Программа дисциплины: Стохастический анализ для направления 080100. 62 Экономика подготовки бакалавра Автор программы: Б. Б. Демешев



Скачать 99.81 Kb.
Дата26.12.2012
Размер99.81 Kb.
ТипПрограмма дисциплины

    Министерство экономического развития и торговли

    Российской Федерации

Государственный университет-

Высшая школа экономики




Факультет Экономики
Программа дисциплины:

Стохастический анализ



для направления 080100.62 - Экономика

подготовки бакалавра

Автор программы: Б.Б. Демешев

Рекомендована секцией УМС Одобрена на заседании

Математические и кафедры "математическая

статистические методы в экономике экономика и эконометрика»



Председатель А.С. Шведов Зав. кафедрой Г.Г. Канторович

«____»______________2006 г. «__»____ _____2006 г.

Утверждена УС факультета Экономики

Т.А. Протасевич




«____»______________2006 г.



Москва, 2006


  1. Пояснительная записка


Автор программы: Демешев Борис Борисович

Требования к студентам: Курс «Стохастический анализ» (1-3 Модули учебного плана 2 курса) опирается на курсы «Математического анализа» и «Теории вероятностей и математической статистики». Курс является факультативным, и ориентирован на студентов имеющих хорошие математические способности.

Аннотация: Основная задача курса – ознакомить студентов с понятием стохастического интеграла и его приложением в экономическом моделировании. Для этого в курс включена строгая аксиоматика теории вероятностей. По ходу обучения студенты получают дополнительный опыт решения задач. Предполагается, что после окончания курса студент будет понимать терминологию, которая используется в современных научных статьях по экономическому моделированию с использованием случайных процессов в непрерывном времени.

Формы контроля: Программа курса предусматривает 44 часа лекций и 44 часа семинарских занятий. В качестве промежуточного контроля предусмотрены 1 домашнее задание (30 % итоговой оценки) и, по окончании курса – зачет (70 %).


  1. Тематический план.






Наименование разделов и тем


всего

Аудиторные часы


Самостоятельная работа

лекции

семинары

Раздел 1

Основания теории вероятностей













Тема 1.1

Измеримые пространства

14

4

4

6

Тема 1.2

Случайные величины

8

2

2

4

Тема 1.3

Интеграл Лебега как математическое ожидание

14

4

4

6

Тема 1.4

Декартово произведение мер и связь с интегралом Римана

8

2

2

4

Тема 1.5

Независимость случайных величин

8

2

2

4

Тема 1.6

Виды сходимостей случайных величин

14

4

4

6

Раздел 2

Мартингалы в дискретном времени













Тема 2.1

Простейшие свойства случайного блуждания

10

2

2

6

Тема 2.2

Условное ожидание

14

4

4

6

Тема 2.3

Понятие мартингала

8

2

2

4

Тема 2.4

Мартингальное преобразование

8

2

2

4

Тема 2.5

Сходимость мартингалов и мартингальные неравенства

14

4

4

6

Раздел 3

Интеграл Ито













Тема 3.1

Броуновское движение

14

4

4

6

Тема 3.2

Определение стохастического интеграла и его свойства

14

4

4

6

Тема 3.3

Модель Блэка-Шоулза




4

4

6

Всего




162

44

44

74



III Содержание программы

Раздел 1. Основания теории вероятностей


Тема 1.1. Измеримые пространства

Определение алгебры и сигма-алгебры. Борелевская сигма-алгегбра. Определение меры. Свойства вероятности. Теорема Каратеодори (план доказательтва). Мера Лебега. Монотонная сходимость вероятностей. Понятие «почти наверное».

Тема 1.2. Случайные величины

Определение измеримой функции. Простейшие свойства измеримых функций: сумма, произведение, композиция измеримых функций. Сигма-алгебра, порожденная случайной величиной. Функция распределения. Существование случайной величины с заданной функцией распределения.

Тема 1.3. Интеграл Лебега как математическое ожидание

Последовательное определение интеграла (индикатор-простая функция-неотрицательная-действительная-комплексная). Теорема о монотонной сходимости. Лемма Фату. Теорема о доминируемой сходимости. Лемма Шефе.

Неравенство Йенсена. Полнота . Интерпретация ожидания как проекции.

Тема 1.4. Декартово произведение мер и связь с интегралом Римана.

Декартово произведение мер. Теорема Фубини (план доказательства). Функции плотности и совместные функции плотности. Переход от интеграла Лебега к интегралу Римана.

Тема 1.5. Независимость случайных величин

Независимость сигма-алгебр. Для независимых случайных величин ковариация равна нулю.

Леммы Бореля-Кантелли.

Тема 1.6. Виды сходимостей случайных величин

Поточечная, почти наверное, по вероятности, по распределению, в . Взаимосвязь сходимостей.

Раздел 2. Мартингалы в дискретном времени.


Тема 2.1. Простейшие свойства случайного блуждания

Метод первого шага и метод разложения в сумму. Расчет вероятности разорения, ожидаемого числа посещений точки, ожидаемого времени разорения.

Тема 2.2. Условное ожидание

Определение, простейшие свойства. Геометрическая интерпретация. Теорема Пифагора.

Теорема Радона-Никодима (план доказательства).

Тема 2.3. Понятие мартингала

Адаптированность, предсказуемость случайного процесса. Определение мартингала, суб и супермартингалов. Простейшие свойства.

Тема 2.4. Мартингальное преобразование

Мартингальное преобразование, момент остановки, остановленный мартингал. Теорема об ожидаемом значении мартингала на момент остановки.

Тема 2.5. Сходимость мартингалов и мартингальные неравенства

Теорема о сходимости мартингалов почти наверное. Равномерная интегрируемость. Сходимость мартингалов в смысле . Неравенства Дуба (для и ).

Раздел 3. Интеграл Ито.


Тема 3.1. Броуновское движение

Характеристическая функция. Восстановление закона распределения по характеристической функции. Многомерное нормальное распределение. Определение броуновского движения. Простейшие свойства.

Тема 3.2. Определение стохастического интеграла и его свойства

Пошаговое определение стохастического интеграла. Формула Ито для броуновского движения. Таблица умножения Ито. Введение в стохастические дифференциальные уравнения.

Тема 3.3. Модель Блэка-Шоулза

Вывод модели Блэка-Шоулза. Сравнительная статика модели. Расчет волатильности по дискретным данным. Сравнение выводов модели с эмпирическими фактами.
IV Литература

Основная:

1. Zastawniak, Basic Stochastic Processes

2. Wilde, Measure, Integration and Probability

3. Williams, Probability with Martingales

Дополнительная:

1. Steele, Stochastic Calculus and Financial Applications

2. Wilde, Stochastic Calculus
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины.


  1. Определение алгебры и сигма-алгебры.

  2. Определение меры.

  3. Свойства вероятности.

  4. Теорема Каратеодори (план доказательтва).

  5. Мера Лебега.

  6. Монотонная сходимость вероятностей.

  7. Понятие «почти наверное».

  8. Определение измеримой функции.

  9. Существование случайной величины с заданной функцией распределения.

  10. Последовательное определение интеграла.

  11. Теорема о монотонной сходимости.

  12. Лемма Фату.

  13. Теорема о доминируемой сходимости.

  14. Лемма Шефе.

  15. Неравенство Йенсена.

  16. Полнота .

  17. Декартово произведение мер.

  18. Теорема Фубини (план доказательства).

  19. Переход от интеграла Лебега к интегралу Римана.

  20. Независимость сигма-алгебр.

  21. Леммы Бореля-Кантелли.

  22. Виды сходимостей случайных величин. Взаимосвязь между видами сходимостей.

  23. Простейшие свойства случайного блуждания

  24. Условное ожидание

  25. Теорема Радона-Никодима (план доказательства).

  26. Определение мартингала, суб и супермартингалов. Простейшие свойства.

  27. Мартингальное преобразование

  28. Момент остановки, остановленный мартингал.

  29. Теорема об ожидаемом значении мартингала на момент остановки.

  30. Сходимость мартингалов и мартингальные неравенства

  31. Броуновское движение. Определение, свойства.

  32. Определение стохастического интеграла и его свойства

  33. Модель Блэка-Шоулза



13.01.2006 _____________________________/Демешев Б.Б./

Похожие:

Программа дисциплины: Стохастический анализ для направления 080100. 62 Экономика подготовки бакалавра Автор программы: Б. Б. Демешев iconПрограмма дисциплины Стохастический анализ для направления 080100. 62 «Экономика» подготовки бакалавра Автор Демешев Б. Б
Стохастический анализ для направления 080100. 62 «Экономика» подготовки бакалавра
Программа дисциплины: Стохастический анализ для направления 080100. 62 Экономика подготовки бакалавра Автор программы: Б. Б. Демешев iconПрограмма дисциплины Стохастический анализ и моделирование для направления 080100. 68 «экономика» подготовки магистра
Курс «Стохастический анализ и моделирование» рассчитан на один семестр и читается студентам первого курса магистратуры направления...
Программа дисциплины: Стохастический анализ для направления 080100. 62 Экономика подготовки бакалавра Автор программы: Б. Б. Демешев iconПрограмма дисциплины Математический анализ для направления 080100. 62 «Экономика» подготовки бакалавра
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 080100. 62 «Экономика»...
Программа дисциплины: Стохастический анализ для направления 080100. 62 Экономика подготовки бакалавра Автор программы: Б. Б. Демешев iconПрограмма дисциплины Корпоративные инновации Для направления/специальности 080100. 62 «Экономика» подготовки бакалавра
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 080100. 62 специальности...
Программа дисциплины: Стохастический анализ для направления 080100. 62 Экономика подготовки бакалавра Автор программы: Б. Б. Демешев iconПрограмма дисциплины Стохастический анализ для направления 080100. 62 «Экономика»

Программа дисциплины: Стохастический анализ для направления 080100. 62 Экономика подготовки бакалавра Автор программы: Б. Б. Демешев iconПрограмма дисциплины «Логика»  для специальности 080100. 62 «Экономика» подготовки бакалавра Автор программы

Программа дисциплины: Стохастический анализ для направления 080100. 62 Экономика подготовки бакалавра Автор программы: Б. Б. Демешев iconПрограмма дисциплины Экономическая история для направления 080100. 62 «Экономика» подготовки бакалавра
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления подготовки/ специальности...
Программа дисциплины: Стохастический анализ для направления 080100. 62 Экономика подготовки бакалавра Автор программы: Б. Б. Демешев iconПрограмма дисциплины «Международная система экономического регулирования» для направления 080100. 68 «Экономика» подготовки магистра
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 080100. 68 «Экономика»...
Программа дисциплины: Стохастический анализ для направления 080100. 62 Экономика подготовки бакалавра Автор программы: Б. Б. Демешев iconПрограмма дисциплины «Письменная речь юриста»  для направления 030900. 62 «Юриспруденция» подготовки бакалавра Автор программы
Программа дисциплины [Введите название дисциплины] для направления/ специальности [код направления подготовки и «Название направления...
Программа дисциплины: Стохастический анализ для направления 080100. 62 Экономика подготовки бакалавра Автор программы: Б. Б. Демешев iconПрограмма дисциплины Философия Для направления 080100. 62 «Экономика» подготовки бакалавра
Автор: Б. Н. Кашников, доктор философских наук, профессор кафедры практической философии
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org