Гильбертовы пространства



Скачать 20.42 Kb.
Дата26.12.2012
Размер20.42 Kb.
ТипДокументы
Гильбертовы пространства.

1. Эрмитовы операторы в конечномерном комплексном пространстве, существование ортонормированного базиса из собственных векторов. Формулировка спектральной теоремы для эрмитова оператора в конечномерном пространстве.

2. Унитарные (предгильбертовы) пространства, пополнение унитарного пространства, определение гильбертова пространства, примеры гильбертовых пространств. Пространства Соболева. Ортогональные системы и базисы в гильбертовом пространстве, ортогональные разложения, неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Ортогонализация Грамма - Шмидта, теорема о существовании полной ортонормированной системы в сепарабельном гильбертовом пространстве, критерий полноты ортогональной системы.

3. Унитарные операторы и изоморфизмы гильбертовых пространств, h-преобразование Фурье (переход к р-представлению) как унитарное преобразование, теорема об изоморфизме бесконечномерных сепарабельных гильбертовых пространств. Ограниченные линейные операторы, норма оператора, три вида сходимости последовательности операторов (сходимость по операторной норме, сильная и слабая сходимости). Теорема об общем виде линейного непрерывного функционала в гильбертовом пространстве. Прямые суммы гильбертовых пространств.

Неограниченные операторы, самосопряжённые операторы.

4. Определение неограниченных операторов, понятие расширения оператора, замкнутые и замыкаемые операторы, замыкание оператора.

5. Определение сопряженного оператора, самосопряжённые и в существенном самосопряженные операторы.

6. Самосопряженность в существенном оператора умножения на координату и оператора Лапласа в кубе с периодическими граничными условиями.

7. Самосопряженность обратного оператора. Основной критерий самосопряженности оператора. Спектр и резольвентное множество самосопряженного оператора.

Спектральная теорема.

8. Мера Лебега, понятие об интеграле Лебега.

9. Мера и интеграл Стильтьеса. Формулировка спектральной теоремы в терминах операторов умножения:

10. Доказательство спектральной теоремы в терминах операторов умножения.

11. Оператор Шредингера с периодическим потенциалом, понятие элементарной ячейки и зоны Бриллюэна. Преобразование Лифшица - Гельфанда - Зака, спектральное представление оператора Шредингера с периодическим потенциалом.

12. Дискретное преобразование Фурье, полнота блоховских функций для конечного кристалла, зонныи спектр.

13. Формулировка спектральной теоремы в терминах интегралов по спектральной функции.

Принцип минимакса. Формула Вейля.

14. Квадратичные формы на гильбертовом пространстве. Теорема о самосопряженном операторе, порождённом замкнутой симметрической полуограниченной формой. Формы, порождающие лапласианы Дирихле и Неймана.

15.
Принцип минимакса, метод Релея - Ритца оценки собственных значений.

16. Формула Вейля для асимптотики числа собственных значений задачи Дирихле, не превосходящих заданного числа λ.

Похожие:

Гильбертовы пространства iconЛекция №11 Гильбертовы пространства
Гильбертовы пространства. Напомним, что скалярным произведением в действительном линейном пространстве называется действительная...
Гильбертовы пространства iconАнализ Авторы программы: академик Моисеев Е. И., профессор Шишмарев И. А. Лектор 2010/11 уч год
Излагаются начальные главы функционального анализа: теория меры и интеграл Лебега, банаховы и гильбертовы пространства, линейные...
Гильбертовы пространства iconВопросы к экзамену по курсу "Линейная алгебра и геометрия"
Конечномерные линейные пространства. Базис пространства. Размерность пространства
Гильбертовы пространства iconПрограмма экзамена по алгебре и геометрии 2 семестр линейные пространства
Линейные пространства. Понятие линейного пространства. Примеры линейных пространств
Гильбертовы пространства iconСеминар Географические понятия и концепции пространства Базовые положения
Цель семинара – дать возможность ознакомиться с географическим понятием пространства или точнее: с разными географическими концепциями...
Гильбертовы пространства iconЛинейные преобразования
Пусть дано п-мерное действительное пространство Vп. Рассмотрим преобразование этого пространства, то есть отображение, переводящее...
Гильбертовы пространства iconПрограмма коллоквиума по геометрии для студентов 2 курса (7 группы) 1семестр 2010/11уч года
Понятие проективного пространства и его подпространств. Каноническая модель проективного пространства. Изоморфизм произвольного проективного...
Гильбертовы пространства iconВопросы к экзамену алгебра линейные пространства
Размерность и базис линейного пространства. Конечномерные и бесконечномерные линейные пространства. Базис. Разложение вектора по...
Гильбертовы пространства iconПрограмма курса «Методы оптимизации»
Нормированные пространства (н п.). Открытые и замкнутые множества в н п. Сходимость последовательностей. Банаховы пространства
Гильбертовы пространства iconПрограмма курса «уравнения математической физики»
Линейные пространства, линейная независимость, конечномерные и бесконечномерные пространства, примеры
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org