Курс лекций по теоретической механике учебное пособие



страница7/13
Дата27.12.2012
Размер0.73 Mb.
ТипКурс лекций
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   13

Полное ускорение точки


 (2.38)
 (2.39)
где  - угол между нормалью  к кривой и вектором  полного ускорения точки (рис. 2.10, б).

Ускорение  совпадает с направлением скорости при ускоренном движении (рис. 2.10, а) и противоположно направлению  при замедленном движении (рис. 2.10, б).

Таким образом, если движение точки задано естественным способом (известна траектория движения) то, зная закон движения , можно определить модуль вектора  и его направление в пространстве в любой момент времени.


2.3.9. Некоторые частные случаи движения точки


Прямолинейное неравномерное движение. В этом случае радиус кривизны траектории точки равен бесконечности , а нормальное и тангенциальное ускорения равны соответственно:

 
Из этого имеем  После двукратного интегрирования этого уравнения получим закон прямолинейного движения точки  Таким образом, тангенциальное (касательное) ускорение точки характеризует изменение численной величины ее скорости.
Равномерное прямолинейное движение точки
Нетрудно видеть, что в этом случае:  и


Из этого имеем:

gif" name="graphics267" align=bottom width=173 height=21 border=0>
Это - единственный вид движения, в котором полное ускорение точки равно нулю.
Равномерное криволинейное движение точки. При равномерном криволинейном движении  Следовательно, нормальное ускорение точки характеризует изменение вектора скорости  по направлению.

Равнопеременное криволинейное движение точки. При этом виде движения точки имеем:

 
Если при   и  или  то


Далее

.

Если при: то

Окончательно


2.3.10. Сложное движение точки
Во многих задачах механики целесообразно, а иногда и необходимо рассматривать движение точки сразу относительно двух систем отсчета, одна из которых неподвижна, а вторая  движется относительно первой определенным образом (рис. 2.11).



Рис. 2.11. К описанию сложного движения точки 

при поступательном переносном движении подвижной системы отсчета
Движение точки  по отношению к подвижным осям координат  называется относительным, траектория этого движения - относительной траекторией, скорость - относительной скоростью, и ускорение - относительным ускорением.

Движение, совершаемое подвижной системой отсчета  и неизменно связанной с ней точкой  по отношению к неподвижной системе  является для точки  переносным движением.

Скорость точки , неизменно связанной с подвижными осями , называется переносной скоростью , а ускорение - переносным ускорением .

Движение, совершаемое точкой  по отношению к неподвижной системе отсчета, называется абсолютным движением, скорость - абсолютной скоростью , а ускорение - абсолютным ускорением .

Рассмотрим вначале самый простой случай, когда подвижная система отсчета  движется поступательно (рис. 2.11). Движение подвижной системы отсчета считается переносным движением.
Теорема сложения скоростей при поступательном

переносном движении подвижной системы отсчета
Теорема: При поступательном переносном движении абсолютная скорость  точки  равна геометрической сумме переносной  и относительной  скоростей.
 (2.40)
Из векторного треугольника  на рис. 2.11 для радиуса – вектора точки относительно неподвижной системы отсчёта имеем
. (2.41)
Разложим вектор  на составляющие по осям
 (2.42)
Так как оси  параллельны осям  то, дифференцируя составляющие этого уравнения, характеризующие поступательное движение, по времени, имеем

 (2.43)

В этой формуле:

 ; ;


Подставляя результаты в уравнение (2.43), получим . Теорема доказана.

Теорема сложения ускорений при поступательном переносном движении подвижной системы отсчета
Теорема: При поступательном переносном движении подвижной системы отсчета абсолютное ускорение  точки  равно геометрической сумме переносного  и относительного  ускорений.

.
Дифференцируя уравнение (2.43) второй раз, имеем
 (2.44)

В этой формуле:

 ; ;



Подставляя результаты дифференцирования в исходное уравнение (2.43), имеем . Теорема доказана.
Теорема сложения скоростей при непоступательном переносном движении подвижной сиситемы отсчета
Теорема: при непоступательном переносном движении абсолютная скорость  точки  равна геометрической сумме переносной  и относительной  скоростей .

Из векторного треугольника (рис. 2.12) имеем
. (2.45)
Так как переносное движение непоступательное, то единичные векторы  также переменные величины.

 (2.46)


Рис. 2.12. К описанию сложного движения точки  при непоступательном переносном движении подвижной системы отсчета
Обратим внимание на уравнение (2.46). Оно представляет собой сложную функцию с независимыми переменными  которые являются функциями времени . Поэтому при дифференцировании уравнения (2.46) необходимо определять частные производные. Однако, чтобы упростить процедуру дифференцирования, будем считать функцию суммой переменных, зависимых от  и определять не частные, а обычные производные.

После дифференцирования уравнения (2.46) с учетом того факта, что в этом случае  - величины также переменные, имеем
 (2.47)

В этой формуле

. (2.48)
Переносную скорость  движения подвижной системы отсчета определят: производная, фиксирующая движение начала О подвижной системы отсчета, и производные от орт  , фиксирующие вращение этой системы в пространстве
 (2.49)
Производные по времени от координат  подвижной системы отсчета дают относительную скорость .

 (2.50)
После подстановки полученных данных в исходное уравнение (2.47), имеем  теорема доказана.

Теорема сложения ускорений при непоступательном переносном движении

подвижной системы отсчета
Теорема: При непоступательном переносном движении подвижной системы отсчета абсолютное ускорение  точки  равно геометрической сумме переносного , относительного  и кориолисова  ускорений
. (2.51)
Учитывая, что  и  - величины в этом случае переменные, и дифференцируя уравнение (2.47) по времени второй раз последовательно: вначале переменные , которые характеризуют переносное движение в каждом слагаемом, а затем - переменные , которые характеризуют относительное движение, имеем
 (2.52)
В этой формуле:

 ; (2.53)
 (2.54)
 (2.55)
. (2.56)
Подставляя результаты дифференцирования в исходное уравнение (2.52), окончательно получим

 (2.51)

.

Здесь:  - ускорение, установленное французким профессором механиком Кориолисом и названное в его честь кориолисовым ускорением.

Придерживаясь принципа последовательности, видим, что в выражении
 (2.57)
для наблюдателя, находящегося в неподвижной системе отсчета , важны в первую очередь те составляющие, которые характеризуют переносную часть движения. Это составляющие:

 (2.58)
В них заложен механический смысл, соответствующий вращению подвижной системы отсчета  в пространстве. Следовательно, эти составляющие мы можем заменить вектором угловой переносной скорости , с которой вращается подвижная система отсчета. Составляющие же

 , (2.59)
соответствуют вектору относительной скорости  точки . Учитывая это и опуская преобразования в скобке выражения (2.57), можем записать его так
 (2.60)
Это и есть кориолисово ускорение. Оно характеризует одновременное изменение направления вектора переносной угловой скорости  (ввиду того, что орты , входящие в выражение (2.57), переменны по направлению), а также изменение модуля и направления вектора относительной скорости  точки .
2.3.11. Определение модуля и направления кориолисова ускорения
 (2.61)
Известно, что модуль векторного произведения двух векторов равен
 (2.62)

Если  то

 (2.63)
Для определения направления вектора кориолисова ускорения  надо спроектировать вектор  относительной скорости точки  на плоскость, перпендикулярную вектору  (оси переносного вращения), и полученную проекцию повернуть в сторону этого вращения на . Полученное таким образом направление совпадает с направлением вектора  (рис. 2.12, 2.13, 2.14).


Рис. 2.13. К определению направления вектора

кориолисова ускорения при движении точки в пространстве
Если точка  движется в плоскости, перпендикулярной оси переносного вращения (вектору , то  и формула (2.63) становится такой
 (2.64)
Кориолисово ускорение обращается в нуль, если:

1.  - переносное движение поступательно или когда в данный момент 

2.  - относительная скорость в данный момент равна нулю.

3. Когда  или , то есть когда вектор  параллелен вектору .


Рис. 2.14. Примеры определения направления вектора  для точки 
2.4. Кинематика твердого тела
В кинематике рассматриваются следующие виды движения твердого тела:

- поступательное движение;

- вращательное движение;

- плоское или плоскопараллельное движение;

-движение твердого тела относительно неподвижной точки;

- движение свободного твердого тела;
Основные задачи кинематики твердого тела
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   13

Похожие:

Курс лекций по теоретической механике учебное пособие iconТеоретическая механика
Данный курс написан на основе лекций по теоретической механике читаемых на кафедре опнн салаватского филиала угнту. Этот курс может...
Курс лекций по теоретической механике учебное пособие iconКурс лекций по психологии и педагогике Часть I учебное пособие
Московская государственная академия тонкой химической технологии им. М. В. Ломоносова 1
Курс лекций по теоретической механике учебное пособие iconУчебное пособие по патрологии в основу учебного пособия положен принцип изучения церковной письменности в соответствии
Данное учебное пособие написано на основе курса лекций, читаемых автором на протяжении
Курс лекций по теоретической механике учебное пособие iconКурс лекций по психологии и педагогике Часть III учебное пособие
Лекция 12. Основные вопросы управления образованием и организации учебного процесса 72
Курс лекций по теоретической механике учебное пособие iconУчебное пособие для студентов вузов. 2-е изд., перераб и доп.» (2001), «Русские земли глазами современников и потомков (XII-XIV вв.): Курс лекций»

Курс лекций по теоретической механике учебное пособие iconКурс лекций по основам программирования Учебно-методическое пособие
Малыженков В. И. Информатика и вычислительная техника. Курс лекций по основам программирования: Учебно-методическое пособие – Нижний...
Курс лекций по теоретической механике учебное пособие iconПротокол №2 от 26. 09. 2005 г. Донецк 2007 Белокобыльский А. В. Введение в метафизику (курс лекций). Учебное пособие
Охватывают все аспекты деятельности примитивного общества – субъекта данной мифологии
Курс лекций по теоретической механике учебное пособие iconЛитература последней трети XIX в. (курс лекций) Учебное пособие
Допущено умо по классическому университетскому образованию для студентов высших учебных заведений в качестве учебного
Курс лекций по теоретической механике учебное пособие iconГ. Е. Хурсевич Элементы теории функций действительной переменной. Мера и интеграл Лебега. Предисловие. Настоящее учебное пособие
Настоящее учебное пособие представляет собой курс лекций по важному разделу теории функций действительной переменной "Мера и интеграл...
Курс лекций по теоретической механике учебное пособие iconКурс лекций по психологии и педагогике Часть II учебное пособие
Познавательные процессы и их место в субъективной картине мира. Ощущения психическая сущность и биологическая основа. Восприятие...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org