Методические рекомендации по выполнению лабораторных работ по дисциплине «Преобразование измерительных сигналов»



Скачать 185.8 Kb.
Дата27.12.2012
Размер185.8 Kb.
ТипМетодические рекомендации


Министерство образования и науки РФ
Бийский технологический институт (филиал)

государственного образовательного учреждения

высшего профессионального образования

«Алтайский государственный технический университет

им. И.И. Ползунова»

Р.Г. Гареева


синтез линейных частотных фильтров
Методические рекомендации по выполнению лабораторных работ

по дисциплине «Преобразование измерительных сигналов»


Бийск

Издательство Алтайского государственного технического

университета им. И.И. Ползунова

2011

УДК 621.372.54(076.5)

Г 20
Рецензент: Александрович В.М., к.ф.-м.н.,

доцент каф. ИУС БТИ АлтГТУ

Гареева, Р.Г.

С
Г 20
интез линейных частотных фильтров: методические рекомендации по выполнению лабораторных работ по дисциплине «Преобразование измерительных сигналов» / Р.Г. Гареева; Алт. гос. техн. ун-т, БТИ. – Бийск: Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 2011. – 21 с.
Методические рекомендации содержат краткое изложение теоретических сведений об электрических фильтрах, их типах и основных характеристиках. Подробно рассмотрена задача синтеза непрерывных фильтров типа Баттерворта низких частот, а на их основе – полосовых фильтров и фильтров верхних частот.

Рекомендации предназначены для студентов специальности 200106 «Информационно-измерительная техника и технологии» дневной и заочной форм обучения по дисциплине «Преобразование измерительных сигналов».
УДК 621.372.54(076.5)

Рассмотрены и одобрены

на заседании кафедры МСИА.

Протокол № 10 от 30.12.2010 г.
© Гареева Р.Г., 2011

©


БТИ АлтГТУ, 2011

СОДЕРЖАНИЕ








1 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ…………………………………….….

4

1.1 Электрические фильтры…………………………….…………

4

1.2 Типы электрических фильтров………………..………..…….

4

1.3 Свойства физически реализуемых фильтров…………..……

6

1.4 Мощностные характеристики фильтров…………………….

8

1.5 Этапы синтеза электрических фильтров……………………..

9

1.6 Синтез непрерывных фильтров низких частот……..…..
……

9

1.7 Синтез фильтров верхних частот…………………………..…

16

1.8 Синтез полосовых фильтров………………………………..…

17







2 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ…………………………………………

18

2.1 Варианты задания.………………….………………………….

18

2.2 Цель и задачи лабораторной работы.…...……………………

18

2.3 Защита лабораторной работы…………………………………

19







ЛИТЕРАТУРА………………….……………………………….……

20




1 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1 Электрические фильтры



Фильтрация или фильтрование является широко распространенным и применяемым технологическим процессом.

Электрическими фильтрами называют устройства, включаемые в электрическую цепь и предназначенные для пропускания токов или напряжений определенных частот и ослабления токов или напряжений других частот. Электрические фильтры создаются из катушек индуктивности, конденсаторов и резисторов.

Теорию фильтров принято делить на две обширные области, тесно связанные между собой, – анализ и синтез. Задачей анализа является нахождение внешних и внутренних харак­теристик электрической системы, структура которой задана зара­нее, например, в виде принципиальной схемы. Задача синте­за диаметрально противоположна – внешняя характе­ристика, такая как частотный коэффициент передачи напря­жения, входное или выходное сопротивление и т.д., счита­ется известной. Требуется найти структуру цепи, реализую­щую эту характеристику.

В отличие от анализа синтез цепи, как правило, явля­ется неоднозначной процедурой. Поэтому среди множества структур с одинаковыми свойствами необходимо отыскать ту, которая в определенном смысле оптимальна. Так, всегда желательно, чтобы синтезируемая цепь содержала минимально возможное число элементов. Во многих случаях нужно, чтобы цепь была малочувствительна к выбору номи­налов входящих в нее элементов.

Рассмотрим простейшую задачу син­теза частотных фильтров, представляющих собой линейные четырехполюсники, образованные элементами L, С и R. Исходные данные для синтеза во всех случаях будут задаваться амплитудно-частотными характеристиками.
1.2 Типы электрических фильтров
Различают следующие типы фильтров:

1) Фильтры низких частот (ФНЧ). Основное назначение таких устройств – с минимальным ослаблением передавать на выход сигналы, частоты которых не превосходят заданную граничную частоту, называемую частотой среза фильтра . Сигналы с более высокими частотами должны существенно ослабляться.

Для ФНЧ с частотой среза идеальная амплитудная частотная характеристика (АЧХ) описывается формулой



и представлена на рисунке 1.



Рисунок 1 – Фильтр низких частот
2) Фильтры верхних частот (ФВЧ). Основное назначение ФВЧ – максимальное ослабление сигналов, частоты которых не превосходят заданную граничную частоту среза , и минимальное ослабление сигналов с частотами выше (рисунок 2).


Рисунок 2 – Фильтр верхних частот
3) Полосовые фильтры (ПФ). Полосовые фильтры должны пропускать сигналы с частотами, находящимися в некоторой полосе вблизи частоты , называемой центральной частотой полосы пропускания, или нескольких частот ... (в этом случае фильтр называется многополосным) (рисунок 3).


Рисунок 3 – Полосовой фильтр

4) Режекторные (заграждающие) фильтры (РФ). Основное назначение таких фильтров состоит в подавлении сигналов, частоты которых имеют значение или расположены в узкой полосе относительно частоты (рисунок 4).


Рисунок 4 – Режекторный фильтр

1.3 Свойства физически реализуемых фильтров




Рассмотрим более общую, чем частотная, характеристику системы – передаточную функцию . В большинстве практических случаев её получают путем замены переменной в частотной характеристике на переменную , где  – абсцисса сходимости.

Вводят передаточную функцию по аналогии с частотной характеристикой по соотношению:

,

где – изображения по Лапласу функций :

, .

Для линейных систем с постоянными параметрами передаточная функция имеет вид:



, (1)

где – постоянная величина;

– корни полинома числителя (нули передаточной функции);

– корни полинома знаменателя (полюсы передаточной функции).

Для устойчивости электрического фильтра необходимо, чтобы полюсы его передаточной функции обладали отрицательной действительной частью, то есть чтобы они располагались в левой полуплоскости комплексной плоскости, образуя комплексно-сопряженные пары (рисунок 5).



Рисунок 5 – Расположение полюсов устойчивой системы
Обычно вводят ещё дополнительное условие – число нулей передаточной функции G(p) не должно превышать число полюсов (степень полинома числителя функции должна быть меньше степени полинома знаменателя m<n).

В отличие от полюсов нули функции G(p) устойчивой линейной системы могут располагаться как в левой, так и в правой полуплоскости переменной p. Системы, не имеющие нулей передаточной функции в правой полуплоскости, называются минимально-фазовыми.

Расположение нулей функции G(p) связано с топологической структурой цепи. В теории цепей доказывается, что минимально-фазо-вым будет любой четырехполюсник, для которого передача сигнала с входа на выход может быть полностью прекращена путем разрыва единственной ветви. Для электрических фильтров необходимо, чтобы система была минимально-фазовой.

Для физической реализуемости электрического фильтра необходимо выполнение критерия Пэли–Винера: частотная характеристика должна быть такой, чтобы существовал интеграл

(2)

Рассмотренные ранее частотные характеристики идеальных фильтров (рисунки 1–4) заведомо нереализуемы, поскольку обращение в нуль функции H() делает невозможным существование интеграла (2).

Идеальные характеристики необходимо аппроксимировать такими аналитическими зависимостями H(), которые бы стремились к нулю, но его не достигали.

1.4 Мощностные характеристики фильтров



При расчете степени пропускания или непропускания фильтром сигнала определенной частоты удобно пользоваться мощностными или энергетическими характеристиками.

Коэффициентом передачи мощности принято называть квадрат модуля частотной характеристики:

. (3)

В отличие от комплексной частотной характеристики функция вещественна, что гораздо удобнее для задания исходных данных при синтезе фильтра. Согласно формуле (3) коэффициент передачи мощности является четной функцией частоты.

Если в функции вместо переменной  подставить переменную p, то получают передаточную функцию мощности:

. (4)

Формула (4) устанавливает следующий факт: если точка является особой точкой (нулем или полюсом) функции G(p), то функция Kp(p) будет иметь такую же особую точку как при так и при

Иными словами, особые точки передаточной функции мощности имеют квадрантную симметрию, то есть располагаются на комп-лексной плоскости, имея центр симметрии в начале координат (рисунок 6). Это свойство дает возможность восстанавливать передаточную функцию G(p) по известной функции Kp(p).


Рисунок 6 – Полюсы, находящиеся в квадрантной симметрии

1.5 Этапы синтеза электрических фильтров



Синтез частотных фильтров обычно начинают с выбора некоторой идеализированной функции, которая описывает частотную зависимость коэффициента передачи мощности Kp().

Поскольку идеализированная частотная характеристика, как правило, физически нереализуема, то второй этап синтеза состоит в её аппроксимации такой функцией, которая может принадлежать физически реализуемой системе.

Далее по аппроксимированной передаточной функции мощности Kp(p) находят передаточную функцию фильтра G(p).

По виду передаточной функции проводят реализацию цепи, то есть получают принципиальную схему фильтра, включая номиналы входящих элементов.

1.6 Синтез непрерывных фильтров низких частот


Исторически реализация фильтров началась с непрерывных фильтров, для которых уже были созданы типовые устройства, составлены справочники и т.д. Непрерывные фильтры служат прототипами для дискретных фильтров.

Начнем с рассмотрения физически реализуемых характеристик фильтров низких частот, поскольку, используя ФНЧ, можно получить фильтры и других типов.

Для ФНЧ с частотой среза идеальная частотная зависимость коэффициента передачи мощности описывается формулой



(имеются в виду физические частоты >0) и представлена на рисунке 7.

Рисунок 7 – Коэффициент передачи мощности для ФНЧ
Такая характеристика нереализуема для физических систем, поскольку противоречит критерию Пэли–Винера (2).

Задача подбора допустимой аппроксимирующей функции неоднозначна. Аппроксимировать крутой срез можно многочисленными функциями, однако каждый раз придется сталкиваться с противоречиями: либо ослаблять сигнал в полосе пропускания , либо слабо подавлять его вне полосы пропускания , либо то и другое вместе.
1.6.1 Фильтры Баттерворта
Один из способов аппроксимации идеальной характеристики ФНЧ состоит в использовании коэффициента передачи мощности следующего вида:

, (5)

где – безразмерная нормированная частота;

n – целое число, называемое порядком фильтра.

В общем случае коэффициент передачи мощности (5) может содержать произвольный масштабный множитель.

Фильтр низких частот, имеющий такие частотные свойства, называют фильтром с максимально-плоской характеристикой или фильтром Баттерворта (по имени ученого, предложившего аппроксимирующую функцию (5)). При любом n такой тип фильтра реализуем.

В полосе пропускания фильтра Баттерворта, то есть при , коэффициент передачи мощности плавно уменьшается с ростом частоты. Особо следует отметить гладкость (отсутствие пульсаций) рассматриваемой функции.

На частоте среза, независимо от порядка системы, . Чем выше порядок n, тем точнее описывается идеальная низкочастотная характеристика (рисунок 8).

Порядок фильтра обычно подбирают, исходя из требований, предъявляемых к ослаблению сигналов с частотами . Для оценки степени ослабления сигнала используют величину

, (6)

выражаемую в децибелах.


Рисунок 8 – Коэффициент передач мощности фильтров Баттерворта при n=1 и n=5
При , т.е. на частоте входного сигнала, ослабление, вносимое фильтром, составляет .

Если частота сигнала значительно превышает частоту среза фильтра (), то из формулы (5) следует, что , а ослабление составляет
1.6.2 Передаточная функция фильтра Баттерворта
Для того чтобы в дальнейшем синтезировать структуру цепи, необходимо от коэффициента передачи мощности, выбранного в форме (5), перейти к передаточной функции G(p). Для этого введем нормированную комплексную частоту и запишем передаточную функцию мощности в виде:

, (7)

откуда ясно, что на плоскости функция не имеет нулей и имеет 2n полюсов, которые являются корнями уравнения

, (8)

откуда



Используя полярную форму записи, запишем корень в виде:



Все корни уравнения (8) лежат на окружности единичного радиуса с центром в начале координат, поэтому . Следовательно,

.

Окончательно получим

Рассмотрим отдельно четные и нечетные порядки фильтров.

1) n – четное число.

В этом случае

, (9)

откуда .

Например, для получим четыре корня, соответствующие углам:

.

Для получим восемь корней, соответствующих углам:

.

Расположение корней на комплексной плоскости для приведенных примеров показано на рисунке 9.

Рисунок 9 – Полюсы коэффициента передачи мощности

фильтра Баттерворта при n=2 и n=4
2) n – нечетное число.

В этом случае

, (10)

откуда.

Например, для получим два корня, соответствующие углам:

Для получим шесть корней, соответствующих углам:



Расположение корней для приведенных примеров показано на рисунке 10.


Рисунок 10 – Полюсы коэффициента передачи мощности

фильтра Баттерворта при n=1 и n=3
Общая закономерность при любом n такова: все полюсы расположены на одинаковом расстоянии друг от друга, равном . Для фильтров с нечетными номерами существуют два корня, расположенные на действительной оси; для фильтров с четными номерами действительные корни отсутствуют.

Чтобы перейти к передаточной функции фильтра Баттерворта, разложим знаменатель функции на сомножители:

.

Теперь воспользуемся тем, что полюсы передаточной функции мощности имеют квадрантную симметрию, то есть их число и конфигурация расположения в обеих полуплоскостях одинаковы. Это позволяет считать, что только полюсы, расположенные в левой полуплоскости, отвечают синтезируемому фильтру. Их «зеркальные копии» в правой полуплоскости относятся к функции и во внимание не принимаются. Таким образом, передаточная функция фильтра Баттерворта примет вид (нумерация корней в левой полуплоскости ведется с 1 до n):

.

Фильтр Баттерворта 1-го порядка.

Имеем: ;

Выбираем устойчивый корень: .

Передаточная функция запишется в виде:

.

Учитывая, что , окончательно получим:

. (11)

Таким образом, в процессе аппроксимации идеальной характеристики низкочастотного фильтра с заданной частотой среза с использованием аппроксимации Баттерворта 1-го порядка получен полюс .

Фильтр Баттерворта 2-го порядка.

Имеем: .

Согласно (9)

Выберем устойчивые корни и пронумеруем их:





Для звеньев 2-го порядка корни всегда будут комплексно-сопря-женными.

Передаточная функция звена примет вид:

.

Осуществим переход



(12)

Общее выражение для передаточной функции звеньев 2-го порядка имеет вид:

, (13)

где – собственная частота колебаний системы;

z – коэффициент затухания системы (при звено называют колебательным, при апериодическим).

Из сравнения функций (12) и (13) следует, что фильтр Баттерворта 2-го порядка представляет собой колебательное звено с коэффициентом затухания и собственной частотой колебаний, равной частоте среза фильтра .

Фильтр Баттерворта 3-го порядка.

Имеем: и



Выберем устойчивые корни и пронумеруем их.

Первый корень соответствует звену 1-го порядка с передаточной функцией .

Два оставшихся корня комплексно сопряжены и соответствуют звену 2-го порядка:

(14)
Передаточная функция звена 2-го порядка примет вид:



.

После перехода к переменной получим:

,

то есть коэффициент затухания равен .

Следует отметить, что коэффициент затухания звеньев 2-го порядка определяется как значение действительной части соответствующих комплексно-сопряженных полюсов, взятое с противоположным знаком:

. (15)

В итоге фильтр Баттерворта 3-го порядка представляет собой комбинацию звеньев 1-го и 1-го порядков:

.

Таким образом, фильтры Баттерворта нечетных порядков представляют собой последовательное соединение звена 1-го порядка и нескольких звеньев 2-го порядка с различными коэффициентами затухания. Фильтры четного порядка строятся путем последовательного соединения звеньев 2-го порядка с различными коэффициентами затухания.
1.7 Синтез фильтра верхних частот
Фильтр верхних частот предназначен для того, чтобы с малым ослаблением пропускать колебания, частоты которых превышают частоту среза . Если известна реализация ФНЧ, схема ФВЧ с такой же частотой среза может быть получена достаточно просто. Для этого используется прием, известный в теории цепей как преобразование частоты.

Перейдем от переменной р, использованной для описания ФНЧ, к новой частотной переменной , такой, что

. (16)

При этом:

1) точке будет соответствовать бесконечно удаленная точка ;

  1. точке будет соответствовать точка .

Поэтому можно ожидать, что коэффициент передачи мощности фильтра, синтезированного из ФНЧ путем преобразования (16), будет действительно соответствовать ФВЧ.
1.8 Синтез полосовых фильтров
Несколько сложнее замена переменных для полосовых фильтров, пропускающих колебания с частотами, близкими к точке . Если синтезирован ФНЧ с заданной частотой среза, то можно непосредственно перейти к схеме ПФ, выполнив замену:

. (17)

При этом точке будет отвечать точка , то есть максимум коэффициента передачи мощности , наблюдавшийся в ФНЧ на нулевой частоте, будет соответствовать в ПФ частоте . Точка , в которой коэффициент передачи мощности ФНЧ достигал минимума , отразится на плоскости в две точки – и , что соответствует характеристике ПФ.

2 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
2.1 Варианты задания
Вариант 1.

1. Осуществить синтез фильтра Баттерворта низких частот, который бы при частоте среза, равной Гц, на частоте, равной Гц, обеспечивал бы ослабление сигнала не хуже, чем дБ.

2. На основе п. 1 осуществить синтез полосового фильтра Баттерворта, центральная частота полосы пропускания которого в 2 раза выше частоты среза ФНЧ.
Вариант 2.

1. Осуществить синтез фильтра Баттерворта низких частот, который бы при частоте среза, равной Гц, на частоте, равной Гц, обеспечивал бы ослабление сигнала не хуже, чем дБ.

2. На основе п. 1 осуществить синтез фильтра Баттерворта верхних частот, частота среза которого равна частоте среза ФНЧ.
2.2 Цель и задачи лабораторной работы
Целью лабораторной работы является синтез фильтров Баттерворта различного типа (ФНЧ, ФВЧ, ПФ), обеспечивающих заданное ослабление сигнала.

Для достижения поставленной цели необходимо решение следующих задач:

  1. расчет по соотношениям (5), (6) наименьшего порядка фильтра Баттерворта низких частот, обеспечивающего заданное ослабление сигнала;

  2. определение по выражениям (9) или (10) углов, соответствующих полюсам передаточной функции мощности;

  3. формирование из устойчивых полюсов звеньев, образующих фильтр (определение их количества и порядка);

  4. вывод выражений для передаточных функций отдельных звеньев 1-го или 2-го порядков по аналогии с выражениями (11), (12); для звеньев 2-го порядка расчет коэффициентов затухания согласно выражению (15);

  5. расчет АЧХ отдельных звеньев и фильтра в целом, построение их графиков;

  6. расчет передаточной функции ФВЧ или ПФ с применением подстановки (16) или (17) в передаточной функции каждого из звеньев, образующих ФНЧ;

  7. расчет и построение графика АЧХ ФВЧ или ПФ, сравнение с аналогичной характеристикой ФНЧ.


2.3 Защита лабораторной работы
Защита лабораторной работы осуществляется в течение семестра согласно расписанию занятий. Она проводится в виде индивидуального собеседования при наличии у студента программной части, содержащей решение поставленной задачи, и отчета, который должен включать тему и цель лабораторной работы, теоретическую и практическую части, а также заключение или выводы.

ЛИТЕРАТУРА


  1. Садовский, Г.А. Теоретические основы информационно-измерительной техники / Г.А. Садовский. – М.: Высшая школа, 2008. – 480 с.

  2. Баскаков, С.И. Радиотехнические цепи и сигналы / С.И. Баскаков. – М.: Высшая школа, 2005. – 462 с.

  3. Сергиенко, А.Б. Цифровая обработка сигналов / А.Б. Сергиенко. – М: Питер, 2002. – 604 с.


Учебное издание

Гареева Рената Гегелевна


синтез линейных частотных фильтров

Методические рекомендации по выполнению лабораторных работ

по дисциплине «Преобразование измерительных сигналов»

Редактор Соловьева С.В.
Подписано в печать 15.02.2011. Формат 6084 1/16

Усл. п. л.  1,2. Уч.-изд. л.  1,3

Печать  ризография, множительно-копировальный
аппарат «RISO EZ300»
Тираж 65 экз. Заказ 201143

Издательство Алтайского государственного

технического университета

656038, г. Барнаул, пр-т Ленина, 46
Оригинал-макет подготовлен ИИО БТИ АлтГТУ

Отпечатано в ИИО БТИ АлтГТУ

6


59305, г. Бийск, ул. Трофимова, 27


Похожие:

Методические рекомендации по выполнению лабораторных работ по дисциплине «Преобразование измерительных сигналов» iconМетодические рекомендации к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Информационное обеспечение товароведения и экспертизы товаров» для студентов
Методические рекомендации к выполнению лабораторных работ по дисциплине Информационное обеспечение
Методические рекомендации по выполнению лабораторных работ по дисциплине «Преобразование измерительных сигналов» iconМетодические рекомендации по выполнению лабораторных работ и расчетного задания по курсу «Основы автоматического управления»
Идентификация динамических объектов: методические рекомендации по выполнению лабораторных работ и расчетного задания по курсу «Основы...
Методические рекомендации по выполнению лабораторных работ по дисциплине «Преобразование измерительных сигналов» iconМетодические указания и задания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Методы оптимизации» Хабаровск Издательство тогу 2010
Методы одномерной оптимизации : методические указания и задания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Методы оптимизации»/...
Методические рекомендации по выполнению лабораторных работ по дисциплине «Преобразование измерительных сигналов» iconМетодические указания по выполнению лабораторных работ работ по дисциплине
Для генерации схемы бд следует выбрать пункт меню Tools
Методические рекомендации по выполнению лабораторных работ по дисциплине «Преобразование измерительных сигналов» iconМетодические указания по выполнению лабораторных работ по дисциплине «Метеорология и климатология»

Методические рекомендации по выполнению лабораторных работ по дисциплине «Преобразование измерительных сигналов» iconМетодические указания к выполнению лабораторных и курсовых работ иркутск 2007
...
Методические рекомендации по выполнению лабораторных работ по дисциплине «Преобразование измерительных сигналов» iconМетодические указания к выполнению лабораторных работ санкт-Петербург 2012
Методические указания предназначены для проведения лабораторных работ со студентами дневного и вечернего обучения по специальности...
Методические рекомендации по выполнению лабораторных работ по дисциплине «Преобразование измерительных сигналов» iconКафедра прикладной информатики и информационных систем Нейронные сети Методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу «Интеллектуальные информационные системы»
Методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу «Интеллектуальные информационные системы» для студентов 4-го курса...
Методические рекомендации по выполнению лабораторных работ по дисциплине «Преобразование измерительных сигналов» iconМетодические рекомендации по выполнению курсового проекта по дисциплине
Методические рекомендации по выполнению курсового проекта по дисциплине "Принятие решений в бизнесе" / Сост. А. П. Романов, Г. Г....
Методические рекомендации по выполнению лабораторных работ по дисциплине «Преобразование измерительных сигналов» iconТехнические измерения
Методические рекомендации к выполнению лабораторных работ по курсу «Технологические процессы в машиностроении» для студентов специальности...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org