Решение слу 4) может быть записано в виде: (Формула Крамера). Выражение вида называется определителем второго порядка



Скачать 140.19 Kb.
страница1/3
Дата31.12.2012
Размер140.19 Kb.
ТипРешение
  1   2   3
Определители второго и третьего порядков. Правило Крамера для СЛУ 2 – го и 3 – го порядков.

Рассмотрим квадратную СЛУ с n = 2.



Считаем, что выражение , тогда

Чтобы выразить рассмотрим уравнение вида:



, тогда

Вывод: Если , то СЛУ (1.4) – определённая.

Введём обозначения:



Произведение элементов по главной диагонали с «+», по побочной с «-».

Тогда

Решение СЛУ (1.4) может быть записано в виде: . (Формула Крамера).

Выражение вида называется определителем второго порядка.

Крамер для СЛУ 2 – го порядка.

Решим квадратную СЛУ с n = 3.



Задача: Исключить из 2 – го и 3 – го уравнений и решить СЛУ 2 – го порядка относительно и , используя предыдущий результат, найти , исключив, например .

После выражения, получим: .

Множитель перед - определитель 3 – го порядка (состоит из 6 – и слагаемых) и обозначается:

Правило треугольников и правило дополнения.


Перестановки и подстановки. Их чётность.

Пусть - множество из n – элементов (занумерованных).

Определение: Перестановкой степени n назовём любой упорядоченный набор элементов из .

Лемма: Количество переменных множества равно

Док-во: На первое место можно поставить любой из n элементов , т.е. на первом шаге n способов выбора.

На второе место можно поставить (n - 1) оставшихся элементов из , т.е. на втором шаге (n - 1) способов.

На третьем шаге (n - 2) способа. На n – ном шаге – 1 способ.

По правилу произведения, общее число способов составить перестановку: n*(n - 1)*(n - 2)*…*1 = n! ЧТД.

Определение: Пусть . Говорят, что в перестановке есть инверсия, если больший элемент идёт раньше меньшего элемента .

Пусть - перестановка, тогда - количество инверсий в .

Если в перестановке чётное (нечётное) число инверсий, то перестановка называется чётной (нечётной).

Определение: Подстановка – взаимнооднозначное соответствие элементов множества элементам этого же множества.

Взаимнооднозначное соответствие (биекция) – это отображения , такое, что , если , т.е. образы, при отображении различных элементов, различны.

Любую подстановку можно задать таблицей. 1 – я строка – аргументы, 2 – я строка – образы.

Запись . Читается: «один переходит в альфа один» и т. д.

Замечание: Строка аргументов может быть записана в любом порядке. Одна и та же подстановка может иметь несколько различных записей. Главное – сохранность столбца.

Подстановка называется чётной, если сумма инверсий в первой строке её записи – чётное число и наоборот.

Изменение чётности при транспозиции.

Определение: Если в некоторой перестановке два элемента поменять местами, а остальные не трогать, то говорят, что новая инверсия, получена из исходной транспозицией.

Лемма: Транспозиция меняет чётность перестановки.

Док-во:

1 – ый шаг: Считаем, что переставляемые элементы и стоят рядом друг с другом. для определения.



Считаем число инверсий в и . Для всех элементов, отличных от и , число инверсий будет одно и то же, как в, так и в .

Число инверсий, даваемое числом пусть в , тогда в , так как перед стоит ещё и элемент .

в и в равны, так как, когда считаем число инверсий для , элемент уже зачёркнут, и его место неважно.



То есть чётности чисел и различны, и различны по чётности.

2 – ой шаг: Пусть теперь . Транспозиция: Эту транспозицию можно заменить последовательным выполнением транспозиции, рассматриваемой на 1 – ом шаге:

I. (перегонка )

и т. д.

Чётность сменилась (s + 1).

II. (перегонка )

, и т. д.

На II – ом этапе s – изменила чётность суммарно. . Это нч число, чётность изменилась.

То есть чётности и разные. ЧТД.
Возникает вопрос о корректности определения, зависит ли чётность суммарного числа инверсий от выбора записи подстановки.

Любую перестановку можно получить из другой перестановки за конечное число транспозиций (продумать алгоритм).

Этот переход осуществляется за k транспозиций, значит и во второй строке записи осуществляется k транспозиций.

В верхней строке чётность изменится k раз. Аналогично и в нижней строке записи k раз, т.е. суммарная чётность не изменится, т.к. чётности строк либо одновременно меняются, либо нет. Определение чётности подстановки корректно.

Обозначение: - подстановка, - чётность. Тогда можно определить знак подстановки:

Операции с подстановками: произведение подстановок, обратная подстановка. Чётность произведения подстановок.

Пусть ;

- произведение двух подстановок, т.е. подстановка из , рассматриваемая как сложная функция: внутренняя - , внешняя - , т.е. .

Тождественная подстановка: Свойства: .

Обратная подстановка: Пусть , тогда - такая подстановка степени n, что . В любой подстановке меняем местами первую и вторую строки и получаем обратную подстановку. Знак её не меняется.

Лемма:

Это равносильно правилу умножения:

0

Ч

Нч

Ч

Ч

Нч

нч

нч

Ч










Док-во:

Выберем записи для следующим образом:



Чётность подстановки совпадает с чётностью перестановки , т.к. в первой строке записи инверсий нет.

Если известны чётность подстановки и чётность первой строки её записи, то однозначно вычисляется чётность второй строки её записи . И чётность этой перестановки совпадает с чётностью произведения . Приходим к таблице вариантов:



Замечание: Для подстановок степени , произведение, вообще говоря, не является коммутативным, т.е. .

Определение детерминанта 1 – го порядка.

Будем говорить, что матрица A имеет размеры
  1   2   3

Похожие:

Решение слу 4) может быть записано в виде: (Формула Крамера). Выражение вида называется определителем второго порядка iconРешение слу метод Гаусса (общее, частное) Решение слу методом Крамера Решение ослу: нахождение фср обратная матрица
Построение многочлена по значениям при помощи метода неопределенных коэф-фициентов
Решение слу 4) может быть записано в виде: (Формула Крамера). Выражение вида называется определителем второго порядка icon«определители и их свойства»
Определителем или детерминантом второго порядка называется число, обозначаемое символом
Решение слу 4) может быть записано в виде: (Формула Крамера). Выражение вида называется определителем второго порядка icon1. определители пусть дана матрица
Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом
Решение слу 4) может быть записано в виде: (Формула Крамера). Выражение вида называется определителем второго порядка iconКривые второго порядка. Канонические уравнения кривых второго порядка Определение
Определение Кривой второго порядка называется множество точек на плоскости Оху, координаты которых удовлетворяют следующему общему...
Решение слу 4) может быть записано в виде: (Формула Крамера). Выражение вида называется определителем второго порядка iconКривые второго порядка Кривая второго порядка
Кривая второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида
Решение слу 4) может быть записано в виде: (Формула Крамера). Выражение вида называется определителем второго порядка iconПоверхности второго порядка
...
Решение слу 4) может быть записано в виде: (Формула Крамера). Выражение вида называется определителем второго порядка iconИспользование линейных операторов для приведения кривой второго порядка к каноническому виду
Вопрос о кривых второго порядка встаёт, когда мы на плоскости рассматриваем некоторое геометрическое место точек, задаваемое уравнением...
Решение слу 4) может быть записано в виде: (Формула Крамера). Выражение вида называется определителем второго порядка icon4. uzdevums. Daļskaitļu saskaitīšana
Известно, что любое рациональное число может быть записано в виде конечной или периодической десятичной дроби
Решение слу 4) может быть записано в виде: (Формула Крамера). Выражение вида называется определителем второго порядка iconРешение однородного уравнения y''-4y'+5y=0 можно искать в виде у=ехр(2х)
Решим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка: y''-4y'+5y=x+2
Решение слу 4) может быть записано в виде: (Формула Крамера). Выражение вида называется определителем второго порядка icon«кривые второго порядка»
Уравнения второго порядка от двух переменных Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + f = 0 описывают конические сечения или кривые второго...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org