Начально-краевые задачи для уравнений параболического типа



страница5/6
Дата24.12.2012
Размер0.55 Mb.
ТипРеферат
1   2   3   4   5   6
§11. Примеры операторов, порождающих положительную операторную экспоненту.

Если к качестве конуса в Rn выбрано множество векторов с неотрицательными компонентами, то, как легко видеть из третьего условия теоремы 9, матрица с неотрицательными внедиагональными элементами порождает положительный оператор . Рассмотрим менее тривиальные примеры.

  1. Пусть в качестве Е выбрано пространство С(0;1), а конус представляет собой совокупность неотрицательных на отрезке (0;1) функций. В качестве оператора А выберем дифференциальный оператор первого порядка Au = с областью определения
    D(A) = {u: uC1, u(0) = 0}, которая в силу теоремы Веерштрасса [9], всюду плотна в С(0;1). Для доказательства условия K K в силу теоремы 11 необходимо показать, что –RA()K K, то есть для произвольного элемента v K элемент –RA()v = w также принадлежит K. Подействуем оператором (IA) на равенство –RA()v = w и, учитывая вид резольвенты RA() = (A - I), имеем v = wAw. Используя вид оператора A и его область определения, приходим к краевой задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений . Решение этой задачи имеет вид . Так как v()  0, то w  0 при всех   и , для любого > -.

  2. В качестве пространства Е выбирается С(0;1), конус K определяется равенством
    K = {u: u 0, x  (0; 1)}. Оператор А – это дифференциальный оператор второго порядка с областью определения D(A) = {u:uC2, u(0) = u(1) = 0}. Покажем, что данный оператор порождает положительную операторную экспоненту .
    Для доказательства необходимо установить, что существует такое действительное 0, что при всех >0 из условия vK следует –RA()vK. Последнее условие записывается в виде равенства: при v K, -RA()v = w K. Действуя на это равенство слева оператором (IA), получаем v = wAw. Используя явный вид оператора А и его область определения, приходим к краевой задаче вида

(33)

Если G(x, ) – функция Грина данной выше задачи, то решение запишется в виде

.

Таким образом, если G(x, )  0 при 0  x  1, то из условия v  0 следует w 0, то есть w является элементом конуса и операторная экспонента является положительным по конусу оператором. При  0 функция Грина неотрицательна, а при < 0 она имеет вид



Легко видеть, что функция Грина будет неотрицательна при > -2 = 0. Следовательно, при всех > 0 решение задачи (33) будет неотрицательным. Таким образом, при > 0 из условия vK следует –RA()vK. Таким образом, для операторной экспоненты справедливо неравенство .
§12. Положительные решения однородных дифференциальных уравнений.
В банаховом пространстве Е с выделенным нормальным и телесным конусом K рассмотрим задачу Коши вида

, (34)
где А – линейный, не зависящий от t оператор. При ограниченности при любом фиксированном t решение задачи (34) запишется в виде . Легко видеть, что при положительности оператора и условии x0K, задача (34) имеет положительное решение. Если в качестве E выбрано Rn, а K является совокупностью векторов с неотрицательными компонентами, то при неотрицательности внедиагональных элементов матрицы А система линейных дифференциальных уравнений в обыкновенных производных имеет положительное решение, если x0K (теорема 9). Факт существования положительного решения был доказан иным способом в работе [10].

Для замкнутых операторов доказательство существования положительного решения основано на теореме 11. В качестве примера рассмотрим следующую задачу.

(35)
Прежде всего, перейдем от задачи (35) к задаче Коши в банаховом пространстве, то есть к задаче вида (34). Методика перехода разобрана в § 8. В качестве Е выбирается пространство С(0;1), а конус K представляет из себя совокупность неотрицательных на (0;1) функций. В § 9 показано, что этот конус нормальный и телесный. Введем оператор A с помощью равенства с областью определения D(A) = {u: uC2, u|x = 0 = u|x = 1 = 0}. Обозначим через фиксированный элемент пространства С(0;1) и потребуем, чтобы
K. Тогда задача (35) запишется в виде


Решение этой задачи удовлетворяет следующей оценке и (§ 8). Следовательно, решение задачи (35) существует и u(t)  K, если K.
§13. Резольвента нелинейного оператора [3].
Для дальнейшей работы необходимо ввести аналог резольвенты для нелинейного оператора. Он вводится с помощью равенства y = A(, t, x), где y определяется уравнением

(36)
Возникает естественный вопрос, как связаны введенная резольвента y = A(, t, x) и RA(), если оператор A – линейный. Из (36) легко видеть, что y и RA() связаны равенством y = -RA()x.

Исследуем вопрос о существовании решения уравнения (36), предполагая, что отображение A(x, t) непрерывное и удовлетворяет условию Липшица в окрестности точки x с некоторой константой L. Окрестность конкретизировать не будем, предполагая достаточно большим. Решение строится методом последовательных приближений по следующей схеме y0 = x, Для доказательства сходимости последовательности {yn} оценим по норме разность соседних элементов этой последовательности. При
n  1 имеем оценки

||y1y0||  (1/)||A(t,x)||, . . . , ||ynyn-1||  (1/)||yn-1yn-2||.
Отсюда

||ynyn-1||  ||A(t, x)|| (1/)(L/)n-1.
Оценка показывает, что при L/ < 1 последовательность {yn} сходится и сходимость равномерная. Следовательно, и также является непрерывной функцией x и t. Кроме того, с помощью полученных оценок (переходя к пределу при n ) можно получить неравенство ||yx||  ||A(t, x)||/( - L). Следовательно, A(, t, x)  x при  и
|A(, t, x) – x|  A(t, x) при  равномерно по x и t.

Рассмотрим примеры нелинейных операторов и запишем уравнения для определения их резольвенты. В качестве первого примера возьмем оператор Q(t, u)=u2 + 1, где
uC(a, b). Введем резольвенту оператора Q с помощью уравнения (36), которое в данном конкретном случае принимает вид , где функция v является элементом пространства С(a, b). Поскольку , где , то оператор Q удовлетворяет условию Липшица. Следовательно, функцию Q можно искать методом последовательных приближений и последовательность является равномерно сходящейся по u и t. Каждый элемент последовательности , если vK, из которого следует (учитывая равномерную сходимость) Q(, t, v)  K, то есть оператор Q при всех достаточно больших является положительным оператором по конусу неотрицательных функций.

Рассмотрим второй пример. Пусть E это топологическое произведение
C(a; b)x C(a; b). Пусть оператор A отображает E в E. Этот оператор имеет вид A(w) = , где , u, vC(a; b). Для т ого, чтобы записать в этом случае уравнение (36), введем вектор . Уравнение для определения ГA имеет вид


Если fE, то . Покажем, что оператор A также удовлетворяет условию Липшица. В самом деле,
, где . Это означает, что вектор A также можно найти методом последовательных приближений.
§ 14. Нелинейные уравнения с ограниченным оператором.
Рассмотрим задачу Коши

. (37)
В общем случае для существования решения на A требуется, чтобы A(t, u) была непрерывна по t; u и для каждого R и T существовало такое число L (константа Липшица), что , где t  [0, T], а ||u||, ||u + v|| < R. Следует отметить, что выполнение этих условий не гарантирует существование решения при всех t > 0. Это можно показать на простейшем примере: E = R1, , решение которого будет существовать при всех t  [0; 1/u0).

Решение при принятых ограничениях можно построить методом последовательных приближений. Для этого уравнение (37) приведем к интегральному виду

.
Тогда u(0) = u0, , n = 1, 2, … . Далее, зададимся некоторыми R и T и рассмотрим последовательность {u(n)} на MT = {t, u: ||u||<R, 0  tT}, предполагая, что ||u0|| < R. Легко показать, что последовательность {u(n)} фундаментальная. В самом деле, где . Кроме того,

.
Отсюда последовательно находим . Так как

||u(m)u(n)||  ||u(m)u(m - 1)|| + ||u(m - 1)u(m - 2)|| + . . . + при n , то последовательность фундаментальная и, очевидно, ограниченная, так как . Из последней оценки следует, что {u(n)} принадлежит MT на некотором, неравном нулю, интервале значений t.

Таким образом, существует . Кроме того, u(n) сходится к u(t) равномерно. Так как каждая из функций u(n) непрерывна по t и сходимость равномерная, то предельная функция u(t) – непрерывная функция t и u(0) = u0.

Очевидно, что для каждого n существует . Аналогично можно показать, что последовательность также является ограниченной и фундаментальной. Переходя к пределу при n , имеем , то есть найденная функция обращает уравнение (37) в тождество и u(0)=u0. Если L не зависит от R и T, то решение при любом u0E определено для всех t  0. Отметим также, что оценки последовательности {u(n)} равномерны по начальному условию u0, поэтому решение непрерывно зависит от начальных данных.

Теорема 12. Пусть A(t, u) и Ak(t, u) – отображения E x [0; ) в E, непрерывное на MT и удовлетворяющее на MT условию Липшица с некоторой константой L. Пусть Ak(t, u) равномерно по u и t сильно сходится на MT к A(t, u). Пусть для каждого k существует число k такое, что Ak + kI – положительный на MT оператор по конусу K.

Тогда каждому начальному условию u0соответствует решение задачи (37), принадлежащее на некотором, не равном нулю, интервале времени пересечению конуса K и шара ||u|| < R.

Доказательство. Существование решения доказано выше, то есть нуждается в доказательстве лишь вторая часть утверждения. Рассмотрим уравнение вида (37) на MT

. (38)
При условиях теоремы существуют непрерывно дифференцируемые решения этих уравнений на некотором, независящим от k, интервале времени. Покажем, что при u0K эти решения принадлежат K. С этой целью рассмотрим последовательные приближения, построенные по следующей схеме


Очевидно, Ak(t, y) + ky удовлетворяют условию Липшица с константой L + |k|, то есть последовательность {y(n)} является фундаментальной, равномерно ограниченной и равномерно на MT сходится к y(t). Кроме того, из u0K и условия теоремы следует y(0)K, далее последовательно устанавливаем y(n)K (n = 1, 2, …) в MT. Отсюда заключаем, что y(t) при каждом k принадлежит конусу K на некотором, не равном нулю интервале времени
t  [0; ]. Если ||y()|| < R, < T, то можно повторить рассуждения, выбрав в качестве начального момента времени t = .

Итак, решение задачи (38) можно продолжить на MT с сохранением указанных выше свойств. Обозначим полученное решение задачи (38) y(t, k) и рассмотрим разность
zk = u(t) – y(t, k). Здесь u(t) – решение задачи (37) с начальным условием u(0) = u0. Очевидно Правые часть уравнения определены на некотором, неравном нулю, интервале времени и непрерывны по t и zk. Переходя к интегральному уравнению и оценивая правые и левые части по норме, имеем


где обозначено . Интегральное уравнение приводит к оценке . Так как k  при k  ввиду равномерной сходимости {Ak(t, u)}, то u(t)  K на MT. Доказательство закончено.

Заметим, что если константа L остается конечной при всех R и T, то решение задачи (37) при начальных условиях из K принадлежат K при всех t > 0.

Используя введенный выше аналог резольвенты нелинейного оператора, можно сформулировать следующее следствие из теоремы 12.

Следствие. Пусть A(t,u) – непрерывное по t и u отображение, удовлетворяющее на M условию Липшица. Пусть при достаточно больших > 0 A(, t, x)  K при xK на M. Тогда решение уравнения (37) при начальных условиях из K принадлежит K на M.

Доказательство непосредственно вытекает из теоремы 12, так как можно положить k = k и Ak(t, x) = k[A(, t, x) - x].

1   2   3   4   5   6

Похожие:

Начально-краевые задачи для уравнений параболического типа iconЕ. А. Рыбакина начально-краевые задачи математической физики
Начально краевые задачи математической физики: учебное пособие / Е. А. Рыбакина; Балт гос техн ун-т. Спб., 2005. 49 с
Начально-краевые задачи для уравнений параболического типа iconЛекции №7 Решение двумерных дифференциальных уравнений параболического типа
Данное уравнение является двумерным дифференциальным уравнением параболического типа. Его двухмерность обусловлена тем, что концентрация...
Начально-краевые задачи для уравнений параболического типа iconГомологии чеха и краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений

Начально-краевые задачи для уравнений параболического типа iconТочные решения обобщенных уравнений типа рассматривается класс уравнений типа
Рассматривается класс уравнений типа. Используя переменную бегущей волны и метод простейших уравнений, построены точные решения для...
Начально-краевые задачи для уравнений параболического типа iconУчебное пособие написано на основе лекций по спец курсу «Нелинейные краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений на конечном отрезке»
В связи с этим обсуждаются проблемы численного анализа решений нелинейной краевой задачи в зависимости от параметра
Начально-краевые задачи для уравнений параболического типа iconВопросы к экзамену по курсу "Введение в акустику"
Звуковые волны. Различные типы задач акустики (задачи о свободных волнах; задачи с начальными условиями; краевые задачи; задачи о...
Начально-краевые задачи для уравнений параболического типа iconУравнения математической физики
Гармонические функции. Основные краевые задачи для гармонических функций. Классические и гладкие решения. Формулы Грина. Необходимое...
Начально-краевые задачи для уравнений параболического типа iconСписок тем по курсу 10 класса для пересдачи в августе алгебра
Решение простейших тригонометрических уравнений вида и т д. (знать формулы для решения уравнений такого типа)
Начально-краевые задачи для уравнений параболического типа iconЭкзаменационные вопросы по курсу уравнения математической физики
Гармонические функции. Основные краевые задачи для гармониче­ских функций. Классические и гладкие решения. Формулы Грина. Необходимое...
Начально-краевые задачи для уравнений параболического типа iconЗадача для уравнений гиперболического типа с условиями сопряжения на характеристике i, t t
Важную роль в развитии теории дифференциальных уравнений с частными производными в XX веке сыграли работы Ф. Трикоми [54], Ф. И....
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org