Формула Стокса



Скачать 28.12 Kb.
Дата25.12.2012
Размер28.12 Kb.
ТипЛекция
Лекция 8.

Формула Стокса

Эта формула, как и формула Гаусса-Остроградского, является одной из важнейших в курсе. Для того, чтобы ее вывести, введем понятие ротора векторного поля:

Определение. Назовем ротором величину:

(Существует и другое обозначение ротора: . По существу, ротор является «векторным произведением» оператора Гамильтона на вектор в данной точке пространстве). Ротор является одной из характеристик поля.




Γ+

S




Пусть задана поверхность S, выбрано направление вектора нормали. Считаем, что поверхность гладкая, а контур Γ+ – кусочно-гладкий.

Формула Стокса имеет вид:






Связь ориентации нормали с направлением обхода можно осуществить при помощи «правила буравчика»: направление движения правого винта при вращении по направлению обхода Γ+ указывает направление вектора нормали . Другой способ: если смотреть из конца вектора , то обход Γ+ будет осуществляться против часовой стрелки. Перепишем формулу Стокса в другом виде:



Левая часть – это криволинейный интеграл второго типа, а правая – поверхностный интеграл первого рода.

Формула Стокса доказывается в предположении, что функции P, Q и R непрерывно дифференцируемы, поверхность, как уже было сказано, гладкая, контур – кусочно-гладкий.

Представим поле в виде суммы: ; ; ; gif" name="object13" align=absmiddle width=93 height=23>. Доказательство проведем для каждого из полей , и по отдельности.

Ротор поля : . Будем считать, что поверхность S задается системой уравнений: Обход контура ∂D+ осуществляется против часовой стрелки – область D остается слева от контура.
Правая часть формулы:

Левая часть - , в пространстве переменных u,v будет иметь вид: . Отсюда по формуле Грина

Вычислим производные по u и v. Совершенно аналогично выглядит доказательство для полей и .

Формула Грина является частным случаем формулы Стокса. Рассматривается случай плоской поверхности, вектор нормали имеет координаты



Из формулы Грина вытекает следствие о независимости интеграла от пути интегрирования на плоскости. Аналогично можно вывести независимость криволинейного интеграла 2 типа от пути интегрирования в поверхностно-односвязной области в пространстве.

При каких условиях справедливо ?

Для справедливости этого равенства в пространстве должны выполняться следующие условия:

1.

2.

3. (отличие случая пространства от плоскости)

4. Существует такая функция , что . Функцию называют потенциалом данного поля.

В этом случае - разность потенциалов (аналог формулы Ньютона-Лейбница).

Для доказательства нужно воспользоваться формулой Стокса. Так как ротор равен нулю, то интеграл по замкнутой траектории также равен нулю и интеграл не зависит от траектории.

Условие односвязности является существенным. Приведем пример (на плоскости).

Вычислить (интеграл берется по окружности). Попробуем применить формулу Грина: . Вычислим произведение ротора поля на вектор нормали: . Следует ли отсюда, что интеграл по окружности равен нулю? Чтобы проверить это, сделаем параметризацию:

Область должна быть односвязной, т.е. внутри окружности все функции должны быть непрерывны. Но и . Чтобы интегрировать, нужно удалить из рассмотрения точку (0,0), после чего можно применять формулу Грина. Такие же примеры можно привести и для пространства (гравитационное поле с центром в начале координат).

Похожие:

Формула Стокса iconАналитические решения уравнений навье-стокса в трехмерной геометрии
Преобразование нестационарных уравнений Навье-Стокса методом последовательных приближений
Формула Стокса icon«Компьютерный анализ опытов Стокса»
Ньютона, аберрацию, дифракцию, интерференцию и поляризацию света. В 1852 установил, что длина волны люминесценции всегда больше длины...
Формула Стокса iconЭкзаменационные вопросы: Дискретное вероятностное пространство. Классическое определение вероятности
Условная вероятность, формула умножения вероятностей. Формула полной вероятности, формула Байеса
Формула Стокса iconЛабораторная работа №20 определение коэффициента внутреннего трения (вязкости) жидкости методом стокса
Цель работы: изучить движение твёрдого тела (шарика) в вязкой жидкости; определить коэффициенты динамической и кинематической вязкости...
Формула Стокса iconВопросы к экзамену по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»
Условная вероятность. Теорема умножения. Формула полной вероятности. Формула Байеса
Формула Стокса iconВопросы к экзамену по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»
Условная вероятность. Теорема умножения. Формула полной вероятности. Формула Байеса
Формула Стокса iconФормула полной вероятности. Повторные испытания. Формула Бернулли. Формула полной вероятности
Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Пусть известны вероятности этих событий (гипотез)...
Формула Стокса iconО развитии табличных алгоритмов распознавания выполнимости формул логики ветвящегося времени
Формула называется выполнимой, если существует модель, в начальной вершине которой эта формула истинна. Формула называется общезначимой,...
Формула Стокса iconИсчисление предикатов. Пропозициональная функция
Р(Х­1,Х2,…,Хn) есть атомарная (элементарная) формула. Эта формула трактуется как высказывание, гласящее, что объекты Х1,Х2,,…,Хn...
Формула Стокса icon1; Формула Тейлора и Маклорена. Формула Тейлора
Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям. Интегралы группы четырех
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org