Компактный субдифференциал вещественных функций



Скачать 96.45 Kb.
Дата26.12.2012
Размер96.45 Kb.
ТипДокументы
Федір Стонякін

Таврійський національний університет ім. В. І. Вернадського

(науковий напрям: Математика і механіка)
КОМПАКТНЫЙ СУБДИФФЕРЕНЦИАЛ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Ключевые слова. Компактный субдифференциал, свойство Лузина, лемма Сакса, формула конечных приращений.
ВВЕДЕНИЕ

Существуют функции, которые не являются дифференцируемыми в обычном смысле, но обладают существенными дифференциальными свойствами. Такими, например, являются выпуклые функции. Для таких функций в качестве аналога понятия производной понятие субдифференциала, который является базовым понятием выпуклого анализа и широко применяется в современной математике ([5],[7],[8]). Наличие множества полезных свойств субдифференциалов выпуклых функций привело к многочисленным попыткам найти подобный выпуклый объект и в невыпуклом случае. Различные аналоги понятия субдифференциала были предложены и исследованы ([3]). В настоящей работе предлагается новый подход – вводится понятие компактного субдифференциала числовой функции. Для отображений со значениями в локально выпуклых пространствах это понятие введено научным руководителем. В числовой ситуации компактный субдифференциал обладает рядом специфических свойств, включая улучшенную форму записи теоремы о среднем. В работе изучены эти свойства и осуществлён вывод соответствующих аналогов теоремы Лагранжа.
1. КОМПАКТНАЯ СУБДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ЧИСЛОВЫХ ФУНКЦИЙ

Определение 1. Пусть – убывающая при система замкнутых выпуклых подмножеств R, В – замкнутое выпуклое подмножество R. Будем говорить, что , если:

;

.

Непосредственной проверкой можно убедится в том, что К – предел обладает свойством линейности.

Обозначим .

Определение 2. Функция F(x) называется – дифференцируемой в точке , если

  1. ;

  2. множество компактно.

Любая дифференцируемая функция является – дифференцируемой.
Однако существует – дифференцируемые функции, которые не являются дифференцируемыми.

Пример 1. Функция в точке . .

Получим следующий критерий – дифференцируемости числовых функций.

Теорема 1. Функция является – дифференцируемой в точке тогда и только тогда, когда существуют и . При этом .

Доказательство.

Необходимость. Пусть функция f является компактно дифференцируемой в точке х. Покажем, что . Сначала установим, что является одной из предельных точек при .

для ,

. Следовательно, существует последовательность : . Поскольку , то

.

Допустим, что не является наибольшей из всех предельных точек при . Тогда при . Полагая , получим , что противоречит . Итак, .

Достаточность. Выберем такое , что

.

Непосредственными вычислениями устанавливается, что при выбранных

,

что означает завершение доказательства достаточности.

Замечание. – дифференцируемой может быть функция, не имеющая ни правосторонней, ни левосторонней производной.

Пример 2. , поскольку
, .

2. СВОЙСТВА КОМПАКТНОГО СУБДИФФЕРЕНЦИАЛА ЧИСЛОВЫХ ФУНКЦИЙ

Подробно свойства компактных субдифференциалов обсуждаются в моей статье «Компактный субдифференциал вещественных функций», указанной в заявке. Ввиду ограниченности размеров работы здесь мы отметим лишь формулировки важнейших результатов.

Теорема 2. Если функции и являются – дифференцируемыми в точке х0, то функция также – дифференцируема в точке х0 и при этом

. (1)

Замечание. Равенства в (1) может и не быть.

Пример 3. Пусть, а х0=0. Тогда

. В то же время . Очевидно, что:

.

Найдены некоторые условия на функции, при которых компактный субдифференциал остаётся аддитивным. Такими являются, например, выпуклые функции. В этом случае компактный субдифференциал совпадает с выпуклым. Справедлива теорема:

Теорема 3. Если функция является – дифференцируемой в точке х0, а функция является дифференцируемой в точке х0, то функция также – дифференцируема в точке х0 и при этом

.

Изучался вопрос о – дифференцируемости композиции числовых функций. Под произведением множеств и будем понимать множество



Теорема 4. Если функция f – дифференцируема в точке , а функция g – дифференцируема в точке , то функция также является – дифференцируемой в точке и при этом:

. (3)

Равенство здесь, вообще говоря, не выполняется.

Пример 4 . Пусть ; ;

х0 = 2, f(x0) = y0 = 1. В силу теоремы 1 имеем:



Ясно, что , однако .
3. N – СВОЙСТВО ЛУЗИНА. ЛЕММА САКСА
Будем рассматривать функции R, непрерывные и компактно субдифференцируемые на некотором подмножестве Е числовой прямой. Здесь и всюду далее mes – классическая мера Лебега на прямой. Обобщим на случай компактных субдифференциалов классическую лемму Сакса [9].

Лемма 1. Обозначим . Для произвольного измеримого имеет место неравенство:

,

где – константа, зависящая только от пространства R.

Схема доказательства.

  1. Введём и выберем такое, что ,

;

где . Учитывая то, что на непосредственными преобразованиями получаем:

. (4)

2) Пусть теперь и . Существует ограниченное открытое множество

G такое, что

и .

Обозначим через семейство замкнутых множеств , для которых . В силу (4) покрывает множество А в смысле Безиковича и по теореме 1.1 ([2], стр.10) можно выделить такую подпоследовательность , что

и , откуда можно вывести, что

.

Переходя в последнем неравенстве к пределу при и в последнем неравенстве, получаем утверждение леммы.
Следствие 1. (N – свойство Лузина). Если е – такое измеримое множество, что , то и .

Доказательство. , где . измеримо для любого n в силу полноты меры m, и при этом . Согласно предыдущей лемме и в силу измеримости функции f(x),

. Поэтому

.

Теперь, используя доказанное N – свойство Лузина для компактно субдифференцируемых функций можно получить аналог леммы Сакса.

Теорема 5. Для всякого и произвольного измеримого множества имеет место неравенство:

.

Доказательство данного утверждения аналогично доказательству леммы 2, только вместо теоремы Безиковича о покрытиях используется известная теорема Витали [2]. Измеримость множества следует из теоремы 2 ([4], стр.231) в силу доказанного выше N – свойства Лузина для компактно субдифференцируемых функций.

4. ФОРМУЛА КОНЕЧНЫХ ПРИРАЩЕНИЙ ДЛЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ И ЕЁ СЛЕДСТВИЯ

В этом пункте выводится формула конечных приращений для вещественных компактно субдифференцируемых функций. Как следствия этой формулы, получен ряд теорем о среднем. Будем рассматривать вещественные функции R. Мы отправляемся от обобщённой формулы Лагранжа [6].



Теорема 6. Пусть функция f непрерывна на и – дифференцируема на , где множество m-измеримо (в смысле классической меры Лебега на прямой) и . Если , где функция неотрицательна и m-суммируема по Лебегу на , то

.

Доказательство. В силу известной теоремы Данжуа о контингенции [1] существует измеримое множество , и f дифференцируема на . В силу вышеустановленного N-свойства Лузина имеем:

.

Итак, функция f непрерывна на и дифференцируема на , где множество m-измеримо и . Теперь, из классической формулы конечных приращений [6] вытекает:

,

что и требовалось.

Из теоремы 10 легко вытекают следующие результаты.

Теорема 7. Пусть функция f непрерывна на и – дифференцируема на , где множество m-измеримо (в смысле классической меры Лебега на прямой) и . Если , то

.
Теорема 8. Пусть функция f непрерывна на и – дифференцируема на , где множество m-измеримо и . Если , то

.

Эти теоремы представляют интерес особенно в том плане, что конечность или счётность «исключительного» множества е здесь не обязательна.
5. ФОРМА ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ, СПЕЦИФИЧНАЯ ДЛЯ ВЕЩЕСТВЕННОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ
Лемма 2. (Обобщённая лемма Ферма). Если R компактно субдифференуцируема в точке внутреннего экстремума , то

.

Доказательство. По определению компактного субдифференциала функции f(x) в точке

.

Отсюда такое, что

(5)

Поскольку является точкой экстремума, то либо неотрицательна, либо неположительна для всех достаточно близких к нулю значений h таких, что . Если , то либо , либо . Следовательно, правая часть (5) меняет знак при изменении знака h, в то время, как левая часть (5) не может менять знака (если h достаточно близко к нулю). Это противоречие завершает доказательство леммы.
Теорема 9. (Обобщённая теорема Ролля) Пусть функция f непрерывна на и – дифференцируема на , причём , то , такое, что

.

Эта теорема выводится из леммы 4 по классической схеме.

Теорема 10. (Обобщённая теорема Лагранжа) Пусть функция f непрерывна на и – дифференцируема на . Тогда , такое, что

.

Теорема 11. (Обобщённая теорема Коши). Пусть функции f и g непрерывны на и – дифференцируемы на , причём . Тогда , такое, что

.

Теоремы 10 и 11 также выводятся из обобщённой теоремы Ролля 9 стандартным образом.

Следствие 2. (о монотонности функции). Если в любой точке некоторого интервала – дифференциал функции является неотрицательным (положительным), то функция не убывает (возрастает) на этом интервале.

Доказательство. Действительно, если х1, х2 – две точки нашего интервала и , то есть , то по теореме 10

,

где . Поэтому знак совпадает со знаком .

Замечание. Разумеется, подобное утверждение можно получить и для не возрастающих (убывающих) функций. Это означает, что компактные субдифференциалы можно применять для исследования функций на монотонность.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В работе изучается новое в нелинейном анализе понятие компактного субдифференциала (или К-субдифференциала), существенно обобщающее классическое для выпуклого анализа понятие субдифференциала на случай невыпуклых отображений вещественного аргумента. В пунктах 1-2 работы получен простой критерий компактной субдифференцируемости, детально изучены основные свойства компактных субдифференциалов, построен ряд примеров. Наиболее тонкие и глубокие результаты работы сосредоточены в пунктах 3-4. В п.3 классические N-свойство Лузина и лемма Сакса перенесены на непрерывные К-субдифференцируемые отображения. С помощью этих результатов в п.4 обобщённая теорема Лагранжа, полученная в работах научного руководителя, перенесена на компактно субдифференцируемые функции. Рассмотрен ряд следствий. Наконец, на базе общей теоремы о среднем получены соответствующие К-аналоги теорем Ролля, Лагранжа и Коши. В целом работа является исследованием, создающим базу для дальнейшего развития и приложений создаваемой теории компактных субдифференциалов.


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


  1. Брудно А.Л. Теория функций действительного переменного – М.: Наука, 1971. – 119с.

  2. Гусман М. Дифференцирование интегралов в - М.: Мир, 1978. – 153с.

  3. Демьянов В.Ф., Рощина В.А. Обобщённые субдифференциалы и экзостеры// Владикавказский математический журнал. – 2006 – т.8 – Вып.4 – с.19 – 31.

  4. Натансон И.П. Теория функций действительного переменного – М.: Наука, 1974. – 480с.

  5. Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С. Субдифференциалы: теория и приложения – Новосибирск: Наука, Сиб. Отд-е, 1992. – 280с.

  6. Орлов И.В. Формула конечных приращений для отображений в индуктивные шкалы пространств// Математическая физика, анализ, геометрия. – 2001 – т.8 – № 4 – с.419 – 439.

  7. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи – М.: Наука, 1980. – 320с.

  8. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ – М.: Мир, 1973. – 472с.

  9. Сакс С. Теория интеграла – М.: «Факториал Пресс», 2004. – 496с.

Похожие:

Компактный субдифференциал вещественных функций iconТопологические пространства функций
Изучение топологии поточечной сходимости из-за важности ее приложений в функциональном анализе. Основной объект пространство всех...
Компактный субдифференциал вещественных функций iconВ. И. Моисеев Ниже я предполагаю рассмотреть одно расширение вещественных чисел некоторое множество R (от греческого «плерома» полнота, т е. R пополнение множества вещественных чисел), элементы которого я б
«плерома» полнота, т е. R – пополнение множества вещественных чисел), элементы которого я буду называть тетрадами и обозначать как...
Компактный субдифференциал вещественных функций iconПредставление в компьютере вещественных чисел Система вещественных чисел в математических вычислениях предполагается непрерывной и бесконечной
Однако в компьютерах числа хранятся в регистрах и ячейках памяти с ограниченным количеством разрядов. В следствие этого, система...
Компактный субдифференциал вещественных функций iconКлассификация вещественных функций вещественного аргумента
Вещественные функции вещественного аргумента делят на два класса: элементарные и не элементарные
Компактный субдифференциал вещественных функций iconКлассификация вещественных функций вещественного аргумента
Вещественные функции вещественного аргумента делят на два класса: элементарные и не элементарные
Компактный субдифференциал вещественных функций icon531. 5 Еще раз о эмпирическом законе всемирного тяготения и гравитационном колебании «элементарных» и ультроэлементарных вещественных частиц
Приводятся сведения из истории открытия эмпирического закона всемирного тяготения и уточняется механизм гравитационного колебания...
Компактный субдифференциал вещественных функций icon«Операции над графиками функций»
Авторы данной работы пытаются разобраться с исследованием сложных функций и методикой построения графиков этих функций, что значительно...
Компактный субдифференциал вещественных функций iconРабочей программы дисциплины Алгебраические системы Место дисциплины в структуре ооп
Присоединенный интеграл в и в. Его свойства. Алгебра прерывистых функций. Эквивалентность функций алгебры. Классические обобщенные...
Компактный субдифференциал вещественных функций iconДайте определение частично рекурсивных функций
Частичная функ­ция называется частично рекурсивной относительно системы частичных функций, если может быть полу­чена из функций системы...
Компактный субдифференциал вещественных функций iconВопросы к экзамену по курсу "Основы программирования на C++"
Шаблоны функций. Вывод параметров шаблонов функций. Инстанцирование. Шаблоны и перегрузка функций
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org