Нечёткие предикаты и кванторы в матричном представлении нечёткой логики



Скачать 85.97 Kb.
Дата02.01.2013
Размер85.97 Kb.
ТипДокументы

Нечёткие предикаты и кванторы в матричном представлении нечёткой логики

К.В.Богданов (студент), М.А.Марценюк (профессор)

физический факультет

Пермского государственного университета mrcn@psu.ru



Логика нечётких предикатов развита в векторно-матричном представлении. Предикат мыслится как векторное поле нечётких переменных над заданным множеством термов. Вводятся операции над предикатами, предлагается вариант построения нечёткого вывода на основе правил, сформулированных в виде отношений между предикатами. Дано определение и указан метод вычисления нечетких кванторов и . Приводится пример нечёткого вывода на основе введенного аппарата.

1. Введение


В работах одного из авторов [1, 2] было развито матричное представление нечёткой логики, естественным образом обобщающее аппарат обычной «чёткой» логики. Отправной точкой было выбрано тензорное представление логики, предложенное в работах E.Mizraji [3, 4]. Логические переменные представлены 2D векторами , компоненты которых удовлетворяют условиям: . Отрицание вектора эквивалентно перестановке его компонент: . Пространство нечётких векторов обозначаем символом . Мерой нечёткости логического вектора служит энтропия

. (1)

Каждой логической операции между векторными переменными сопоставляется тензор 3-ранга , реализующий отображение (или ). При этом тензоры сохраняют тот вид, который они имели в векторном представлении «чёткой» логики.
Это позволяет однозначно интерпретировать операции над нечёткими логическими переменными. Кроме того, между операциями сохраняются те же связи, которые имели место в «чёткой» логике, например, правила де Моргана. Однако алгебраические свойства некоторых операций над «существенно нечёткими» переменными, такие как идемпотентность, дистрибутивность, закон исключения третьего и закон противоречия, в нечёткой логике не выполняются. При этом они остаются справедливыми для случая, когда логические переменные принимают чёткие значения, совпадающие с векторами «базиса» или , имеющими смысл «ложь» и «истина» соответственно.

Большое удобство векторного представления состоит в том, что операции над логическими переменными могут быть представлены в матричном виде. Например, сопоставляя вектору конъюнктивную и дизъюнктивную матрицы:

, (2)

мы можем представить нечёткие конъюнкцию, дизъюнкцию и импликацию в виде

. (3)

Это позволяет выразить результат операций через компоненты исходных векторов («сомножителей»), а также использовать при решении логических задач матричную алгебру.

Отметим также, что любая формула, связывающая нечёткие переменные имеет реализацию в виде разветвленной электрической схемы, содержащей определенное число делителей тока (см. подробнее [2]), что естественным образом обобщает схемы с дискретными переключателями в реализациях «чёткой» логики.

Основное достоинство матричного представления нечёткой логики состоит в возможности сведения задач получения логических выводов к решению линейных алгебраических уравнений. В [2] это продемонстрировано на примерах нечёткого правила «модус поненс» и «метода резолюций».

Цель настоящей работы состоит в построении матричной модели нечётких предикатов. Как известно [5, 6], язык предикатов значительно расширяет возможности решения задач по сравнению с логикой высказываний, которая рассматривалась в [2]. Во втором разделе работы дается определение нечётких предикатов, основных операции над ними, предлагается вариант построения нечёткого вывода на основе правил, сформулированных в виде отношений между предикатами. В третьем разделе вводится понятие о нечётких кванторах и , даются формулы для их вычисления. В четвертом разделе рассматривается конкретный пример нечёткого вывода в логике предикатов. В заключении делаются некоторые общие выводы.

2. Нечёткие предикаты


«Чёткие» предикаты определяются как функции на множестве «термов» , принимающие значения в булевом пространстве . Так, если , то примером одноместного предиката , где , может служить функция

. (4)

Аналогично определяются двухместные, трехместные и т.п. предикаты. Например, двухместный предикат определен на множестве .

Нечёткий предикат мы определяем как функцию, заданную на множестве и принимающую значения в пространстве векторных нечетких переменных , которое было определено выше. Используя полужирный шрифт в обозначении предиката , мы подчеркиваем тот факт, что областью значений предиката являются нечеткие логические векторы, или , причем для всех

(5)

Таким образом, нечёткий предикат задает на некоторое векторное поле, как это показано на рис. 1.





Рис. 1. Пример нечёткого предиката как векторного поля нечётких переменных, заданного на

множестве


Так как предикаты являются логическими переменными, то к ним могут быть применены все нечёткие логические операции, введенные в [2] и кратко рассмотренные выше. Это позволяет из некоторых заданных на предикатов строить новые, более сложные, предикаты, дает возможность расширить на область предикатов правила логического вывода.

Правило «модус поненс» можно проиллюстрировать следующим простым примером. Пусть между предикатами , заданными на , существует связь (в приложениях связи такого рода называют «правилами»)

. (7)

Здесь предикат можно интерпретировать как степень истинности того, что «из следует ». Перепишем (7) в матричном виде

или . (8)

Это соотношение можно использовать двумя способами. 1) Пусть нам известны предикаты , и пусть определитель матрицы не равен нулю, то есть . В этом случае решение уравнения (8) позволяет найти предикат в виде . 2) Будем считать, что нечёткие предикаты и , заданны на множествах и соответственно () и что вместо (8) имеет место более общее правило

. (9)

Как и в первом случае, мы должны вычислить из равенства (9) , однако предикат задан не напрямую, а заданы некоторые дополнительные правила вида

, (10)

справедливые для множества вариантов, нумеруемых индексом , и для каждого из вариантов известны предикаты и .

При решении конкретных задач предсказать значения предикатов и бывает легче, чем прогнозировать общий результат импликации (9) . По формуле (10) мы можем найти частные результаты, имеющие место при выполнении отдельных вариантов . Предполагая, далее, что в общем результате присутствуют все варианты, для вычисления и используем формулы

(11)

Поскольку в нечёткой логике законы дистрибутивности не выполняются, мы не можем получить из соотношений (10) и (11) связь между предикатами . Поэтому используем выражение (9), которое служит дополнительным правилом вывода. Обращая формулу (9), получаем

. (12)

Метод резолюций для логики нечетких предикатов также может быть расширен по сравнению с тем, как это сделано для логики нечётких высказываний в [2]. Из-за недостатка места мы опустим здесь изложение этого метода.

3. Нечеткие кванторы


Как известно, логика предикатов отличается от логики высказываний тем, что в первой имеются операции (кванторы), относящиеся к предикату как к целому. Так, квантор эквивалентен высказыванию: «все обладают свойством ». В «чёткой» логике это высказывание может быть только истинным или только ложным. В нечёткой логике допускаются и промежуточные значения истинности.

Воспользуемся известным определением квантора в виде конъюнкции всех , когда пробегает всё множество :

.

При переходе к векторному представлению используем конъюнктивную матрицу (2)

.

Легко убедиться, что 1-компонента (истинностная компонента) высказывания равна произведению

.

Получившееся выражение обобщает соответствующую формулу «чёткой» логики и сводит её к простому (нелогическому) алгебраическому выражению.

Аналогичным образом вычисляем 1-компоненту высказывания , включающего нечёткий квантор существования

.

В предельном случае чёткой логики это выражение обращается в единицу, если хотя бы одна из компонент обращается в нуль. В нечёткой логике величина может иметь значения меньшие единицы.

Кроме кванторов в нечеткой логике важную роль играет операция устранения нечеткости – «дефазификация». Эта операция применяется в тех случаях, когда множество , на котором задан предикат, является числовым. Наиболее употребительны следующие формулы:

. (13)

4. Пример нечёткого вывода


Нечёткая логика находит многочисленные приложения для описания поведения интеллектуальных систем. Мы рассмотрим иллюстративный пример нечёткого вывода в задаче о назначения оплаты за качество работы. Будем считать, что качество работы оценивается в баллах по десятибалльной шкале и описывается нечётким предикатом , . Уровень оплаты задается нечётким предикатом . в процентах от максимальной ставки. Правило назначения оплаты описывается предикатом , который определяет сложную связь между качеством работы и уровнем оплаты в соответствии с логической формулой (9).



Рис. 2. Входные значения истинностных компонент предикатов , где


Введем перекрывающиеся эмпирически заданные нечёткие предикаты качества работы («плохо», «хорошо», «отлично») и соответствующие предикаты уровня оплаты , представленные на рис. 2. Предполагая, что в каждом случае справедливы соотношения (10), находим «частные» правила ,, откуда по формулам (11) выводим общее правило, задаваемое предикатом , и посылку . Теперь по правилу (9) выводим уровень оплаты в зависимости от качества работы, используя описанный выше метод устранения нечеткости. Результат представлен на графике рис. 3.


Рис. 3. Результат расчета оплаты (в процентах от максимального значения) в зависимости от качества труда . Расчет проведен на основании входных данных, показанных на рис. 2. Величина найдена дефазификацией по формуле (13)

5. Заключение


В стандартном изложении нечёткой логики используется понятие лингвистической переменной (ЛП) (см., например, [7, 8]). Как и предикат ЛП определяется на некотором множестве , но имеет областью значений «степень принадлежности» точек множества данной ЛП. В зависимости от контекста степень принадлежности трактуется либо как истинностное значение нечёткой логической переменной, либо как нечёткие значения характеристической функции. Нечёткие логические переменные трактуются как «одномерные», логические правила и вводятся как некоторые эмпирические законы. Таким же образом вводятся и операции над нечёткими множествами. Рассмотренная выше схема применения нечётких предикатов в векторно-матричном представлении позволяет ввести логические операции без произвольных допущений. Логические операции над нечёткими переменными описываются теми же самыми тензорами, что и в «чёткой» логике. В результате получается гибкая и обоснованная система расчетов, содержащая эмпирические экспертные оценки только «на входе» алгоритмов.

Литература

1. Марценюк М.А. Матричное представление нечеткой логики / Труды IX международной конференции "Интеллектуальные системы и компьютерные науки", Москва, МГУ, 2006. Т. 4. С. 32-36.

2. Марценюк М.А. Матричное представление нечеткой логики / Нечеткие системы и мягкие вычисления. Том 2, № 3, 2007. С. 7-36.

3. Mizraji E. Vector logics: The matrix-vector representation of logical calculus / Fuzzy Sets and Systems. V. 50, 1992. P. 179-185.

4. Mizraji E. Modalities in Vector Logic. / Notre Dame Journal of Formal Logic. V. 35, N. 2, 1994. P. 272- 283.

5. Девятков В.В. Системы искусственного интеллекта. М.: Из-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2001. – 352 с.

6. Рассел С., Норвиг П. Искусственный интеллект: современный подход. 2-е издание. М.: Изд. дом Вильямс, 2006. – 1408 с.

7. Рыжов А.П. Элементы теории нечётких множеств и её приложений. М.: МГУ, 2003. – 180 с.

8. Круглов В.В., Дли М.И. Интеллектуальные информационные системы. Компьютерная поддержка систем нечёткой логики и нечёткого вывода. М.: ИФМЛ, 2002. – 256 с.

Похожие:

Нечёткие предикаты и кванторы в матричном представлении нечёткой логики iconОценка эффективности инвестиционных проектов на основе нечеткой логики
В данной работе показаны перспективы применения для решения подобных задач систем нечеткой логики, в частности, пакета прикладных...
Нечёткие предикаты и кванторы в матричном представлении нечёткой логики iconПринятие решения в ситуации экономического риска на основе нечеткой логики Красновская Анна Радиславовна
В статье рассматривается проблема принятия решения в ситуации экономического риска на основе нечеткой логики, то есть, с учетом неопределенных...
Нечёткие предикаты и кванторы в матричном представлении нечёткой логики iconЛекция 4 Общезначимые формулы логики предикатов Общезначимые формулы
Для доказательства общезначимости формул логики предикатов используется аппарат логики высказываний, дополненный теоремами для выражений,...
Нечёткие предикаты и кванторы в матричном представлении нечёткой логики iconРабочей программы дисциплины Неклассические логики Место дисциплины в структуре ооп принципы построения курса: Курс входит в математический и естественнонаучный цикл ооп 010300 «Фундаментальная информатика и информационные технологии»
Рестностные семантики Монтегю-Скотта. Введение в лямбда-исчисление, комбинаторная полнота, непротиворечивость, нормальные формы....
Нечёткие предикаты и кванторы в матричном представлении нечёткой логики iconУчебное пособие. Автор: Е. Н. Вышинская Н. Новгород. 2011 18 с
Применение методов поиска оптимального решения и нечеткой логики в экономических задачах
Нечёткие предикаты и кванторы в матричном представлении нечёткой логики iconЛогика аргументации в принятии решений в медицине
Представлены аспекты использования нечеткой логики, соответствующей особенностям «размытых» медицинских представлений (терминов,...
Нечёткие предикаты и кванторы в матричном представлении нечёткой логики iconУдк 004. 89 Вывод на основе нечёткой ситуационной сети
Рассмотрены задачи вывода на основе нечёткой ситуационной сети. Представлен метод вывода по нечёткой ситуационной сети, определены...
Нечёткие предикаты и кванторы в матричном представлении нечёткой логики iconДискретная математика (конспект лекций)
Фгоу впо сибгути. Раздел 1 Основы теории множеств. Раздел 2 Формулы логики. Раздел 3 Булевы функции. Раздел 4 Предикаты и бинарные...
Нечёткие предикаты и кванторы в матричном представлении нечёткой логики iconПрименение нечеткой логики для анализа рисков инвестиционных проектов
Поэтому своевременное выявление, а также адекватная и наиболее точная оценка рисков является одной из насущных проблем современного...
Нечёткие предикаты и кванторы в матричном представлении нечёткой логики iconТема основы логики (первый этап отношений логики и языка) (6 часов)
История логики. Логика и язык. Миф о полной ограниченности и неприменимости логики в сфере языкознания. Миф о всесилии логики и семиотики...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org