Лекция 17. Интеграл Римана



Скачать 48.68 Kb.
Дата25.12.2012
Размер48.68 Kb.
ТипЛекция
Лекция 17. Интеграл Римана.

П.1 Понятие интеграла Римана.

ОПР. На отрезке [a;b] расположены точки . Говорят, что они задают

разбиение отрезка [a;b] c параметром , где .

ОПР. Для любого набора точек выражение называется интегральной суммой Римана.

ОПР. Интегралом Римана функции на отрезке называют число равное

.

т.е. и .

Функция , для которой существует интеграл Римана, называется интегрируемой.

Существуют функции не имеющие интеграла, например, на отрезке функция

не имеет интеграла, поскольку существуют и с как угодно малым

значением , для которых =1 и =0.

ТЕОРЕМА 1. ( необходимое условие существования интеграла)

Если существует интеграл Римана , то функция ограничена на отрезке .

ДОК.
Из условия существования интеграла следует ограниченность интегральных сумм Римана : для любых разбиений с достаточно малым и любым .

Фиксируем одно из таких разбиений . Пусть функция неограниченна на .

Тогда она неограниченна хотя бы на одном из отрезков разбиения , например, на

и изменяя только можно добиться как угодно больших значений интегральных сумм :

.

ОПР. Разбиение отрезка называется последующим по отношению к , обозначение , если точки разбиения содержатся в множестве точек разбиения .

Следующие два утверждения подготовят к доказательству достаточного условия интегрируемости функции.

ЛЕММА 1. Если - разбиение отрезка , для которого , то для любого последующего разбиения : .

ДОК. Выберем любой отрезок разбиения . В разбиении на этом отрезке могут появиться новые точки и новые . Тогда

и . Тогда

.

ЛЕММА 2 Для двух произвольных разбиений и отрезка , для которых

и , справедлива оценка .

ДОК. Рассмотрим разбиение , в котором участвуют все точки из разбиения и .

Тогда , и . Тогда по лемме 1

.

Интересно следствие из доказанной оценки, получаемое предельным переходом при

: для любого и любого .

Следующая теорема выражает достаточное условие интегрируемости.

ТЕОРЕМА 2. Всякая функция, непрерывная на отрезке , интегрируема на .

ДОК. Используя критерий Коши достаточно доказать, что

.

Действительно, из условия непрерывности функции следует, что существует

, для которого . Тогда с учетом леммы 2

.

П.2 Свойства определенного интеграла.

А. Свойство линейности.

Если функции , интегрируемы на отрезке ,

и для любого .

B. Интегрирование неравенства.

Если функции , интегрируемы на отрезке и , то .

Действительно, и знак неравенства не меняется после предельного перехода.

Если неотрицательная непрерывная функция хотя бы в одной точке отрезка положительна,

то .

C. Оценка определенного интеграла.

Если и , то .

Действительно, и по свойству А .

Аналогично, и по свойству А .


D. Теорема о среднем для определенного интеграла.

Если функция непрерывна на отрезке , то существует , для которого

.

Действительно, по свойству В , но по теореме об области значений

непрерывной функции , т.е. функция принимает все значения на отрезке в том числе и число .

E. Оценка для модуля интеграла.

Если интегрируемы функции и на отрезке , то

.

Действительно, на отрезке справедливо неравенство . Тогда

по свойству А , откуда следует .

F. Аддитивность интеграла по множеству.

Если функция интегрируема на отрезках и , то она интегрируема на их объединении .

Действительно, любое разбиение отрезка порождает разбиения

отрезков и соответственно с добавленной к ним точкой c .

Тогда и , переходя к пределу при , получим



П.3 Интегрирование разрывных функций.

ЛЕММА 3. Если функция то .

ДОК. Любая интегральная сумма , соответствующая разбиению , имеет вид

, где и .

Поэтому .

ЛЕММА 4. Если функция непрерывна на отрезке , а функция

определена на и совпадает с на интервале , то .

ДОК. Функция удовлетворяет условию леммы 1 и .

Тогда по свойству А следует утверждение леммы.

ОПР. Функция называется кусочно – непрерывной на отрезке , если существует разбиение отрезка , для которого функция непрерывна

на каждом интервале и имеет разрывы первого рода в точках .

ТЕОРЕМА 3.

Всякая кусочно-непрерывная функция на отрезке интегрируема.

ДОК. По лемме 2 функция интегрируема на каждом отрезке . Тогда интегрируемость функции на следует из свойства F и конечности числа точек разрыва.

ТЕОРЕМА 4.

Если функция кусочно- непрерывна на отрезке и , то

в конечном числе точек.

ДОК. Если для , то и , поскольку хотя бы одно из этих слагаемых положительно, а другие неотрицательны.

Таким образом, .

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1) Понятие интеграла Римана. Необходимое условие интегрируемости на отрезке.

2) Достаточное условие интегрируемости на отрезке (включая леммы)

3) Свойства линейности интеграла, интегрирование неравенства .

4) Оценка значения интеграла Римана, теорема о среднем для интеграла.

5) Оценка модуля интеграла, свойство аддитивности интеграла по множеству.

6) Интегрирование разрывных функций.

Похожие:

Лекция 17. Интеграл Римана iconВопросы, задачи и упражнения для коллоквиума «Интегральное исчисление функции одной переменной» Вопросы
Определенный интеграл Римана. Суммы Дарбу. Верхний и нижний интеграл. Функции, интегрируемые по Риману в смысле Дарбу. Критерий Дарбу...
Лекция 17. Интеграл Римана iconГеометрия и алгебра
Определенный интеграл Римана. Необходимые и достаточные условия существования. Формула Ньютона Лейбница
Лекция 17. Интеграл Римана iconЭкзаменационные вопросы по высшей математике для студентов 1 курса 8 факультета (гр. 863-865)
Определенный интеграл Римана. Интегрируемые функции. Теоремы об интегрируемости непрерывной и кусочно-непрерывной функции. Свойства...
Лекция 17. Интеграл Римана iconВопросы к экзамену по ма для группы 3561 Комплексные числа (сложение, умножение, возведение в степень, извлечение корня)
Интеграл Римана на двумерном промежутке. Теорема об ограниченности интегрируемой функции. Нижняя и верхняя интегральные суммы. Теорема...
Лекция 17. Интеграл Римана icon§ поверхностный интеграл I рода (по площади поверхности)
Поверхностный интеграл I рода представляет собой такое же обобщение двойного интеграла, каким криволинейный интеграл I рода является...
Лекция 17. Интеграл Римана iconВ. Ю. Макаров Нули функции Римана в критической полосе
Работа посвящается знаменитой пятой гипотезе Римана, высказанной Риманом еще в середине 19 века: все нетривиальные нули функции содержатся...
Лекция 17. Интеграл Римана iconЛекция 15. Определённый интеграл
На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение функции
Лекция 17. Интеграл Римана iconРешение., если. При конечного предела нет и интеграл расходится. При и интеграл также расходится
Если предел существует, то интеграл называется сходящимся, в противном расходящимся
Лекция 17. Интеграл Римана iconВ. А. Андросенко, Е. В. Квитко четырёхкратные интегралы, представимые в виде линейных форм от значений дзета – функции Римана
Ключевые слова: четырехкратные интегралы; линейные формы; дзета-функция Римана; групповая структура
Лекция 17. Интеграл Римана iconЛекция №8 (2 часа) Неопределенный интеграл План Определение неопределенного интеграла
Охватывает совокупность всех первообразных от данной функции
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org