Степенным рядом назовем ряд вида



Скачать 56.46 Kb.
Дата25.12.2012
Размер56.46 Kb.
ТипЛекция
Лекция 6.

11. Степенные ряды.
Степенным рядом назовем ряд вида cn(z-z0)n, z0-центр, cn- коэффициенты заданные комплексные числа. При z= z0 ряд сходится. Это может быть как единственная точка сходимости n!zn, а также ряд может сходится на всей комплексной плоскости zn/n!. При исследовании степенного ряда важно установить область его равномерной сходимости. Как будет показано далее, область сходимости степенного ряда определяется видом его коэффициентов cn.
Теорема Абеля. Если степенной ряд cn(z-z0)n сходится в точке z1╧z0, то он сходится и при  z: |z-z0|<|z1-z0|, причем в круге |z-z0| <|z1-z0| сходится равномерно.
Доказательство. В силу необходимого условия сходимости ряда*)  A>0 : для  n |cn(z1-z0)n||cn|1-z0|n =>|cn(z-z0)n||(z-z0)/(z1-z0)|n. По условию теоремы |(z-z0)/(z1-z0)|=q<1=>|cn(z-z0)n|qn=> ряд сходится. При |z-z0| <|z1-z0| ряд сходится равномерно по мажорантному признаку Вейерштрасса *) т.к. |cn(z-z0)n| A| /(z1-z0)|n < Apng" name="sumn0inf" align=bottom width=30 height=45 border=0>qn , q<1  . Следствия теоремы Абеля.
1.    Если степенной ряд расходится в точке z2╧z0, то он расходится и при  z: |z-z0|>|z2-z0|. (Предполагая противное, получим, что по тереме Абеля *) ряд должен сходится в  круге радиуса  <|z-z0|, в частности и в точке z2, что противоречит условию.).
2. Круг сходимости. Радиус сходимости. Рассмотрим sup|z1-z0|=R для  z1, где ряд сходится- точную верхнюю грань расстояний от точки z0 до точек z1 в которых сходится ряд cn(z-z0)n. Если R , то для  z2: |z2-z0|>R ряд расходится. R=inf|z2-z0|=R для
 z2, где ряд расходится. Пусть R>0, тогда наибольшей областью сходимости степенного ряда является круг |z-z0|круг сходимости степенного ряда, число R>0- радиус сходимости степенного ряда.Внутри круга сходимости ряд сходится, вне- расходится, в точках границы |z-z0|=R   может как сходиться, так и расходиться.
3.Формула Коши-Адамара. R=1/L, L=
Доказательство. Пусть 0 . Имеем:
1) Т.к. L=, то для   N, что для  n> N 2) С другой стороны, для того же  много членов последовательности {}: >L- .
Надо доказать:
a) Для  z1: |z1-z0|1-z0|<1) ряд сходится.
b) Для  z2: |z2-z0|>R=1/L (L|z1-z0|>1) ряд расходится.
Докажем это.
a) Возьмем произвольную z1: L|z1-z0|<1 и выберем  =(1-L|z1-z0|)/2|z1-z0|, тогда
L+ =(1+L|z1-z0|)/2|z1-z0|. Т.к. для  n>N:|z1-z0|<(1-L|z1-z0|)/2=q<1. => |cn(z1-z0)n|n- ряд сходится.
b) Выберем  =(L|z2-z0|-1)/|z2-z0| => L- =1/|z2-z0|. Т.к. для числа членов >L- => |z2-z0|>1=> |cn(z2-z0)n|>1- ряд расходится. 
Случай L=0:   N, что для  n>N < . Положим для  z и 00| =>|z-z0||cn(z1-z0)n|n- ряд сходится для  z, т.е R= =1/0=1/L.
Случай L=: для  M  много членов {}: >M.  N, что для
 n>N < . Положим для  zz0 и q>1 M=q/|z-z0| => много членов |z-z0|>1 =>|cn(z1-z0)n|>1- ряд расходится для  zz0, т.е R=0=1/ =1/L
4.    В  круге |z-z0|  По теореме Вейерштрасса *)cn(z-z0)n=f(z) C (|z-z0|5.    По теореме Вейерштрасса
*) степенной ряд внутри круга сходимости можно дифференцировать и интегрировать почленно *) любое число раз. При этом радиус сходимости не меняется !
6. cn(z-z0)n=f(z)=> c0=f(z0), cn+1(n+1)(z-z0)n=f'(z)=> c1=f'(z0)┘
cn+k(n+k)!(z-z0)n=f(k)(z)=> ck=f(k)(z0)/k!
7.    Пример.(z-z0)n :  cn=1 => R=1. Sn=[1-(z-z0)n+1]/[1-(z-z0)]; |z-z0|<1 и Sn=1/[1-(z-z0)]. => (z-z0)n=1/[1-(z-z0)]- Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии.
Итак cn(z-z0)n=> f(z) C(|z-z0|Ответ на этот вопрос дает
Теорема Тейлора. Если f(z) C(|z-z0|cn(z-z0)n =>f(z) при |z-z0|




Доказательство. Возьмем  z: |z-z0|R' с центром в точке z0 и содержащую точку z внутри: 
для  CR' : | -z0|=R', R'0|>|z-z0|. 
Т.к. f(z) C (|z-z0|*)
f(z)= ;

 1/( -z)=1/[( -z0)-(z-z0)]=ряд сходится равномерно по  на CR'=>f(z)=(z-z0)n=cn(z-z0)n;

cn==f(n)(z0)/n!, что и доказывает  и единственность разложения. 
Замечания. 1) Разложение функции f(z)=cn(z-z0)n называют разложением функции в ряд Тейлора.
2) По теореме Коши *) cn=, где C- произвольный кусочно-гладкий контур, содержащий внутри себя точку z0.

12. Единственность определения аналитической функции.
п.1. Понятие правильной точки.
Пусть f(z) задана в g, за исключением может быть некоторых изолированных точек.
Точка z0g называется правильной точкой функции f(z), заданной в g, если cn(z-z0)n=f(z) в g|z-z0| < (z0), где  (z0)-радиус сходимости степенного ряда. *)
Все остальные точки zg- особые точки функции f(z), заданной в g.

Замечание. Если f(z)C(g), то все zg- правильные точки f(z). Если f(z) задана в , то граничные точки могут быть как правильными, так и особыми.

п.2. Нули аналитической функции.
Пусть f(z)C(g); f(z0)=0, z0 g, тогда  z0 - нуль аналитической функции. f(z)=cn(z-z0)n => c0=0. Если c1=┘= cn-1=0, а cn0, то z0 - нуль n-того порядка.
Заметим, что в нуле n-того порядка f(z0)=f'(z0)=┘ f(n-1)(z0)=0, f(n)(z0)0 и f(z)=(z-z0)n f1(z), f1(z0)0.
Теорема о нулях аналитической функции.
Пусть f(z)C(g) и обращается в 0 в бесконечном множестве различных точек
(zizk, все zng и f(zn)=0), имеющем предельную точку (точку сгущения) z*g
(zn=z*g). Тогда f(z)0, для zg.
Доказательство. По непрерывности f(z*)=0 => f(z)=cn(z-z*)n, где |z-z*|< (z*) => c0=0, и f(z)=(z-z*)f1(z); f1(z)= cn(z-z*)n; f1(zn)=0=> по непрерывности f1(z*)=0 => c1=0 и так далее => cn=0 для  n. Итак f(z)0 в круге |z-z*| < (z*), где  (z*) не меньше, чем расстояние от z* до . Тождественное равенство f(z)0 во всей области g доказывается аналогично доказательству принципа максимума *)
Достаточно показать, что f(z**)=0, где z**g - произвольная точка, лежащая вне круга |z-z*| < (z*). Соединим z* и z** спрямляемой кривой L, целиком лежащей в g и отстоящей от  на расстояние d>0. Поскольку  точку круга |z-z*|< (z*), лежащую внутри g можно рассматривать как предел последовательности нулей функции f(z), то выбрав в качестве нового центра разложения последнюю точку z=z1 пересечения кривой L с окружностью |z-z*|= (z*), получим, что f(z)0 внутри круга |z-z1|< (z1), где
 (z1)d. Продолжая этот процесс, покроем кривую L конечным числом кругов, радиусов не меньше d, внутри которых f(z)0. При этом точка z=z** попадет внутрь последнего круга => f(z**) 0. В силу произвольности z** => f(z)0 в g.
Следствия.
1.    Все нули f(z)C(g) и f(z) тождественно 0 в g - изолированные.
2.    Если f(z)C(g) и f(z) тождественно 0 в g, то в  ограниченной ' g может быть лишь конечное число нулей f(z).
Доказательство  Если множество нулей в '- бесконечно, то из него можно выделить пооследовательность, сходящуюся к z'  =>f(z)0 в g, что противоречит условию. 
2.    Если f(z)- целая *), то в  ограниченной' может быть лишь конечное число нулей f(z). На расширенной комплексной плоскости *) целая функция может иметь лишь счетное число нулей, причем предельноой точкой этого множества является бесконечно удаленная точка *) .
п.3. Теорема единственности определенной аналитической функции.
Теорема. Если f1(z) и f2(z)C(g) и  {zn}z*g, zizk и f1(zn)=f2(zn), то f1(z)f2(z) для  zg.
Для доказательства достаточно при помощи теоремы о нулях *) установить, что функция h(z)=f1(z)-f2(z)0 в g.
Следствия теоремы единственности.
Множество задания аналитической функции.
В области g  может существовать только одна аналитическая функция, принимающая заданные значения на
a)    {zn}z*g, zizk
bCg, C- кусочно-гладкая кривая.
c)    z' g.
Другими словами: Функция аналитическая в g однозначно определяется заданием своих значений на   a), b), c).
Существенное замечание. Может - не значит существует. Нельзя произвольно задавать значения f(zn) или f(C) или f(') !

http://afrodita.phys.msu.su/tfkp/lect06.htm

Похожие:

Степенным рядом назовем ряд вида iconРешение Заданный ряд является степенным рядом
Так как, то ряд будет абсолютно сходиться при значениях, удовлетворяющих неравенству
Степенным рядом назовем ряд вида iconОпределение. Степенным рядом
Для исследования на сходимость степенных рядов удобно использовать признак Даламбера
Степенным рядом назовем ряд вида iconБесконечным рядом (рядом). Если члены ряда : числа, то ряд называется числовым
Если при бесконечном возрастании номера n частичная сумма ряда стремится к пределу S, то ряд называется сходящимся, а число s- суммой...
Степенным рядом назовем ряд вида iconКриволинейные интегралы
На каждой дуге Ak Ak+1 задана промежуточная точка Mk=(k, k, k ), ={ Mk }, обозначим длину дуги Ak Ak+1 через lk. Характеристикой...
Степенным рядом назовем ряд вида iconЧисловым рядом называется выражение
Если существует конечный предел, то ряд называется сходящимся и – его сумма, а – остаток ряда. Если же не существует или бесконечен,...
Степенным рядом назовем ряд вида iconПеревозка грузов автотранспортом имеет целый ряд неоспоримых преимуществ. Сравнительно дешевая стоимость, мобильность, надежность, оперативность вот основные достоинства этого вида услуг

Степенным рядом назовем ряд вида icon-
Наполеоном в боевом дыму. Одну стену занимала доходящая до потолка картотека из карельской березы, очень изысканного вида. На ее...
Степенным рядом назовем ряд вида icon6. Линейные цепи при периодических несинусоидальных напряжениях и токах
Всякая периодическая функция (например, напряжение u(t)) с периодом Т, отвечающая условиям Дирихле1, может быть разложена в тригонометрический...
Степенным рядом назовем ряд вида iconЗаконом Ципфа я встретился, читая «Оптимизацию и продвижение сайтов в поисковых системах»
Эти закономерности подчиняются степенным рядам [синоним – фрактальная природа]
Степенным рядом назовем ряд вида iconЗанятие 6: Правильные раскраски графов
Раскраска вершин графа правильная, если концы каждого ребра – разного цвета. Граф называется k-раскрашиваемым, если его можно правильно...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org