как и ||AAn|| 0 при n . Но можно представить в виде ряда

,
равномерно сходящегося по норме на любом конечном интервале времени в следствии оценки . Каждый член ряда является положительным оператором, так как имеет место второе условие теоремы. Следовательно, оператор является положительным оператором для всех достаточно больших . Так как при n , то положительный оператор, то есть из второго условия следует первое.

Для доказательства первого условия из третьего, заметим, чтопредставляется в виде абсолютно сходящегося ряда


Так как правая часть равенства является положительным оператором при выполнении третьего условия, то, следовательно, выполнено первое условие, а значит и второе.

Осталось показать, что из первого условия следует при некотором . Прежде всего, покажем, что из условия (A + I)K K следует

при xj  0, , (24)
где xi – компоненты вектора x, aij – элементы матрицы A. Действительно, если неравенства (24) выполнены при всех i = 1, 2, …, n, то при будут выполнены неравенства

при xi  0, (25)
при всех I = 1, 2, …, n. Последнее – не что иное, как покомпонентная запись условия
Ax + x K при x K. Если хотя бы при одном из значений i не выполнено неравенство (24), то при xi = 0 и x K не выполнено неравенство (25). Следовательно, Ax + x K при некотором x K. Это показывает эквивалентность между третьим условием теоремы и неравенством (24). Доказательство того факта, что из первого условия следует третье, проводится методом от противного. Разложив в ряд, имеем

.
Отсюда для i –ой компоненты вектора x имеем оценку


где c =const < , справедливую при всех t  [0; T].

Если при некотором xK не выполнено неравенство (24), то при достаточно малых t и xi = 0 будет . Но это противоречит первому условию. Таким образом, из первого условия следует третье при некотором . Доказательство закончено.

Из теоремы следует, что в случае конуса векторов с неотрицательными компонентами необходимым и достаточным условием положительности операторной экспоненты является второе или третье условие. Для фактической проверки проще третье условие. Но при доказательстве необходимости третьего условия был использован конкретный вид конуса.

Оказывается, что даже в конечномерном пространстве третье условие является только достаточным и для достижения большей общности этого условия в формулировке теоремы требуется заменить более слабым.

Теорема 10. Пусть E – банахово пространство с выделенным нормальным телесным конусом K и A – ограниченный линейный оператор, действующий из E в E. Пусть выполнено одно из трех условий:

  1. exp(At)KK при всех t  0.

  2. RA()K K при всех действительных 0, где 0 – некоторое число.

  3. Существует последовательность линейных ограниченных операторов {An}, сходящаяся по норме в L (E, E) к оператору A и последовательность чисел {n}, таких, что (An + nI) K K.

Тогда выполнены остальные два условия.

Доказательство того, что из первого условия следует второе, а из второго – первое, в значительной степени повторяет доказательство предыдущей теоремы. Поэтому остановимся только на доказательстве, что из третьего условия следует первое и из первого – третье. Прежде всего, заметим, что при всех n ||An||, ||A|| < M, где M < , и можно представить абсолютно сходящимися рядами, например . Таким образом,

(26)
Но . Далее, оценивая (26) по норме, имеем

(27)
при n  равномерно на каждом конечном интервале [0; T].

Поскольку (An + nI) K K при каждом n, является положительным по конусу K оператором. Отсюда, ввиду (27) следует, что exp(At)KK. Для доказательства обратного утверждения рассмотрим последовательность операторов , где
n  при неограниченном возрастания номера n. Последовательность {An} сходится к A при n , так как имеет место очевидная оценка . Далее, так как A и An – ограниченные линейные операторы, то при n  равномерно на любом конечном интервале значений t. Поскольку , то (-RA(n))KK при всех >0. Следовательно, (An + nI) K K, если только nn. Таким образом, при выполнении первого или второго условия выполнено третье. Доказательство закончено.

Частично результаты переносятся на замкнутые операторы, имеющие всюду плотную в E область определения D(A). Для этих операторов теорема формулируется следующим образом.

Теорема 11.

Пусть E – банахово пространство с выделенным конусом K и A – замкнутый оператор, отображающий всюду плотную в E область определения D(A) на E. Пусть при всех достаточно больших действительных ( >0)существует резольвента RA() и (IA)-1 является линейным положительным по конусу оператором. Пусть конус нормальный и телесный или несплющенный. Тогда полугруппа операторов положительна по конусу и справедлива оценка .

Доказательство. Доказательство проводится в несколько этапов. Прежде всего, получим оценку на резольвенту оператора A при условиях теоремы. Для этого введем понятие конусной нормы. Пусть K – телесный конус в пространстве E и x*- какая-либо точка из int K. Конусный отрезок <-x*; x*> является выпуклым множеством в E, открытый отрезок, соединяющий вершины конусного отрезка, принадлежит внутренности <-x*; x*> и, следовательно, некоторый шар ||x||  m принадлежит конусному отрезку. Допустим, что шар ||x||  M содержит конусный отрезок. Для существования такого шара достаточно, чтобы конус K был нормальным. В самом деле, если -x* x x*, то ||x + x*||  2N||x*|| и для ||x|| имеем ||x||  ||x + x*|| + ||x*||, где N – константа нормальности конуса. С помощью конусного отрезка можно ввести норму, эквивалентную исходной, посредством функционала . Так как множество ||x||K = 1 содержит шар радиуса m и содержится в шаре радиуса M, то m||x||K  ||x||  M||x||K. По норме ||x||K конус K, очевидно, острый.

Пусть для всех достаточно больших >0 существует резольвента оператора A и является положительным по конусу оператором, то есть (-RA())KK. Согласно тождеству Гильберта имеет место тождество

(-RA()) = (-RA()) + ( - )(-RA())2 +  +( - )n(-RA())n(-RA()). (28)
При > > 0 операторы (-RA()) – положительные, поэтому на элементах конуса имеет место равенство

0 ( - )n(-RA())n(-RA()x) (-RA()x) (29)

Резольвента замкнутого оператора отображает E на D(A), поэтому на элементах из D(A)K, в силу нормальности конуса, имеем из (29) неравенство

при n = 1;2;… , (30)
где N – константа нормальности конуса. Так как D(A) всюду плотно в E, то полученное неравенство распространяется на произвольные элементы из K. Для того, чтобы распространить неравенство (30)на произвольные элементы из E, рассмотрим два случая:

  • Конус нормальный и телесный.

  • Конус нормальный и несплющенный.

Рассмотрим первый случай. Пусть –rx* x rx*, где r = ||x||K и x – произвольный элемент из E. Так как –RA() линейный положительный (а значит монотонный) оператор, то

r(-RA())nx* (-RA())nx r(-RA())nx*.
Из очевидного неравенства 0 r(-RA(l))nx* rx*, где ||RA(l)|| определена на элементах из конуса, имеем

(-RA(l))nx .
Тогда, привлекая определение конусной нормы, имеем

||(-RA())nx||K=||x||K.
Полученное неравенство, используя (30) и эквивалентность норм, можно переписать в виде

при n = 1;2;… , (31)
где С – некоторая константа.

Во втором случае для любого элемента x E имеем

||(-RA())nx||  ||(-RA())nu|| + ||(-RA())nv||,
где u, vK и ||u||, ||v||  a||x|| в виду несплющенности конуса. Полученное неравенство, используя (30), можно переписать в виде (31), полагая C = 2Na. Таким образом, оценка (31) справедлива на любом из элементов x E.

Перейдем к доказательству утверждений теоремы. Для этого рассмотрим последовательность ограниченных линейных, коммутирующих друг с другом, операторов

.

Операторы nRA(n) сильно сходится к оператору –I. В самом деле, на элементах из D(A) с учетом неравенства (31) имеем

при n .
Кроме того, нормы операторов nRA(n) равномерно ограничены при n > 2 > 0. Отсюда, по теореме Банаха-Штейнгауза, следует, что nRA(n)x сходится к –x при любых x E.

Так как при x D(A) Anx = - nRA(n)Ax, то An сильно сходится к A на D(A). Поскольку An – линейные ограниченные операторы, то можно представить в виде абсолютно сходящегося ряда

.
Далее, оценивая правую и левую части равенства по норме, с помощью (31) находим

. (32)
Последнее неравенство имеет место при всех n > 2. Найденная оценка показывает, что последовательность операторов равномерно ограничена. Кроме того, на элементах из D(A) последовательность является фундаментальной. Доказательство этого утверждения приведено в работе [5].

Таким образом, при x D(A) последовательность сходится равномерно. Так как D(A) всюду плотна в E, то равномерно по t при любом x E сходится к . Элементы последовательности при любом x K и t > 0 принадлежит K. Следовательно, . Из (32) при n  и 0 имеем важную оценку . Доказательство закончено.

Следствие из теоремы 11. Пусть выполнены условия теоремы 12 и пусть B ограниченный, линейный, положительный оператор, действующий из E в E. Тогда полугруппа операторов положительна по конусу K и .

Доказательство легко следует из разложения

(IAB)-1 = (I + (IA)-1B +((IA)-1B)2 +  ) (IA)-1,
где ряд в правой части равенства сходится абсолютно при всех > 0 + C||B||, так как



Каждый член ряда является положительным по конусу оператором и утверждение непосредственно следует из теоремы 11.

1   2   3   4   5   6

Похожие:

Начально-краевые задачи для уравнений параболического типа iconЕ. А. Рыбакина начально-краевые задачи математической физики
Начально краевые задачи математической физики: учебное пособие / Е. А. Рыбакина; Балт гос техн ун-т. Спб., 2005. 49 с
Начально-краевые задачи для уравнений параболического типа iconЛекции №7 Решение двумерных дифференциальных уравнений параболического типа
Данное уравнение является двумерным дифференциальным уравнением параболического типа. Его двухмерность обусловлена тем, что концентрация...
Начально-краевые задачи для уравнений параболического типа iconГомологии чеха и краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений

Начально-краевые задачи для уравнений параболического типа iconТочные решения обобщенных уравнений типа рассматривается класс уравнений типа
Рассматривается класс уравнений типа. Используя переменную бегущей волны и метод простейших уравнений, построены точные решения для...
Начально-краевые задачи для уравнений параболического типа iconУчебное пособие написано на основе лекций по спец курсу «Нелинейные краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений на конечном отрезке»
В связи с этим обсуждаются проблемы численного анализа решений нелинейной краевой задачи в зависимости от параметра
Начально-краевые задачи для уравнений параболического типа iconВопросы к экзамену по курсу "Введение в акустику"
Звуковые волны. Различные типы задач акустики (задачи о свободных волнах; задачи с начальными условиями; краевые задачи; задачи о...
Начально-краевые задачи для уравнений параболического типа iconУравнения математической физики
Гармонические функции. Основные краевые задачи для гармонических функций. Классические и гладкие решения. Формулы Грина. Необходимое...
Начально-краевые задачи для уравнений параболического типа iconСписок тем по курсу 10 класса для пересдачи в августе алгебра
Решение простейших тригонометрических уравнений вида и т д. (знать формулы для решения уравнений такого типа)
Начально-краевые задачи для уравнений параболического типа iconЭкзаменационные вопросы по курсу уравнения математической физики
Гармонические функции. Основные краевые задачи для гармониче­ских функций. Классические и гладкие решения. Формулы Грина. Необходимое...
Начально-краевые задачи для уравнений параболического типа iconЗадача для уравнений гиперболического типа с условиями сопряжения на характеристике i, t t
Важную роль в развитии теории дифференциальных уравнений с частными производными в XX веке сыграли работы Ф. Трикоми [54], Ф. И....
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org