Теория рядов Глава Числовые ряды




Скачать 214.64 Kb.
НазваниеТеория рядов Глава Числовые ряды
страница1/3
Дата конвертации25.12.2012
Размер214.64 Kb.
ТипДокументы
Содержание
Простейшие свойства сходящихся рядов
Знакоположительные ряды
Знакочередующиеся ряды
Понятие условной и абсолютной сходимости
Понятие функционального ряда
Некоторые свойства равномерно сходящихся рядов
Степенные ряды
Ряд Тейлора
Применение рядов к приближенным вычислениям
Понятие о тригонометрическом ряде
Ряд Фурье
  1   2   3




Часть 5. Теория рядов

Глава 1. Числовые ряды
Последовательность
В теории пределов было рассмотрено понятие последовательности и понятие предела последовательности. Введем следующее определение.

Определение 1. Точка называется предельной точкой последовательности , если в любой -окрестности данной точки содержится бесконечно много членов последовательности.

Определение 2. Точка называется предельной точкой последовательности, если из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к пределу .

Можно доказать следующее утверждение.

Теорема 1. Указанные определения эквивалентны.

Лемма. Каждая сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку, совпадающую с пределом этой последовательности.

Можно привести примеры последовательностей, которые имеют несколько предельных точек, а также последовательности, имеющей бесконечно много предельных точек. Дадим определение.

Определение 3. Верхним пределом последовательности называется наибольшая предельная точка этой последовательности.

Обозначается .

Определение 4. Нижним пределом последовательности называется наименьшая предельная точка этой последовательности.

Обозначается .

Определим наиболее существенные свойства верхнего и нижнего предела последовательности.

Теорема 2. У всякой ограниченной последовательности существуют верхний и нижний пределы и существует хотя бы одна предельная точка.

Теорема 3. Для того чтобы ограниченная последовательность имела предел, необходимо и достаточно, чтобы ее верхний и нижний пределы совпадали.

При исследовании последовательности на сходимость в указанных теоремах требуется знать значение предела этой последовательности, более удобным для применения является признак, который позволяет оценивать сходимость последовательности, исходя из анализа ее элементов.

Определение 5. Последовательность называется фундаментальной, если .

Установим основные свойства фундаментальной последовательности.

Теорема 4. Для любого положительного найдется такой член фундаментальной последовательности , что в -окрестности этой точки будут лежать все члены этой последовательности с номерами .

Теорема 5. Фундаментальная последовательность является ограниченной.

Сформулируем одну из важнейших теорем теории последовательностей.

Теорема 6. (Критерий Коши сходимости последовательности) Для того чтобы последовательность была сходящейся необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Критерий Коши можно записать несколько в иной форме.

Теорема 6`. (Критерий Коши сходимости последовательности) Для того, чтобы последовательность была сходящейся необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
Понятие числового ряда
Пусть дана последовательность

Определение 6. Бесконечным рядом называется сумма бесконечного числа членов последовательности. Обозначается .

Число называют общим членом ряда.

Сумму ряда невозможно считать так же, как конечную сумму. Поэтому следует дополнительно ввести определение суммы ряда.

Будем называть частичной суммой ряда выражение вида . В результате можно составить бесконечную последовательность частичных сумм .

Определение 7. Говорят, что бесконечный ряд сходит­ся, если последовательность его частичных сумм стремится к какому-нибудь числу .

Число называется в этом случае суммой ряда. Если же последовательность частичных сумм стремится к бесконечности или вообще не имеет никакого предела, то говорят, что ряд рас­ходится.

Одной из основных задач теории рядов является решение вопроса о сходимости ряда. Во многих случаях не удается найти сумму ряда в явном виде, более того, сумма ряда может не выражаться через элементарные функции. С другой стороны при решении различных задач не требуется находить сумму ряда, достаточно установить факт его сходимости или расходимости. Ответ на поставленный вопрос дает ряд теорем.
^ Простейшие свойства сходящихся рядов
Рассмотрим некоторые свойства сходящихся рядов.

Теорема 7. Если ряд сходится и имеет сумму , то сходится и ряд .

Следствие. Если ряд расходится и , то ряд также расходится.

Таким образом, если все члены ряда умножить на одно и тоже число, отличное от нуля, то сходимость ряда при этом не изменится.

Теорема 8. Если ряды и сходятся и их суммы соответственно равны , то сходится ряд , причем его сумма равна .

Замечание. В теореме рассматривается алгебраическая сумма рядов.

Следовательно, сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать.

Теорема 9. Если в сходящемся ряде произвольно объединить члены ряда в группы, не меняя при этом порядка следования членов, то сходимость ряда от этого не нарушится и сумма ряда не изменится.

Обратное утверждение в общем случае не верно.

Рассмотрим произвольный ряд и отбросим конечное число первых его членов.

Определение 8. Бесконечный ряд, который получается из данного ряда путем отбрасывания некоторого конечного числа членов, взятых подряд, начиная с первого, называется остат­ком данного ряда.

Сходимость исходного ряда и его остатка тесно связаны между собой.

Теорема 10. Ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится какой-либо остаток ряда.

Следствие 1. Если ряд сходится, то его остаток стремится к нулю при .

Следствие 2. Отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость.
Необходимый признак сходимости рядов
Установить факт сходимости ряда можно при помощи непосредственного отыскания частичной суммы ряда, однако такой метод применим только для отдельных типов рядов. Существуют необходимые и достаточные признаки сходимости рядов, но их удобно использовать если речь идет о теоретических выкладках. На практике не существует единого простого признака, позволяющего исследовать ряд на сходимость. Однако существует ряд достаточно удобных признаков, которые позволяют довольно просто проводить исследование ряда на сходимость.

В первую очередь рассмотрим необходимый признак сходимости ряда.

Теорема 11. Если ряд сходится, что предел его -го члена стремится к нулю ().

Следствие. Если предел -го члена отличен от нуля, то ряд расходится.

Однако, обратное утверждение в общем случае не является верным, из того что не следует, что ряд будет сходящимся.

В качестве примера можно взять следующий ряд . Этот ряд называют гармоническим, можно показать, что он расходится.

Рассмотрим ряд вида – бесконечная геометрическая прогрессия. Из курса школьной математики известно, что если , последовательность является сходящейся и ее сумма равна . Нетрудно показать, что при последовательность является расходящейся.
Критерий Коши
Рассмотрим важный для теоретических рассуждений необходимый и достаточный признак сходимости рядов.

Теорема 12. (Критерий Коши сходимости рядов) Для того чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы .
^ Знакоположительные ряды
Из всех числовых рядов на практике достаточно часто рассматривают ряды, все члены которых положительны. Докажем ряд признаков, позволяющих исследовать такие ряды на сходимость.

Теорема 13. Чтобы положительный ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы все его частичные суммы были ограничены сверху некоторым числом.

Данный признак редко применяется на практике, однако очень удобен для теоретических рассуждений.

Рассмотрим ряд признаков, более доступных для практического применения.

Теорема 14. (Признак сравнения) Пусть даны два положительных ряда . Если, начиная с некоторого , выполняется неравенство , то из сходимости ряда следует сходимость ряда .

Следствие. В условиях данной теоремы из расходимости ряда следует расходимость ряда .

В некоторых случаях признак сравнения можно использовать в более удобной форме.

Теорема 15. (Предельный признак сравнения) Пусть даны два положительных ряда . Если существует конечный, отличный от нуля предел , то оба ряда ведут себя одинаково в смысле сходимости и расходимости.

В некоторых случаях найти ряд для сравнения бывает не всегда просто, рассмотрим признаки, которые позволяют проводить исследование ряда на сходимость без привлечения дополнительного ряда.

Теорема 16. (Предельный признак Даламбера). Дан положительный ряд . Если существует предел отношения последующего члена к предыдущему , то при ряд сходится, при ряд расходится.

Замечание. В тех случаях, когда признак Даламбера не дает ответа на вопрос о том, сходится ряд или нет.

Теорема 17. (Предельный признак Коши) Дан положительный ряд . Если существует предел , то при ряд сходится, при ряд расходится.

Замечание. Этот признак так же, как и признак Даламбера, не позволяет судить о сходимости ряда в том случае, когда , так как может равняться единице как для сходящихся, так и для расхо­дящихся рядов.

Теорема 18. (Интегральный признак сходимости Коши). Дан положительный ряд . Если существует невозрастающая положительная функция, заданная при , такая, что , то для сходимости ряда необходимо и достаточно существование несобственного интеграла .

Для сходящихся положительных рядов справедлив еще ряд интересных свойств.

Теорема 19. Положительные ряды обладают переместительным свойством (любая перестановка членов ряда не окажет влияния на его сходимость и сумму ряда).

Для положительных рядов можно ввести понятия умножения, аналогичное умножению конечных сумм, в результате получаем ряд:

Для удобства можно использовать запись в виде бесконечное прямоугольной таблицы:



Сумма всех элементов такой таблицы дает произведение одного положительного ряда на другой.

Теорема 20. Если два сходящихся положительных ряда перемножить по правилу умножения конечных сумм, то полученный в результате ряд также сходится и его сумма равна произведению сумм исходных рядов.
^ Знакочередующиеся ряды
Определение 9. Ряд называется знакочередующимся, если всякие два соседних члена ряда являются числами разных знаков.

Будем для определенности предполагать, что первый член ряда положителен.

Теорема 21. (признак Лейбница) Если знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям: 1) последовательность его членов монотонно убывает по абсолютной величине (); 2) стремится к нулю, то ряд сходится.

Из доказательства данной теоремы следует следующий важный результат: если в качестве суммы знакочередующегося ряда взять некоторую частичную сумму, то погрешность полученного результата не превосходит первого из отброшенных членов ряда, т.е. .
^ Понятие условной и абсолютной сходимости
Рассмотрим ряды с произвольными членами. Будем считать, что количество как положительных, так и отрицательных слагаемых в нем бесконечно, а расположение их произвольно. Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов ряда, он, очевидно, является положительным. Возникает вопрос, как связана между собой сходимость указанных рядов.

Определение 10. Сходящийся ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд составленный из модулей сходится.

Теорема 22. Из сходимости ряда, составленного из модулей, следует сходимость исходного ряда.

Абсолютно сходящиеся ряды обладают особыми свойствами.

Теорема 23. Сумма абсолютно сходящегося ряда равна разности сумм двух положительных рядов, составленных соответственно из положительных и модулей отрицательных членов ряда.

Теорема 24. Абсолютно сходящиеся ряды обладают переместительным свойством.

Теорема 25. Если два абсолютно сходящихся ряда перемножить по правилу умножения, то полученный ряд сходится абсолютно и его сумма равна произведению сумм исходных рядов.

Теорема 26. Для абсолютно сходящегося ряда справедливо неравенство. .

Определение 11. Если исходный ряд сходится, а ряд составленный из модулей расходится, то ряд называют условно сходящимся.

Такой ряд не обладает основными свойствами сходящихся рядов, при перестановке его членов сумма ряда изменяется.
  1   2   3

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Теория рядов Глава Числовые ряды iconВопросы к коллоквиуму на 2 курсе."Числовые ряды. Функциональные последовательности и ряды"
Понятие числового ряда. Критерий Коши. Необходимое и достаточное услорие сходимости рядов с неотрицательными членами

Теория рядов Глава Числовые ряды iconВопросы и упражнения к коллоквиуму по математическому анализу Прикладная математика, 3 семестр, преподаватель Е. П. Бокмельдер Числовые ряды
Основные понятия о числовых рядах. Необходимый признак сходимости числового ряда. Критерий Коши сходимости рядов

Теория рядов Глава Числовые ряды iconНижний Новгород 2005 г. Удк 517 ббк в161. 31 к-84 к-84 Числовые ряды. Учебно
К-84 Числовые ряды. Учебно-методическая разработка. Составители Круглова С. С., Шишина В. Т. Нижний Новгород: Издательство Нижегородского...

Теория рядов Глава Числовые ряды iconПо теме: «Числовые ряды» иметодические рекомендации к ней для студентов очной формы обучения для инженерных направлений Учебно-методическое пособие
Достаточные признаки сходимости рядов: теоремы сравнения, Даламбера, Коши, интегральный признак

Теория рядов Глава Числовые ряды icon3. Числовые ряды. Функциональные ряды
Если при исследовании ряда на сходимость по признаку Д`Аламбера установлено, что, это означает, что

Теория рядов Глава Числовые ряды iconI. Числовые ряды. Ряды с положительными членами
Если при бесконечном возрастании номера n частичная сумма ряда   стремится к пределу S, то ряд называется сходящимся, а число s-...

Теория рядов Глава Числовые ряды iconЛекция 22. Числовые ряды
Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом

Теория рядов Глава Числовые ряды iconЛекция 22. Числовые ряды
Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом

Теория рядов Глава Числовые ряды iconКратные тригонометрические ряды
Многомерная теорема Пэли. Сходимость по Прингсхейму рядов Фурье в простран­ствах

Теория рядов Глава Числовые ряды iconВопросы к коллоквиуму
Степенные ряды. Формула Коши-Адамара. Абсолютная и равномерная сходимость степенных рядов

Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2012
обратиться к администрации
ru.convdocs.org
Главная страница