Курс лекций по теоретической механике учебное пособие



страница9/13
Дата27.12.2012
Размер0.73 Mb.
ТипКурс лекций
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   13

Поскольку:


 ; ,

то  следовательно, скорости любых точек тела при поступательном движении одинаковы в каждый данный момент времени.

Учитывая, что вектор  постоянен, и дифференцируя ис­ходные уравнения (2.67) второй раз, имеем:



Можем обозначить:




 
или

.
Следовательно, ускорения точек  и  поступательно движущегося тела также одинаковы. Так как точки  и  были выбраны произвольно, то и другие точки имеют такие же скорости и ускорения.

Следствия теоремы
1. Поступательное движение твердого тела вполне определяется движением какой-нибудь одной его точки. Следовательно, изучение поступательного движения тела сводится к задаче кинематики точки.

2. Векторы  и  можно изображать приложенными в любой точке тела при его поступательном движении.

3. Понятия скорость и ускорение всего тела имеют смысл только при поступательном движении.

4. Во всех остальных видах движения абсолютно твердого тела (кроме поступательного) его точки движутся с разными скоростями и ускорениями и термины: скорость тела и ускорение тела для всех других видов движения тела теряют смысл, так как разные точки тела имеют в этих случаях разные скорости и ускорения.
2.4.2.
Вращательное движение твердого тела


Вращательным называется такое движение твердого тела, при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу, все время остаются неподвижными. Прямая, проходящая через эти неподвижные точки тела, называется осью вращения.

При вращении тела вокруг оси  угол  поворота тела является функцией времени (рис. 2.18), то есть



Рис. 2.18. Схема вращения тела: HП—неподвижная плоскость; ПП—подвижная плоскость.
. (2.68)
Это уравнение—закон вращательного движения твердого тела. Кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются:

- угол поворота;

 - угловая скорость;

 - угловое ускоpение.

Если функция  известна, то легко находятся и другие характеристики вращения, а если нет, то её надо найти.

Так как положение твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, определяется одним параметром - углом  то говорят, что такое тело имеет одну степень свободы.

Угловая скорость вращения тела характеризует изменение угла его поворота в единицу времени. Пусть за время  угол поворота изменится на величину , тогда средняя угловая скорость тела . При  угловая скорость  тела в данный момент времени

 (2.69)
Угловое ускорение вращения тела характеризует изменение его угловой скорости в единицу времени. Если за время  угловая скорость тела изменится на величину , то среднее угловое ускорение будет равно

 (2.70)
Переходя к пределу при , получим угловое ускорение  в данный момент времени 

 (2.71)
Размерность углового ускорения рад/.
Векторы угловой скорости и углового ускорения
Угловую скорость  и угловое ускорение  тела можно представить в виде вектoров  и , направленных вдоль оси вращения. Векторы  и , можно изображать в любых точках оси вращения. Они являются скользящими векторами (рис. 2.19). Вектор  направлен в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки.



Рис. 2.19. Направление векторов  и :

а) при ускоренном вращении тела; б) при замедленном вращении тела.
Вектор  направлен в сторону вектора , если вращение тела ускоренное. Если векторы  и  направлены в разные стороны, то тело вращается замедленно.
Равномерное вращение твердого тела
Если , то  и вращение тела называется равномерным. Большинство деталей тракторов и сельскохозяйственных машин вращается равномерно при отсутствии нагрузки и неравномерно при наличии нагрузки.

Найдем закон равномерного вращения ().

Учитывая, что  или , и интегрируя последнее выражение, запишем

 (2.72)
Это - закон вращения тела. Как видно, угол поворота равномерно вращающегося тела равен произведению угловой скорости  на время .

В инженерных расчетах скорость вращения тела определяется числом оборотов в минуту. Обозначая число оборотов в минуту через  об/мин., найдем зависимость между  и  За один оборот  рад., а за  оборотов рад. Следовательно, за 1 минуту (60 сек)  Отсюда имеем
 (2.73)
Равнопеременное вращение твердого тела
Если угловое ускорение тела все время остается постоянным (), то вращение называется равнопеременным. Для нахождения закона равнопеременного вращения необходимо знать начальную угловую скорость. . Пусть в момент времени ,  и , тогда

 (2.74)

Далее

 (2.75)
После интегрирования последнего уравнения получим
 (2.76)
Это математическое выражение закона равнопеременного вращения. Если при этом  и  имеют одинаковые знаки, то движение равноускоренное, а если разные - равнозамедленное.

2.4.3. Скорость и ускорение точек вращающегося тела
При вращении тела точка  будет описывать окружность радиуса , плоскость которой перпендикулярна оси вращения, а центр  лежит на самой оси (рис 2.20).

Если за время  тело повернется на угол , то точка  опишет элемент дуги , причем  тогда

. (2.77)
В отличие от угловой скорости  скорость  называется линейной или окружной скоростью. Окружная скорость точки  равна произведению угловой скорости  на расстояние  от этой точки до оси вращения. . Направлена эта скорость по касательной к окружности в сторону вращения.



Рис. 2.20. К определению скорости точки  вращающегося тела
Так как значение  для всех точек тела в данный момент времени одно и то же, то линейные скорости точек вращающегося тела пропорциональны расстояниям  от оси вращения (рис. 2.20).

Для определения ускорений точек вращающегося тела воспользуемся известными формулами (2.34), (2.38):

 (2.78)
 (2.79)

Полное ускорение точки 
 (2.80)
Отклонение вектора  от радиуса окружности, описываемой точкой , определяется углом  (рис. 2.21).

Так как в данный момент  и  для всех точек тела имеют одно и то же значение, то полное ускорение  всех точек вращающегося тела пропорционально их расстояниям от оси вращения и образует в данный момент один и тот же угол  с радиусами  описываемых ими окружностей (рис. 2.21)



Рис. 2.21. Схема к определению направления вектора 
 . (2.81)
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   13

Похожие:

Курс лекций по теоретической механике учебное пособие iconТеоретическая механика
Данный курс написан на основе лекций по теоретической механике читаемых на кафедре опнн салаватского филиала угнту. Этот курс может...
Курс лекций по теоретической механике учебное пособие iconКурс лекций по психологии и педагогике Часть I учебное пособие
Московская государственная академия тонкой химической технологии им. М. В. Ломоносова 1
Курс лекций по теоретической механике учебное пособие iconУчебное пособие по патрологии в основу учебного пособия положен принцип изучения церковной письменности в соответствии
Данное учебное пособие написано на основе курса лекций, читаемых автором на протяжении
Курс лекций по теоретической механике учебное пособие iconКурс лекций по психологии и педагогике Часть III учебное пособие
Лекция 12. Основные вопросы управления образованием и организации учебного процесса 72
Курс лекций по теоретической механике учебное пособие iconУчебное пособие для студентов вузов. 2-е изд., перераб и доп.» (2001), «Русские земли глазами современников и потомков (XII-XIV вв.): Курс лекций»

Курс лекций по теоретической механике учебное пособие iconКурс лекций по основам программирования Учебно-методическое пособие
Малыженков В. И. Информатика и вычислительная техника. Курс лекций по основам программирования: Учебно-методическое пособие – Нижний...
Курс лекций по теоретической механике учебное пособие iconПротокол №2 от 26. 09. 2005 г. Донецк 2007 Белокобыльский А. В. Введение в метафизику (курс лекций). Учебное пособие
Охватывают все аспекты деятельности примитивного общества – субъекта данной мифологии
Курс лекций по теоретической механике учебное пособие iconЛитература последней трети XIX в. (курс лекций) Учебное пособие
Допущено умо по классическому университетскому образованию для студентов высших учебных заведений в качестве учебного
Курс лекций по теоретической механике учебное пособие iconГ. Е. Хурсевич Элементы теории функций действительной переменной. Мера и интеграл Лебега. Предисловие. Настоящее учебное пособие
Настоящее учебное пособие представляет собой курс лекций по важному разделу теории функций действительной переменной "Мера и интеграл...
Курс лекций по теоретической механике учебное пособие iconКурс лекций по психологии и педагогике Часть II учебное пособие
Познавательные процессы и их место в субъективной картине мира. Ощущения психическая сущность и биологическая основа. Восприятие...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org