Новые законы сохранения для уравнений газовой динамики



Скачать 98.18 Kb.
Дата26.12.2012
Размер98.18 Kb.
ТипДокументы
НОВЫЕ ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ

Ю.А. Чиркунов

Новосибирский государственный технический университет
NEW CONSERVATIVE LAWS FOR GAS DINAMICS EQUATIONS

Yu. A. Chirkunov

Novosibirsk State Technical University
Classification of n-dimentional gas dynamics equations with respect to conservative laws of order zero is realized. It is obtained new state equation of gas for which takes plase extention of set of conservative laws. Everyone conservative laws of order zero for n-dimentional gas dynamics equations with zero sound velocity are founded. Classification of equations of isoentropic gas motion is carried out. Conservative laws for equations of plane-parallel stationary irrotational isoentropic gas motion are investigated with the help of Chaplygyn system; new nonlinear nonlocal conservative laws are obtained.
Введение

Получению законов сохранения для различных систем дифференциальных уравнений посвящено большое количество работ, в которых законы ишутся либо прямыми вычислениями, либо с помощью обобщенных симметрий системы, либо по теореме Нетер. В работе [1] для уравнений движения газа в трехмерном случае прямыми вычислениями найдена полная система законов сохранения нулевого порядка. В работе [2] для уравнений безвихревого движения политропного газа действием операторов точечных симметрий на классические законы сохранения найдены дополнительные законы сохранения. В настоящей работе для уравнений газовой динамики с помощью метода A-операторов найдены новые законы сохранения: локальные и нелокальные.

§1. Метод -операторов

Рассматривается произвольная система дифференциальных уравнений для искомых функций от независимых переменных . Через обозначается многообразие в продолженном пространстве, задаваемое уравнениями системы и всеми ее дифференциальными следствиями.

Законом сохранения для системы называется [3] вектор такой, что , где gif" name="object12" align=absmiddle width=365 height=32> – оператор полного дифференцирования по переменной . Наибольший порядок входящих в выражение для производных функций по независимым переменным называется порядком этого закона сохранения.

Закон сохранения определяется с точностью до постоянного множителя.

Закон сохранения называется тривиальным [3], если

Два закона сохранения называются [3] эквивалентными, если какая-либо их линейная комбинация является тривиальным законом сохранения.

Множество законов сохранения для системы разбивается на непересекающиеся классы эквивалентных законов сохранения.

О п р е д е л е н и е. Пусть – закон сохранения системы. Эволюционный оператор обобщенной симметрии , допускаемый уравнением в силу системы и всех ее дифференциальных следствий, называется-оператором [4] этой системы. То есть-оператор системы задается соотношением

-оператор системы определяется с точностью до постоянного множителя. Для множества -операторов системы можно указать оценку снизу: это множество содержит алгебру Ли всех обобщенных симметрий системы .

Действие любого -оператора системы на закон сохранения дает закон сохранения этой системы. Если – тривиальный закон сохранения системы , то – тоже тривиальный закон сохранения этой системы для любого ее -оператора.

Если – закон сохранения системы , то всякий эволюционный оператор обобщенной симметрии , для которого вектор есть закон сохранения этой системы, является ее -оператором.

-оператор системы называется ее тривиальным -оператором [4], если вектор – тривиальный закон сохранения этой системы.

Два -оператора системы называются -эквивалентными [4], если их разность есть тривиальный -оператор этой системы.

Действие -эквивалентных -операторов системы на закон сохранения дает эквивалентные законы сохранения этой системы. Множество -операторов системы для каждого закона сохранения разбивается на классы -эквивалентных-операторов.

Имеет место следующая теорема о порождающем законе сохранения.

Т е о р е м а. Если система дифференциальных уравнений с зависимыми переменными имеет закон сохранения нулевого порядка, для которого общий ранг матрицы Якоби равен числу независимых переменных системы , то тогда каждый ее закон сохранения может быть получен в результате действия на закон сохранения некоторого -оператора этой системы.

Метод получения законов сохранения для систем дифференциальных уравнений с помощью теоремы 1 будет называться методом -операторов.

§2. Новые законы сохранения и симметрийные свойства уравнений

неустановившегося движения газа

Движение газа с калорическим уравнением состояния (– энтропия) описывается уравнениями:

(1)

в которых: – время; – вектор скорости; – плотность; – давление; – скорость звука, задаваемая уравнением состояния:

Безвихревое движение газа описывается уравнениями (2) и уравнениями

. (2)

Последнее уравнение введением потенциала может быть проинтегрировано

(3)

В газовой динамике физический смысл закона сохранения определяется компонентой – плотностью закона сохранения, и вектором потока где

Методом -операторов выполнена классификация по законам сохранения нестационарных систем уравнений: (1); (1)–(2); (1)–(3). Оказалось, что эти системы имеют новые законы сохранения только для особого газа с уравнением состояния ( – любая заданная функция), который будет называться особым газом. Найдены эти новые законы сохранения. А именно:

1. Система (1) при имеет следующие новые законы сохранения

– бесконечное множество законов сохранения нулевого порядка , где – любое решение уравнения

; (4)

– единственный нелокальный закон сохранения (с нелокальной переменной )



2. Система (1)–(2) при имеет три новых закона сохранения:

– дополнительный обобщенный закон сохранения импульса:

;

– дополнительный обобщенный закон сохранения момента импульса:

;

– закон сохранения, определяющий дополнительный обобщенный закон движения центра масс:



где – произвольные постоянные векторы; – произвольный антисимметричный тензор ранга 2 в .

Особый газ при групповой классификации систем никак не выделяется. Оказывается, однако, система (1) при имеет обобщенные симметрии первого порядка, не эквивалентные точечным симметриям, только для особого газа, для которого множество допускаемых этой системой операторов первого порядка, не эквивалентных операторам точечных симметрий, состоит из операторов:



,

где – произвольная функция энтропии ; – произвольное решение уравнения (4).

Наличие у системы (1) () для особого газа зависящих от произвольных функций обобщенных симметрий первого порядка с операторами и указывает на возможность линеризации этой системы. В самом деле, переход к массовой лагранжевой переменной в этой системе линеризует последние три уравнения, а первые два линеризуются переходом на плоскость годографа .

При особый газ удается выделить если искать операторы вида

,

где – искомые функции переменных , допускаемые в силу системы (1)–(3) системой, состоящей из всех уравнений системы (1), кроме ее последнего уравнения. С точностью до очевидных преобразований эквивалентности при этом будет только два классификационных случая:
1) – произвольная функция; 2) ( – любая заданная функция). Если – произвольная функция, то множество указанных операторов совпадает (с точностью до операторов ; – произвольные функции) с множеством всех точечных операторов, допускаемых [5] системой (1), включая все случаи расширения основной алгебры Ли.

Для особого газа добавляется нелокальный оператор



являющийся -оператором системы (1)–(3), где – закон сохранения импульса.

§3. Законы сохранения уравнений газовой динамики с нулевой скоростью звука

Методом -операторов получено [6], что множество нетривиальных законов сохранения нулевого порядка для системы уравнений (1) при состоит из

– обобщенного закона сохранения энергии: ;

– обобщенного закона сохранения импульса: ;

– обобщенного закона сохранения момента импульса: ;

– закона сохранения, определяющего обобщенный закон движения центра масс:

;

– закона сохранения давления: (при – закон сохранения массы);

где – произвольные функции; – произвольный антисимметричный тензор ранга 2 в при и при .

§4. Новые законы сохранения и симметрийные свойства уравнений

неустановившегося изоэнтропического движения газа

Изэнтропическое движение газа описывается уравнениями:

(5)

в которых: – время; – вектор скорости; – плотность; – скорость звука.

Для безвихревого изэнтропического движения к системе (5) добавляется уравнение

. (6)

Введение потенциала вектора скорости

(7)

позволяет проинтегрировать уравнение импульса в системе (5). Результатом этого является интеграл Коши – Лагранжа:

, (8)

где – удельная энтальпия ().

Методом -операторов выполнена [7] классификация по законам сохранения нестационарных систем уравнений: (5); (5)–(6); (5)–(8). . Найдены все новые законы сохранения. А именно:

1. Система (5) при , имеет следующее бесконечное множество нетривиальных законов сохранения нулевого порядка:

,

где – любое решение уравнения

2. Система (5) при имеет нетривиальные законы сохранения с нелокальной переменной , являющиеся нетривиальными законами сохранения нулевого порядка для системы (5)–(8), тогда и только тогда, когда уравнение состояния газа задается соотношением , где – произвольные постоянные, такие, что . Наибольшее число этих нелокальных законов сохранения будет для газа Чаплыгина (). Соответствующие нелокальные законы сохранения таковы:

– при у системы только один такой закон сохранения

(9)

– при к закону сохранения (9) добавляется закон сохранения



где – произвольный постоянный единичный вектор.

Выполнена групповая классификация системы (5)–(8). Для газа Чаплыгина она допускает наиболее широкую группу Ли преобразований. Среди ее операторов содержится векторный оператор , который для системы (5) является новым нелокальным оператором.

§5. Законы сохранения для уравнений плоскопараллельного установившегося

безвихревого изоэнтропического движения газа

Задача отыскания законов сохранения для нелинейной системы

(10)

описывающей плоскопараллельное установившееся безвихревое изоэнтропическое движение газа, с помощью нелокальных переменных: потенциала вектора скорости и функции тока , и перехода на плоскость годографа сводится к задаче отыскания законов сохранения для линейной системы Чаплыгина



с функцией Чаплыгина , где – число Маха.

Установлено, что множество законов сохранения нулевого порядка, которыми обладает система Чаплыгина, состоит из обусловленных линейностью этой системы и порождаемых операторной формулой Грина, имеющих функциональный произвол законов сохранения, линейных относительно потенциала вектора скорости и функции тока, и нового нелинейного закона сохранения. Оказалось, что указанные линейные законы сохранения для системы Чаплыгина порождают найденные А. И. Рыловым [8] законы сохранения на физической плоскости. Получены все не зависящие от функции тока законы сохранения первого порядка для системы Чаплыгина, порождаемые операторной формулой Грина. С помощью результатов, полученных в работе [9], показано, что система Чаплыгина имеет не более трех не зависящих от функции тока неочевидных законов сохранения первого порядка, и их компоненты квадратичны относительно потенциала вектора скорости и его производных. Перечислены все функции Чаплыгина, для которых система Чаплыгина имеет три не зависящие от функции тока закона сохранения первого порядка. Найдены эти законы сохранения. Для системы (10) они порождают нелинейные, нелокальные законы сохранения первого порядка.

Работа выполнена при финансовой поддержке межрегионального интеграционного проекта СО РАН № 103.

Список литературы

1. Терентьев Е.Д., Шмыглевский Ю.Д. Полная система дивергентных уравнений динамики совершенного газа // ЖВМ и МФ. 1975.Т. 15. №6. С. 1535–1544.

2. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука. 1983.

3. Олвер П. Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир. 1989.

4. Чиркунов Ю.А. Метод А-операторов и законы сохранения для уравнений газовой динамики // ПМТФ. 2009. Т. 50. № 2. С. 53-60.

5. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1978.

6. Чиркунов Ю.А. Законы сохранения и групповые свойства уравнений газовой динамики с нулевой скоростью звука // ПММ. 2009. Т. 73. Вып. 4. С. 587–593.

7. Чиркунов Ю.А. Законы сохранения и групповые свойства уравнений

изоэнтропического движения газа // ПМТФ. 2010. Т. 51. № 1. С. 3–6.

8. Рылов А.И. Уравнения С.А. Чаплыгина и бесконечное множество однородно-дивергентных уравнений газовой динамики. Докл. АН. 2002. Т. 383. № 1. С. 34 – 36.

9. Чиркунов Ю.А. О классификации по симметриям и законам сохранения квазилинейных дифференциальных уравнений второго порядка // Матем. заметки. 2010. Т. 87. Вып. 1. С. 122–129.




Похожие:

Новые законы сохранения для уравнений газовой динамики iconЗаконы сохранения в электричестве 4 Законы сохранения фундаментальные законы природы 4 Примеры решения задач 5
Законы сохранения являются наиболее фундаментальными законами природы. В электростатике и электродинамике при решении задач используются...
Новые законы сохранения для уравнений газовой динамики iconЛекции 32 часа Экзамен 8 семестр практические (семинарские) занятия 32 часа Зачет нет
Кинетическое уравнение Больцмана для одноатомных газов. Свойства интеграла столкновений. Вывод уравнений гидродинамики и уравнений...
Новые законы сохранения для уравнений газовой динамики iconТема 1-3 курс
Законы сохранения Вывести законы сохранения в классической механике и классической теории поля из принципа инвариантности действия...
Новые законы сохранения для уравнений газовой динамики iconРевизия теоретических основ релятивистской электродинамики
В рамках уравнений Максвелла выведены тензоры энергии-импульса для этих полей и получены законы сохранения. Показано, что масса поля...
Новые законы сохранения для уравнений газовой динамики iconПрограмма 40 молодежной школы-конференции " проблемы теоретической и прикладной математики"
«Дифференциально инвариантные решения для подмоделей ранга 2 в газовой динамики»
Новые законы сохранения для уравнений газовой динамики iconПрограмма экзамена по электродинамике Вывод уравнений Максвелла Система си система сгс закон сохранения энергии Закон сохранения импульса Замкнутость уравнений Максвелла
Физическая природа магнетизма. Частица во внешне поле с точки зрения квантовой механики
Новые законы сохранения для уравнений газовой динамики iconЗакон сохранения полной механической энергии системы
Основной закон релятивистской динамики (закон сохранения релятивистского импульса)
Новые законы сохранения для уравнений газовой динамики iconПрограмма вступительного экзамена в аспирантуру по специальности 01. 02. 05
Уравнение сохранения энергии (первое начало термодинамики). Уравнение притока тепла. Двухпараметрические среды. Второе начало термодинамики....
Новые законы сохранения для уравнений газовой динамики iconПрограмма вступительного экзамена в аспирантуру по специальности 01. 02. 04
Уравнение сохранения энергии (первое начало термодинамики). Уравнение притока тепла. Двухпараметрические среды. Второе начало термодинамики....
Новые законы сохранения для уравнений газовой динамики iconИМ. Зайнаб биишевой
Основные понятия классической механики и законы Ньютона. Законы изменения и сохранения импульса, момента количества движения и энергии...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org