Программа экзамена по алгебре и геометрии 2 семестр линейные пространства



Скачать 42.92 Kb.
Дата27.12.2012
Размер42.92 Kb.
ТипПрограмма
ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО АЛГЕБРЕ И ГЕОМЕТРИИ

2 СЕМЕСТР

1. Линейные пространства. Понятие линейного пространства. Примеры линейных пространств.

2. Базис и размерность линейного пространства. Определения базиса и размерности линейного пространства. Примеры линейных пространств и базисов в них.

3. Линейное подпространство. Понятие линейного подпространства. Базис и размерность линейного подпространства. Дополнение базиса подпространства до базиса всего пространства. Примеры.

4. Ранг матрицы. Определение ранга матрицы. Теорема о базисном миноре и следствия из нее. Элементарные преобразования матриц, сохранение при этом ранга матрицы. Матрица ступенчатого вида и ее ранг. Приведение матрицы к ступенчатому виду (метод Гаусса).

5. Ранг системы векторов. Понятие ранга системы векторов. Вычисление ранга системы векторов через ранг матрицы, составленной из их координат в некотором базисе.

6. Системы линейных уравнений. Основные понятия теории систем линейных уравнений (совместность и несовместность, основная и расширенная матрица системы). Критерий совместности системы (теорема Кронекера-Капелли). Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Однородная система линейных уравнений. Критерий существования ненулевого решения. Теорема о том, что решения однородной системы линейных уравнений образуют линейное пространство. Фундаментальная система решений. Общее решение однородной системы линейных уравнений. Неоднородная система линейных уравнений. Связь решений неоднородной и соответствующей однородной систем.

7. Линейные операторы и их матрицы. Понятие линейного оператора, его свойства и примеры. Матрица линейного оператора в заданном базисе. Векторно-матричная запись действия линейного оператора. Ядро и образ линейного оператора, их свойства. Умножение линейного оператора на число, сложение и умножение операторов; соответствующие действия с матрицами операторов. Обратный оператор, его линейность. Критерий обратимости линейного оператора в терминах его матрицы и ядра. Матрица обратного оператора.

8. Замена базиса. Матрица перехода от одного базиса линейного пространства к другому. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Инвариантность определителя матрицы линейного оператора при замене базиса. Подобие матриц, его основные свойства.

9. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Понятия собственного значения и собственного вектора линейного оператора. Примеры. Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Линейный оператор простого типа, диагонализируемость его матрицы. Достаточное условие оператора простого типа. Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного оператора с помощью характеристического уравнения.
Инвариантность собственных значений, следа и определителя матрицы линейного оператора.

10. Билинейная форма и ее матрица. Понятие билинейной формы. Матрица билинейной формы в заданном базисе. Координатная и векторно-матричная запись билинейной формы. Преобразование матрицы билинейной формы при замене базиса. Симметрическая билинейная форма и ее матрица. Квадратичная форма, порожденная симметрической билинейной формой, ее координатная и векторно-матричная запись.

11. Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному виду.

Канонический и нормальный вид квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа. Закон инерции квадратичных форм. Положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы, ее ранг. Обоснование закона инерции квадратичных форм*. Понятия суммы и пересечения подпространств, их общие свойства. Теорема о размерности суммы подпространств, имеющих нулевое пересечение. Формулировка и обоснование закона инерции квадратичных форм.

12. Знакоопределенные квадратичные формы. Положительно (отрицательно) определенная квадратичная форма. Канонический и нормальный вид положительно (отрицательно) определенной квадратичной формы, ее индексы и ранг. Критерий Сильвестра положительной (отрицательной) определенности квадратичной формы.

13. Евклидово пространство. Определение евклидова пространства. Евклидово скалярное произведение. Примеры евклидовых пространств. Неравенство Коши-Буняковского. Длины векторов и углы между ними. Неравенство треугольника. Ортогональные векторы. Теорема Пифагора в евклидовом пространстве.

14. Матрица Грама. Матрица Грама скалярного произведения в заданном базисе. Координатная и векторно-матричная запись скалярного произведения. Критерий матрицы Грама. Преобразование матрицы Грама при замене базиса.

15. Ортогональный и ортонормированный базис. Линейная независимость ортогональной
системы векторов. Ортогональный и ортонормированный базисы. Запись матрицы Грама,
скалярного произведения векторов и длин векторов в этих базисах. Метод ортогонализации
базиса.

16. Сопряженный оператор. Понятие сопряженного оператора в евклидовом пространстве. Существование и единственность сопряженного оператора, его матрица в ортонормированием базисе. Свойства сопряжения операторов.

17. Самосопряженный оператор. Определение самосопряженного оператора,

симметричность его матрицы в ортонормированием базисе. Свойства самосопряженных

операторов.

*Понятие ортогонального дополнения для подпространства в евклидовом пространстве.

Инвариантные подпространства самосопряженного оператора. Построение базиса из

собственных векторов самосопряженного оператора.

18. Ортогональный оператор. Понятие ортогонального оператора и его основные свойства. Критерии ортогональности оператора (перевод ортонормированного базиса в ортонормированный, совпадение обратного оператора с сопряженным). Ортогональные матрицы и их свойства.

19. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом ортогональных преобразований. Эквивалентность формул преобразования матрицы квадратичной формы и матрицы самосопряженного оператора при переходе от одного ортонормированного базиса к другому. Построение канонического базиса квадратичной формы как ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного оператора.

Похожие:

Программа экзамена по алгебре и геометрии 2 семестр линейные пространства iconВопросы для экзамена по алгебре и аналитической геометрии (1-ый семестр)
Алгебраические уравнения. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена на множители
Программа экзамена по алгебре и геометрии 2 семестр линейные пространства iconВопросы к экзамену по алгебре и геометрии второй семестр, весна2003, группы 2341,42,51,52,61,62
...
Программа экзамена по алгебре и геометрии 2 семестр линейные пространства iconПрограмма экзамена по аналитической геометрии и линейной алгебре для групп с-14, с-15, ск-11
Векторы в пространстве. Модуль вектора. Равенство векторов. Коллинеарные векторы. Линейные операции над векторами. Свойства линейных...
Программа экзамена по алгебре и геометрии 2 семестр линейные пространства iconЛекции  32 часа Экзамен  5 семестр практические(семинарские) занятия 
Метрические пространства. Линейные нормированные и банаховы пространства. Теорема о пополнении метрических пространств. Сепарабельность....
Программа экзамена по алгебре и геометрии 2 семестр линейные пространства iconТемы экзамена дисциплины «Математические основы теории систем»
Понятие пространства. Линейные векторные пространства. Пространство состояний системы
Программа экзамена по алгебре и геометрии 2 семестр линейные пространства iconПрограмма по алгебре и геометрии II семестр заочное отделение мат-мех Ургу (Екатеринбург)
Общее решение совместной системы линейных уравнений, базисные и свободные неизвестные
Программа экзамена по алгебре и геометрии 2 семестр линейные пространства iconПрограмма курса Линейная и векторная алгебра. Программа курса
Линейные операции над векторами. Базисы, разложение вектора по базису. Координаты вектора. Декартов базис. Скалярное, векторное и...
Программа экзамена по алгебре и геометрии 2 семестр линейные пространства iconРабочая программа по геометрии для студентов 2 курса фмф специальность «Математика и физика». 1 семестр (34 часа л/к,34ч пр.)
Лекция. Центральное проектирование. Возникновение проективной геометрии. Свойство взаимного расположения точек, прямых и плоскостей...
Программа экзамена по алгебре и геометрии 2 семестр линейные пространства iconПрограмма по алгебре и геометрии I семестр заочное отделение мат-мех Ургу (Екатеринбург) 2011/12 уч г
Системы линейных уравнений. Частные решения. Равносильные системы. Элементарные преобразования. Метод Гаусса-Жордана
Программа экзамена по алгебре и геометрии 2 семестр линейные пространства iconВопросы к экзамену алгебра линейные пространства
Размерность и базис линейного пространства. Конечномерные и бесконечномерные линейные пространства. Базис. Разложение вектора по...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org