Теоретическая механика



Скачать 170.74 Kb.
Дата03.01.2013
Размер170.74 Kb.
ТипДокументы
Данный курс написан на основе лекций по теоретической механике читаемых на кафедре ОПНН Салаватского филиала УГНТУ. Этот курс может быть использован в качестве пособия при изучении теоретической механики студентами очной, очно-заочной и заочной формы обучения.

Автор Р.И. Насибуллин

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Введение в теоретическую механику

Теоретическая механика - это наука изучающая наиболее общие законы механического движения и механического взаимодействия материальных тел.

Под механическим движением понимают изменение положения тел в пространстве по отношению к другим телам происходящее с течением времени. Тело по отношению к которому рассматривается движение других тел называют телом отсчета. Тело отсчета, связанная с ним система координат и часы образуют систему отсчета.

Пространство рассматривается как трехмерное евклидовое пространство. В нем справедливы законы евклидовой геометрии.

Время считается универсальным, то есть течет одинаково во всех системах отсчета. Эти положения справедливы при изучении движения тел со скоростями много меньшими скорости света.

Под механическим взаимодействием понимают такое взаимодействие тел, которое стремится изменить характер механического движения этих тел.

Объектами исследования механики являются любые реальные тела: деформируемые твердые тела, жидкие, сыпучие среды и т.д. Однако в теоретической механике рассматривают только идеализированные модели материальных тел. Таким моделей только три: материальная точка, абсолютно твердое тело и механическая система (система материальных точек).

Материальной точкой называют тело форму и размеры которого можно не учитывать при изучении его движения.

Абсолютно твердым телом называется тело расстояния между точками которого остаются неизменными.

Механической системой называют совокупность материальных точек или тел движение или положение которых зависит от положения или движения других точек или тел этой системы. Поскольку любое тело можно рассматривать как совокупность материальных точек, то термины механическая система и система материальных точек можно считать равнозначными.

Теоретическая механика является теоретической основой общей механики, она содержит наиболее общие законы механического движения, лежащие в основе теории всех остальных механических дисциплин: механики деформируемых твердых тел, гидро- и аэродинамики, теории машин и механизмов, деталей машин и т. д. Огромное влияние теоретическая механика оказывала и оказывает на развитие других физических и технических дисциплин: автоматики, телемеханики, кибернетики и т.д.

Теоретическая механика делится на несколько разделов. Традиционно ее делят на статику, кинематику и динамику. Краткие курсы теоретической механики делят на кинематику и кинетику.
Кинетика объединяет динамику и статику, причем статика, изучающая равновесие материальных тел, рассматривается как частный случай динамики.
КИНЕМАТИКА
Кинематика - это раздел теоретической механики, в котором изучаются геометрические свойства механического движения материальных тел без учета их масс и действующих на них сил.

В кинематике рассматриваются две основные задачи: 1) дать способы описания движения тел по отношению к выбранной системе отсчета; 2) дать способы определения кинематических характеристик движения (скорости, ускорения и т.д.).

Изучение кинематики начнем с изучения движения простейшего тела - материальной точки.
Кинематика точки
Способы задания движения точки

Движение точки считается заданным, если известно положение точки по отношению к выбранной системе отсчета в каждый момент времени. Существуют три способа задания движения точки: векторный, координатный и естественный.

1. Векторный способ задания движения.

Положение точки М по отношению к выбранной системе отсчета Оxyz можно задать

с помощью радиуса-вектора .

При движении радиус вектор изменяется по величине и направлению. Если известно, как радиус-вектор меняется с течением времени, то движение точки можно считать заданным. Уравнение



это векторное уравнение движения точки.

Рисунок 1.
2. Координатный способ задания движения.

Положение точки М по отношению к выбранной системе отсчета Оxyz можно задать с помощью трех координат x,y и z.

Если известно, как координаты меняются с течением времени, то движение точки можно считать заданным. Уравнения:

-уравнения движения точки в декартовых координатах.

Кроме декартовых, могут использоваться и другие системы координат (сферические, цилиндрические, полярные и др.).

Переход от координатного способа задания движения к векторному и наоборот можно осуществить с помощью соотношения:

.

  1. Естественный способ задания движения.

Линия, которую описывает точка при своем движении, называется траекторией. Положение точки в пространстве будет определено, если известна ее траектория и положение точки на траектории.

При естественном способе задания движения должны быть указаны траектория, начало отсчета, положительное направление отсчета и закон движения точки по траектории. Расстояние s, отсчитываемое вдоль траектории от начальной точки О до точки М, называется дуговой координатой. Уравнение

s = s(t)

называется законом движения точки по траектории.

Рисунок 2.

Скорость точки

Скорость точки - это величина, характеризующая, как быстро и в каком направлении меняется положение точки в пространстве. Выясним, как определяют скорость при различных способах задания движения.

Скорость точки при векторном способе задания движения. Пусть за время t радиус -вектор точки изменится на величину .

Средней скоростью точки М называется величина:



Средняя скорость характеризует перемещение за конечный промежуток времени и зависит от t. Поэтому ее используют сравнительно редко. Чтобы получить величину характеризующую движение в данный момент времени переходят к пределу, при .

Рисунок 3.
Скоростью точки называется величина:

.

Скорость точки это производная от радиуса-вектора точки по времени.

При координатном способе задания движения радиус-вектор точки равен:

.

Возьмем производную по времени:

.

Проекции вектора скорости на координатные оси равны:



Величину скорости можно определить по формуле:



Направление вектора скорости в пространстве можно определить с помощью направляющих косинусов



Рассмотрим скорость при естественном способе задания движения. Пусть за время t дуговая координата точки изменится на величину s = s2 - s1.

Средней скоростью точки М называется величина:

vср= s/t.

Отметим, что эта понятие средней скорости отличается от той величины которую мы ввели при векторном способе задания движения. В данном случае это скалярная величина, и она характеризует движение точки по траектории.

Если ввести единичный вектор , направленный по касательной к траектории, то, используя определение скорости, получим

.

Таким образом скорость равна производной от дуговой координаты по времени и направлена по касательной к траектории.

Ускорение точки

Ускорение точки - это величина, характеризующая, как быстро и в каком направлении меняется вектор скорости. Выясним, как определяют ускорение при различных способах задания движения.

Ускорение точки при векторном способе задания движения. Пусть за время t вектор скорости изменится на величину .

Средним ускорением точки называют величину



Ускорением точки называют величину равную




Рисунок 5
Таким образом, ускорение точки равно производной от вектора скорости по времени или второй производной от радиуса вектора точки.

Ускорение при координатном способе задания движения определяется следующим образом:

.

Проекции вектора ускорения на координатные оси равны:



Величину ускорения можно определить по формуле:



Направление вектора ускорения в пространстве можно определить с помощью направляющих косинусов:


Естественные координатные оси.




Проведем касательные к траектории в двух точках М и М1, проведем через точку М прямую параллельную касательной в точке М1. Через эти прямые можно провести плоскость (рисунок 6). Если точку М1 приближать к точке М и повторять построение, то можно получить предельную плоскость, которую называют соприкасающейся. Плоскость, перпендикулярную к касательной, называют нормальной плоскостью. Плоскость, перпендикулярную к двум предыдущим плоскостям, называют спрямляющей плоскостью.

Линии пересечения плоскостей образуют естественные оси координат. Ось M, направленная по касательной к траектории, называется касательной или тангенциальной осью. Ось Mn, лежащая на пресечении нормальной и соприкасающейся плоскостей и направленная в сторону вогнутости траектории, называется нормальной осью. Ось Mb, перпендикулярная двум предыдущим и образующая с ними правую систему координат, называется бинормалью. Вдоль координатных осей направляют единичные вектора , n, b.


Рисунок 7
При движении точки естественные оси координат меняют свое положение в пространстве. Единичные вектора , n, b меняются по направлению. Найдем производную по времени от единичного вектора . Изобразим на рисунке два положения точки М и М1, единичные вектора и 1, перенесем 1 в точку М и изобразим вектор .

По определению производной:



Длина вектора  равна:



Рассмотрим предел произведения как произведение пределов. Получим следующие соотношения:



Второе соотношение представляет собой первый замечательный предел. В третьем соотношении величину k называют кривизной траектории, а величину  радиусом кривизны траектории.

Таким образом окончательно получим:



Ускорение точки при естественном способе задания движения.

По определению ускорение равно:



Величину называют касательным или тангенциальным ускорением.

Величину - называют нормальным ускорением.

Таким образом, полное ускорение точки равно геометрической сумме тангенциального и нормального ускорений:



Величина полного ускорения равна:


КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
При изучении движения твердого тела необходимо описать движение тела как целого, а также указать способы определения кинематических характеристик тела как целого и каждой точки тела в отдельности. Простейшими движениями твердого тела называют поступательное, вращательное и плоскопараллельное движение твердого тела.
Поступательное движение твердого тела

Поступательным называется такое движение твердого тела при котором любая прямая, проведенная в теле, движется параллельно самой себе.

Покажем, что при поступательном движении все точки тела описывают одинаковые траектории и в каждый момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения.

Изобразим твердое тело и выберем две точки.

Проведем радиусы-вектора в точки А и В и соединим точки вектором . Запишем очевидное соотношение

rB = rA + .


Рисунок 9
Вектор является постоянным вектором, так как он соединяет две точки твердого тела и остается параллельным самому себе. Таким образом, траектория точки В получается из траектории точки А путем смещения траектории на постоянный вектор. Следовательно, траектории точек одинаковы.

Продифференцируем равенство по времени. Производные от радиусов векторов равны скоростям точек, а производная от постоянного вектора равна нулю. Производные от скоростей равны ускорениям. Следовательно скорости и ускорения точек равны

vA = vB; aA = aB.

Таким образом, при поступательном движении все точки тела совершают одинаковое движение и при исследовании движения достаточно рассмотреть движение одной точки тела.

Вращательное движение твердого тела

Вращательным называют такое движение твердого тела при котором две точки тела остаются неподвижными.

Прямая, проходящая через неподвижные точки, называется осью вращения. Точки оси тоже неподвижны. Остальные точки тела описывают окружности в плоскостях перпендикулярных оси вращения с центрами лежащими на оси вращения.

Проведем через ось вращения неподвижную полуплоскость и полуплоскость, связанную с телом. Угол  между полуплоскостями называется углом поворота. Этот угол полностью задает положение тела. При движении угол поворота изменяется.
Уравнением вращательного движения называется уравнение

 = (t).

Пусть за время t угол поворота изменится на величину  = 2 - 1.

Средней угловой скоростью тела называется величина

ср= /t.

Угловой скоростью тела называют величину, равную производной от угла поворота по времени



Производную от угловой скорости по времени называют угловым ускорением



Угловую скорость и угловое ускорение можно считать векторными величинами. вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения в ту сторону, откуда вращение тела видно происходящим против хода часовой стрелки. При вращательном движении вектор углового ускорения тоже направлен вдоль оси вращения и направлен в ту же сторону что и угловая скорость, если вращение ускоренное и направлен против угловой скорости, если вращение замедленное.

Если угловая скорость тела постоянна, то вращение называют равномерным. В этом случае

 = о + t;  = const;  = 0.

Если угловое ускорение постоянно, то вращение называют равнопеременным

 = о + оt +t2/2;  =о +t;  = const.
Скорости и ускорения точек вращающегося тела

Изобразим вращающееся тело, выберем точку М. Траекторией точки является окружность радиуса R. Длина дуги равна

s = R(t).

Можно считать, что движение точки задано естественным способом. При естественном способе задания движения скорость точки равна

.

Или

v = R.

Скорость направлена по касательной к траектории, то есть перпендикулярна к радиусу, соединяющему точку с центром окружности.

Ускорение точки складывается из нормального и тангенциального ускорений. Тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории и равно



Нормальное ускорение направлено от точки к центру окружности и равно



Полное ускорение точки равно



Если ввести угол  между радиусом и полным ускорением, то



Угол не зависит от радиуса, следовательно полное ускорение любой точки вращающегося твердого тела составляет с радиусом один и тот же угол .

Выражения для скоростей и ускорений точек вращающегося тела можно записать в векторной форме.

Изобразим вращающееся тело вектора угловой скорости и углового ускорения, выберем точку М и проведем радиус-вектор r.

Рассмотрим векторное произведение



Величина векторного произведения равна

rsin = R = v.

Векторное произведение перпендикулярно обеим векторам и направлено в ту сторону, откуда кратчайший поворот первого вектора ко второму виден происходящим против хода часовой стрелки. Очевидно что рассматриваемое векторное произведение направлено по касательной к траектории.

Таким образом рассматриваемое векторное произведение по величине и направлению совпадает со скоростью точки вращающегося тела



Ускорение точки



Или



Величину - называют вращательным (тангенциальным) ускорением.

Величину -называют осестремительным (нормальным ускорением.

Таким образом, при вращательном движении полное ускорение точки тела равно геометрической сумме вращательного и осестремительного ускорений.
Плоскопараллельное движение

Плоскопараллельным или плоским называют движение тела при котором все точки тела двигаются в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости.

Р
Рисунок 12
ассмотрим тело, совершающее плоскопараллельное движение. Проведем отрезок АВ перпендикулярный неподвижной плоскости. Отметим точку М находящуюся в некотором сечении тела параллельном неподвижной плоскости. Отрезок АВ совершает поступательное движение, так как он остается параллельным самому себе. Следовательно, все точки отрезка совершают одинаковое движение и для исследования движения достаточно рассмотреть движение точки М.

Чтобы знать движение всех точек тела достаточно исследовать движение одного сечения тела. Будем называть это сечение плоской фигурой и располагать его в плоскости чертежа.

Чтобы задать положение плоской фигуры на плоскости, нужно задать положение какого-либо отрезка АВ. Положение отрезка можно задать указав положение точки А и угол поворота отрезка. Координаты xА, yA и угол  полностью определяют положение плоской фигуры. Точку А называют полюсом. При движении координаты полюса и угол поворота меняются.

У
x
равнениями движения плоской фигуры называют уравнения:

Рисунок 13

Плоскопараллельное движение всегда можно представить как сумму поступательного и вращательного движения.

Д
B

B'э

B1

A

A1



Рисунок 14
ействительно отрезок АВ можно переместить в положение А1В1, переместив его поступательно вместе с точкой А в положение А1В' и повернув на угол  вокруг точки А1. Если за полюс принять точку В, то можно сначала переместить отрезок в положение В1А', а затем повернуть его на угол  вокруг точки В1. Таким образом, можно утверждать, что поступательная часть движения зависит от выбора полюса, а вращательная часть движения от выбора полюса не зависит.

По уравнениям движения плоской фигуры можно найти скорость и ускорение полюса, а также угловую скорость и угловое ускорение плоской фигуры.
Теорема о скоростях точек плоской фигуры
Докажем следующую теорему.

Скорость точки плоской фигуры равна геометрической сумме скорости полюса и скорости точки во вращательном движении вокруг полюса.

Теореме соответствует формула



Изобразим плоскую фигуру, проведем из начала координат вектора rA, rB и вектор , соединяющий точки А и В. Запишем очевидное равенство

.

Найдем производную по времени



Вектор соединяет две точки твердого тела, следовательно, он имеет постоянную длину. Можно записать

.
При движении вектор изменяется только по направлению. Можно считать, что конец вектора совершает вращательное движение вокруг точки А. Скорость при вращательном движении равна



Эту скорость можно назвать скоростью точки В во вращательном движении вокруг полюса А. Производные от радиус векторов точек А и В по времени это скорости точек.

Тогда получим



что и требовалось доказать.

Из теоремы можно вывести два следствия.

  1. Проекции скоростей двух точек плоской фигуры на прямую, проходящую через эти точки, равны между собой.

Изобразим на рисунке отрезок АВ скорости точек А, В и скорость точки В во вращательном движении вокруг точки А. Скорость vBA во вращательном движении перпендикулярна отрезку АВ, vBAАВ. Уравнение, соответствующее теореме, спроецируем на ось х



Если ввести углы  и , то

vAcos=vBcos.

  1. Концы векторов скоростей точек неизменяемого отрезка лежат на одной прямой и

делят ее на части прямо пропорциональные расстояниям междй точками.


vBA
Изобразим неизменяемый отрезок АСВ, покажем скорости точек А, С и В, а также скорости точек С и В во вращательном движении вокруг полюса. Скорости
vCA и vBA перпендикулярны отрезку АСВ и параллельны между собой. Величины этих скоростей равны vCA=AC, vBA=AB и эти величины пропорциональны расстояниям между точками. Тогда по теореме Фалеса концы векторов скоростей лежат на одной прямой и делят ее на части пропорциональные расстояниям между точками.

Теорему о скоростях точек плоской фигуры можно непосредственно испльзовать при решении задач, но это не удобно, так как приходится оперировать с векторами. На практике используют следствия из теоремы и методы основанные на теореме. Чаще всего используют план скоростей и мгновенный центр скоростей.
План скоростей
Рассмотрим следующий пример. Возьмем прямоугольник ABCD. Из вершин прямоугольника отложим соответствующие скорости. Выберем некую точку О, которую будем называть полюсом. Из полюса отложим скорости вершин прямоугольника и обозначим вектора соответствующими маленькими буквами латинского алфавита. Такое построение называют планом скоростей.

vA




Рисунок 18

Рассмотрим особенности плана скоростей. По теореме о скоростях точек плоской фигуры



По построению теореме соответствует выражение



То есть отрезок ab соответствует скорости точки В во вращательном движении вокруг точки А. Эта скорость перпендикулярна отрезку АВ и по величине равна АВ. То же самое относится и к отрезкам bc, cd и da. Следовательно, прямоугольник abcd подобен прямоугольнику ABCD и повернут на угол 90.

Рассмотрим пример построения плана скоростей для плоского механизма. Механизм изображен на рисунке 19. Кривошип ОА вращается с постояной угловой скоростью . Нужно найти скорости точек и угловые скорости звеньев механизма.




А


D

О1


О


С


В


AB

CD



Рисунок 19

Скорость точки А перпендикулярна ОА и равна

VA=ОА.

Похожие:

Теоретическая механика iconРабочая программа учебной дисциплины (модуля) «Теоретическая механика»
Дисциплина «Теоретическая механика» входит в вариативную часть (Б2) математического и естественнонаучного цикла
Теоретическая механика iconПрактикум по теоретической механике тмл комплект демонстрационного оборудования «Теоретическая механика»
Представлено учебное оборудование для проведения лабораторного практикума и демонстраций по общепрофессиональной дисциплине «Теоретическая...
Теоретическая механика iconПрограмма учебной дисциплины «теоретическая механика» Специальность: 130102 «Технологии геологической разведки»
Теоретическая механика” – это наука, изучающая движение и равновесие материальных тел, а также возникающее при этом взаимодействие...
Теоретическая механика iconА. И. Казанцева теоретическая механика
Казанцева А. И. Теоретическая механика: в 6 частях. Часть Кинематика точки и твердого тела: Учебное пособие для самостоятельного...
Теоретическая механика iconПеречень специальностей, по которым будет проводиться приём преподавателей и научных сотрудников вузов в цпнпк фдо мгу в весеннем семестре 2007/2008 уч г. Срок обучения – с 6 февраля по 30 мая 2008 г
Механика: теоретическая механика; механика твёрдого деформируемого тела; механика жидкости, газа и плазмы; устойчивость и управление...
Теоретическая механика iconСписок экзаменационных вопросов по курсу «Теоретическая механика»
Механика как наука о движении. Модели теоретической механики. Векторный, координатный и естественный способы задания движения
Теоретическая механика iconСодержание труда
В зависимости от специализации сферой его изучения может быть: теоретическая механика, механика жидкости, газа и плазмы, экология...
Теоретическая механика iconПрограмма «Теоретическая и математическая физика»
В основу данной программы положены следующие дисциплины: механика, теория поля, электродинамика и механика сплошных сред, квантовая...
Теоретическая механика icon01. 04. 02 «Теоретическая физика» по физико-математическим наукам
В основу данной программы положены следующие дисциплины: механика, теория поля, электродинамика и механика сплошных сред, квантовая...
Теоретическая механика icon«Теоретическая физика» по физико-математическим наукам
В основу данной программы положены следующие дисциплины: механика, теория поля, электродинамика и механика сплошных сред, квантовая...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org