Приближённые методы вычисления определённых интегралов



Скачать 98.36 Kb.
Дата25.12.2012
Размер98.36 Kb.
ТипПрактическая работа
Практическая работа № 9.

Тема: Приближённые методы вычисления определённых интегралов.

Цель: Проверить на практике знание понятия определённого интеграла, умение вычислять табличные интегралы, умение вычислять определённый интеграл по формуле Ньютона-Лейбница, знание приближённых методов вычисления определённого интеграла.

Обеспечение практической работы:

Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.

Учебник. Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2006.

Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.
Теоретический материал и примеры вычисления определённого интеграла.

Некоторые приёмы нахождения определённых интегралов.


Вычисление определенного интеграла как предела интегральной суммы.

Формула Ньютона-Лейбница.зщ

Значение определенного интеграла может быть вычислено по формуле Ньютона-Лейбница =, здесь символ  означает, что из значения при верхнем пределе b нужно вычесть значение при нижнем пределе a , первообразная функция для . Таким образом, вычисление определенного интеграла сводится к нахождению первообразной, то есть неопределенного интеграла.
ПРИМЕР .  Вычисление определенного интеграла.

Методы вычисления определенного интеграла.

Если — непрерывно дифференцируемая на отрезке функция, , и , когда изменяется на , то, положив png" name="graphics14" align=bottom width=73 height=26 border=0>, получим формулу замены переменной в определенном интеграле  .

Пусть - непрерывно дифференцируемые функции. Тогда справедлива формула интегрирования по частям  . Эта формула применяется для тех же классов функций, что и при вычислении неопределенного интеграла.


Формула замены переменного в определённом интеграле.

        Теорема.   Пусть функция непрерывна на отрезке , а функция имеет непрерывную производную на отрезке , причём все значения при принадлежат отрезку , в том числе и . Тогда имеет место равенство



        Замечание.   Заметим, что доказанная формула, в отличие от формулы замены переменной в неопределённом интеграле, даёт нам возможность после перехода к интегралу от функции новой переменной не возвращаться к исходному интегралу от функции переменной . После того, как замена сделана, мы можем "забыть", как выглядел исходный интеграл, и продолжать преобразования интеграла от функции новой переменной. Именно на том, что к старой переменной возвращаться не приходится, мы и получаем экономию усилий при применении формулы замены переменной в определённом интеграле, по сравнению с тем, что получилось бы, если бы мы просто нашли первообразную и применили формулу Ньютона - Лейбница.

        Пример 1. Вычислим интеграл



Для этого сделаем замену , откуда . Кроме того, при имеем , а при имеем . Получаем:



    

Формула интегрирования по частям для определённого интеграла.

        Теорема . Пусть функции и имеют на отрезке непрерывные производные и . Тогда имеет место формула



    

        Замечание. Заметим, что эту формулу можно записать в виде



где выражение



называется внеинтегральным членом. Введя обозначения и , мы можем переписать формулу интегрирования по частям в более коротком виде:



    

        

        Пример 2.   Вычислим интеграл



Выгодно взять и , так что получаем:



   



   



   

При этом возникший по дороге внеинтегральный член мы вычислили так:



    

Особенно ясно проявляется указанное в замечании преимущество в том случае, если формулу интегрирования по частям приходится применять несколько раз подряд.

        Пример 3.  Вычислим интеграл



применив формулу интегрирования по частям два раза подряд. Имеем:



   



   

Если бы мы сразу же не вычисляли значения подстановок во внеинтегральных членах, то нам пришлось бы несколько раз при нахождении первообразных выписывать значения этих внеинтегральных членов и , а здесь мы сразу же заменили первую подстановку на 0, а вторую на , что сэкономило некоторое место в записи и наши усилия.     
ПРИБЛИЖЁННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.

Вычисление определенных интегралов вида основано на замене подынтегральной функции интерполяционным полиномом Pn(x) по некоторой системе узлов и вычислении интеграла от интерполянта



Получаемые таким образом формулы численного интегрирования называются квадратурными и имею вид



где xi - узлы квадратурных формул x[a,b],i=0,1,2,...n;

Ci - коэффициенты

Конкретные квадратурные формулы различаются выбором узлов и значениями коэффициентов.

Квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Эти формулы получены путем кусочно-многочленной интерполяции по равноотстоящим узлам. При интерполировании полиномом нулевого порядка, совпадающим с функцией в одной точке получим формулы прямоугольников



где

xi=a+iЧ h формула левых прямоугольников;

xi=a+(i+1)h формула правых прямоугольников;

xi=a+(i+0.5)h формула средних прямоугольников;

При интерполировании по двум узлам a и b полиномом первого порядка получим формулу трапеций



при произвольном числе узлов интерполирования n получим



xi=a+iЧ h, i=0,1,2,...n, fi=f(xi).

Формулы прямоугольников и трапеций имеют следующую геометрическую интерпретацию. Вычисляемый интеграл это площадь под кривой f(x). При вычислении по формуле прямоугольников эта площадь вычисляется как сумма площадей прямоугольников шириной h высота которых равна значению функции справа, слева или в середине рассматриваемого интервала. При вычислении по формуле трапеций площадь фигуры заменяется суммой площадей прямоугольных трапеций высотой h с основаниями равными значениям функции в узлах.



Квадратичная интерполяция позволяет получить формулу Симпсона (парабол)



для произвольного четного числа узлов n=2m получим составную формулу



Используя кубическую интерполяцию по четырем точкам можно получить формулу Ньютона (или трех восьмых)



Составную формулу трех восьмых можно получить при числе узлов кратном трем, т.е. n=3m



Методическая погрешность формул численного интегрирования определяется интегралом от погрешности интерполирования и для приведенных формул оценивается соотношениями:

для формулы прямоугольников



для формулы трапеций



для формулы парабол



для формулы трех восьмых



где f"max, f"'max, f""max максимальные значения производных на интервале интегрирования [a,b].

При практическом использовании формул численного интегрирования следует учитывать, что к методической погрешности, которая убывает с уменьшением шага, прибавляется еще и погрешность вычислений , которая увеличивается при увеличении числа шагов, поэтому для уменьшения общей погрешности следует выбирать некоторый оптимальный шаг. Обычно для выбора шага используют двойной пересчет. Вначале вычисляют интеграл In с некоторым шагом h, а затем шаг уменьшают вдвое и получают значение интеграла I2n . Если разница удовлетворяет требованиям точности |In-I2n|Ј e , то вычисления прекращают, в противном случае продолжают дробить шаг. Общую погрешность вычислений в этом случае можно оценить соотношениями

D » |In-I2n|/3 для метода трапеций;

D » |In-I2n|/15 для метода парабол.

Аналогично можно получить формулы Ньютона-Котеса высших порядков, однако, при увеличении степени интерполирования в формулах будут встречаться как положительные, так и отрицательные коэффициенты, превосходящие по абсолютной величине сколь угодно большое число, что приведет к большим вычислительным погрешностям. Поэтому формулы Ньютона-Котеса со степенью более трех на практике не используются.

Квадратурные формулы типа Гаусса. Если по условиям задачи имеется право выбора узлов квадратурной формулы, то для вычисления интеграла применяют квадратурные формулы типа Гаусса (формулы наивысшей алгебраической точности). Эти формулы имеют вид



Коэффициенты Ai и узлы xi квадратурных формул выбираются так, чтобы приближенное равенство (2) было бы точным для всех многочленов наивысшей возможной степени. Квадратурные формулы типа Гаусса степени n будут точными для всех полиномов степени не выше 2n-1, тогда как формулы Ньютона-Котеса точны только для полиномов степени не выше n.

Рассмотрим некоторые частные случаи.

Квадратурная формула Гаусса



получена с весовой функцией равной единице p(x)є 1 и узлами xi, являющимися корнями полиномов Лежандра



Коэффициенты Ai легко вычисляются по формулам

i=0,1,2,...n.

Значения узлов и коэффициентов для n=2,3,4,5 приведены в таблице

Порядок

Узлы

Коэффициенты

n=2

x1=0

x0=-x2=0.7745966692

A1=8/9

A0=A2=5/9

n=3

x2=-x1=0.3399810436

x3=-x0=0.8611363116

A1=A2=0.6521451549

A0=A3=0.6521451549

n=4

x2=0

x3=-x1=0.5384693101

x4=-x0=0.9061798459

A0=0.568888899

A3=A1=0.4786286705

A0=A4=0.2869268851

n=5

x5=-x0=0.9324695142

x4=-x1=0.6612093865

x3=-x2=0.2386191861

A5=A0=0.1713244924

A4=A1=0.3607615730

A3=A2=0.4679139346

При необходимости вычислить интеграл с другими пределами

следует сделать замену переменных тогда формула примет вид



Квадратурная формула с весовой функцией имеет вид



и называется формулой Мелера. Ее особенность в том, что все коэффициенты равны p /(n-1) , а в качестве узлов xi используются корни многочленов Чебышева



При вычислении несобственных интегралов используют специальные приемы. Например, несобственный интеграл подынтегральной функцией стремящейся к бесконечности в точке принадлежащей интервалу интегрирования f(x)® Ґ при x® c, cО [a,b],

можно приближенно вычислить вырезав из него некоторый участок с особенностью



Значение d должно быть таким, чтобы обеспечивалось неравенство

где e требуемая точность, а интегралы в формуле (3) должны вычисляться с точностью e /4 каждый.

Другим приемом, позволяющим вычислить несобственный интеграл, является использование квадратурных формул с такой весовой функцией , чтобы особенность содержалась в весовой функции. Например, при вычислении интеграла



имеются особенности в точках x=1, x=-1. Для вычисления этого интеграла удобно использовать формулу Мелера



так, как в правой части равенства присутствует функция ex не имеющая особенностей.

При вычислении несобственных интегралов с бесконечным пределом выполняют его усечение



параметр b выбирают так, чтобы выполнялось неравенство



а интеграл в формуле (4) должен быть вычислен с точностью e /2.

Для кратных интегралов используют повторное применение квадратурных формул. Например, для двойного интеграла



можно записать



где



т.е. вычисление такого интеграла сводится к двукратному интегрированию



где Ci,CJ коэффициенты квадратурных формул, применяемых для интегрирования по x и по y. Заметим, что такой подход возможен, если область интегрирования имеет форму прямоугольника.

В случае когда область интегрирования G имеет произвольную форму можно использовать метод Монте-Карло основанный на применении случайных чисел.

Пусть необходимо вычислить интеграл по области G



и пусть известна некоторая оценка подынтегральной функции

0<f(x,y)<B при x,yО G.

Искомый интеграл равен объему тела ограниченного снизу плоскостью z=0, сверху поверхностью z=f(x,y), и с боков цилиндром (x,y) О Г(G), где Г(G)- граница области G. Заключим область G в прямоугольник aЈ xЈ b , cЈ yЈ d , тогда тело будет содержаться внутри параллелепипеда aЈ xЈ b , cЈ yЈ d, 0Ј zЈ B. Возьмем три независимых последовательности равномерно распределенных случайных чисел



и составим последовательность случайных точек Все эти n точек будут принадлежать параллелепипеду, а некоторое их число m будут принадлежать объему искомого тела, это те точки, для которых выполняются неравенства

при условии, что

При достаточно большом n можно считать, что объем искомого тела относится к объему параллелепипеда как m/n и интеграл можно вычислить по формуле


Похожие:

Приближённые методы вычисления определённых интегралов icon«приближенные методы вычисления интегралов»
Изучая, интегральное исчисление в рамках школьного курса математики мне стало ясно, что задача вычисления интегралов возникает во...
Приближённые методы вычисления определённых интегралов iconОписание методов вычисления определенных интегралов
Цель работы: изучение различных методов вычисления определенных интегралов, практическое интегрирование функций на ЭВМ
Приближённые методы вычисления определённых интегралов iconЛабораторная работа по теме «Приближенные методы вычисления корней уравнений»
Заполните электронный отчет файл «Отчет по лабораторной работе Приближенные вычисления»!
Приближённые методы вычисления определённых интегралов iconКурсовая работа по вычислительной математике. Вычисление двойных интегралов методом ячеек
Численные методы могут использоваться для вычисления кратных интегралов. Ограничимся рассмотрением двойных интегралов вида
Приближённые методы вычисления определённых интегралов iconЛекция 16. Приближенное вычисление определенного интеграла
Для нахождения интегралов от подобных функций применяются разнообразные приближенные методы, суть которых заключается в том, что...
Приближённые методы вычисления определённых интегралов iconСгибнев А. И. Приближённые измерения и вычисления. 5-7 класс
Во-вторых, к этому курсу почти нет содержательных задач, а есть только формальные упражнения на применение правил, мало проясняющие...
Приближённые методы вычисления определённых интегралов icon«Вычисление площадей с помощью интегралов»
Обобщить и систематизировать теоретический материал по теме. Отработать навыки вычисления первообразных для функций. Отработать навыки...
Приближённые методы вычисления определённых интегралов icon«приближенные методы вычисления корней нелинейных уравнений»
При изучении темы «Математическое моделирование» в рамках предмета «Информатика и икт» меня заинтересовала тема, связанная с нахождением...
Приближённые методы вычисления определённых интегралов iconЛабораторная работа №3 Операторы. Операторы вычисления сумм и произведений
Знак оператора суммы можно получить, используя кнопку интегралов панели Стандартная. Знак оператора произведения можно также получить...
Приближённые методы вычисления определённых интегралов iconУрока по математике раздел "Приближенные методы решения уравнений и неравенств, включающих элементарные функции"
Приближенные методы решения уравнений и неравенств, включающих элементарные функции” путем проведения мастер-классов для учителей...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org