Определение Оператор называется обратимым, если для любого уравнение (1)



Скачать 126.63 Kb.
страница1/3
Дата27.12.2012
Размер126.63 Kb.
ТипЛекция
  1   2   3
Лекция № 15
Обратный оператор, обратимость. Пусть – оператор, действующий из в , и – область его определения, а – область его значений.

Определение 1. Оператор называется обратимым, если для любого уравнение

(1)

имеет единственное решение.

Если оператор обратим, то каждому можно поставить в соответствие единственный элемент , являющийся решением уравнения . Оператор, осуществляющий это соответствие, называется обратным к и обозначается через .

Теорема 1. Оператор , обратный линейному оператору , также линеен.

Доказательство. Очевидно, что область значений оператора , т.е. область определения оператора , есть линейное многообразие. Пусть . Достаточно проверить выполнение равенства

. (2)

Пусть и . В силу линейности gif" name="object25" align=absmiddle width=21 height=18> имеем:

. (3)

По определению обратного оператора

, ,

откуда, умножая эти равенства на и соответственно и складывая, получим

.

С другой стороны, из (3) и из определения обратного оператора следует, что

,

что вместе с предыдущим равенством дает равенство (2). Теорема доказана.

Теорема Банаха об обратном операторе. Это очень важная теорема в теории линейных операторах. Для доказательства этой теоремы нам понадобится следующая

Лемма. Пусть – всюду плотное множество в Банаховом пространстве . Тогда любой ненулевой элемент можно разложить в ряд

, где и .

Доказательство. Элементы будем строить последовательно: выберем так, чтобы

.

Это возможно, так как всюду плотно в . Выберем далее так, чтобы

,

так, чтобы

,

и так далее, выберем так, чтобы

.

Такой выбор всегда возможен, так как всюду плотно в . В силу выбора элементов при , т.е. ряд сходится к . Оценим нормы .





и так далее,



.

Лемма доказана.

Теорема Банаха (об обратном операторе). Пусть – линейный ограниченный оператор, взаимно однозначно отображающий на банахово пространство . Тогда обратный оператор ограничен.

Доказательство. В пространстве рассмотрим множество – совокупность тех , для которых выполняется неравенство . Всякий элемент пространства попадает в некоторое , т.е.

.

По теореме Бэра (см. с.57) хотя бы одно из множеств , скажем , плотно в некотором шаре . Внутри шара выберем шаровой слой с центром в точке из ; слой – это совокупность точек , для которых справедливо неравенство , где и . Перенеся слой так, чтобы его центр попал в точку , получим шаровой слой

.

Покажем, что в плотно некоторое множество . Пусть ; тогда и

. (4)

Величина не зависит от . Положим

, где означает целую часть числа.

Тогда в силу (4) , а из того, что плотно в , следует, что плотно в .

Рассмотрим произвольный ненулевой элемент . Всегда можно подобрать так, чтобы было , т.е. . Так как плотно в , можно построить последовательность , сходящуюся к . Тогда последовательность сходится к . Очевидно, что если , то и при любом действительном . Таким образом, плотно в , а потому и в .

Рассмотрим ненулевой элемент ; по доказанной лемме его можно разложить в ряд по элементам из , т.е.

, причем .

Рассмотрим в пространстве ряд, составленный из прообразов элементов , т.е. элементов . Так как имеют место неравенства

,

то ряд сходится к некоторому элементу , и при этом

.

В силу сходимости ряда и непрерывности оператора его можно применить почленно к этому ряду, т.е.

,

откуда . Кроме того,

,

и так как эта оценка верна для любого , то оператор ограничен. Теорема доказана.

Определение 2. Пусть и – нормированные пространства. Линейный оператор , действующий из в с областью определения , представляющей собой линейное многообразие, называется замкнутым, если из условий

, , следует, что и .

Легко показать, что всякий ограниченный оператор замкнут.

Рассмотрим множество всех ограниченных линейных операторов, отображающих банахово пространство в банахово пространство . Это множество само есть банахово пространство в операторной норме. Выделим в нем подмножество операторов, отображающих на всё и имеющих ограниченный обратный. Это множество открыто в , т.е. справедлива.
  1   2   3

Похожие:

Определение Оператор называется обратимым, если для любого уравнение (1) iconЗанятие 5 Монотонность функции Актуализация знаний Функция f (x) называется возрастающей
Функция f (X) называется возрастающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка d таких, что x1 0 для любого X,...
Определение Оператор называется обратимым, если для любого уравнение (1) icon1. Записать уравнение Фредгольма 2-го рода. Какое уравнение называется однородным?
Сформулировать определение сходимости последовательности элементов метрического пространства
Определение Оператор называется обратимым, если для любого уравнение (1) iconПредел и непрерывность функции одной переменной
Определение. Число а называется предельным значением (пределом) функции при X стремящимся к x0, если для любого числа найдётся число...
Определение Оператор называется обратимым, если для любого уравнение (1) iconМонотонные последовательности. Число Определение
Определение. Последовательность,, называют возрастающей (неубывающей), если для любого, верно неравенство
Определение Оператор называется обратимым, если для любого уравнение (1) iconРешение рациональных уравнений. Уравнение, приводимое к виду ax + b = 0, a ≠ 0,называется
Уравнение, приводимое к виду ax + b = 0, a ≠ 0,называется линейным. Уравнение имеет единственный корень
Определение Оператор называется обратимым, если для любого уравнение (1) iconВыпуклые функции Определение
Определение. Функция, определенная и непрерывная в промежутке, называется выпуклой вниз (выпуклой), если для любых точек из выполняется...
Определение Оператор называется обратимым, если для любого уравнение (1) iconОпределение циклических кодов
Определение циклических кодов. Линейный код называют циклическим, если для любого кодового слова [xn xn-1] циклическая перестановка...
Определение Оператор называется обратимым, если для любого уравнение (1) iconХроматическое число
Определение. Пусть G=(V,E) – обыкновенный граф и k – натуральное число. Функция f: V{1,…,k} называется раскраской графа. Раскраска...
Определение Оператор называется обратимым, если для любого уравнение (1) iconОпределение: Функция F(x) называется первообразной функцией
Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно...
Определение Оператор называется обратимым, если для любого уравнение (1) iconОпределение: Функция F(x) называется первообразной функцией
Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org