Основные формулы



Скачать 144.88 Kb.
Дата04.01.2013
Размер144.88 Kb.
ТипДокументы
§ 5. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА.

Основные формулы




В специальной теории относительности рассматриваются только инерциальные системы отсчета. Во всех задачах считается, что оси у, у' и z, z' сонаправлены, а относительная скорость υ0 системы ко­ординат К' относительно системы К нап­равлена вдоль общей оси хх' (рис. 5.1).

• Релятивистское (лоренцево) сок­ращение длины стержня




Рис. 5.1
где l0 — длина стержня в системе коор­динат К' , относительно которой стержень покоится (собственная длина). Стержень параллелен оси х'; l

длина стержня, измеренная в системе К, относительно которой он движется со скоростью υ; с — скорость распространения электромагнитного излучения.




• Релятивистское замедление хода часов
где Δt0 — интервал времени между двумя событиями, происходя­щими в одной точке системы K', измеренный по часам этой системы (собственное время движущихся часов); Δt — интервал времени между двумя событиями, измеренный по часам системы K.

• Релятивистское сложение скоростей

,

где υ' — относительная скорость (скорость тела относительно си­стемы K'); υ0 — переносная скорость (скорость системы K' относи­тельно К), υ0 — абсолютная скорость (скорость тела относительно системы К).

В теории относительности абсолютной скоростью называется скорость тела в системе координат, условно принятой за непод­вижную.

• Релятивистская масса

, ИЛИ ,

где т0 — масса покоя; β — скорость частицы, выраженная в долях скорости света

• Релятивистский импульс

, или

• Полная энергия релятивистской частицы



где Т — кинетическая энергия частицы; png" name="graphics11" align=bottom width=98 height=15 border=0> — ее энергия покоя. Частица называется релятивистской, если скорость частицы сравнима со скоростью света, и классической, если υ<<с.

• Связь полной энергии с импульсом релятивистской частицы



• Связь кинетической энергии с импульсом релятивистской частицы



Примеры решения задач

Пример 1. Космический корабль движется со скоростью υ=0,9 с по направлению к центру Земли. Какое расстояние l прой­дет этот корабль в системе отсчета, связанной с Землей (K-система), за интервал времени Δt0=1 с, отсчитанный по часам, находя­щимся в космическом корабле (K'-система)? Суточным вращением Земли и ее орбитальным движением вокруг Солнца пренебречь.

Решение. Расстояние l, которое пройдет космический ко­рабль в системе отсчета, связанной с Землей (K-система), определим по формуле

(1)
где —интервал времени, отсчитанный в K-системе отсчета.
Этот интервал времени связан с интервалом времени, отсчитан­
ным в K'-системе, соотношением Подставив
выражение в формулу (1), получим



После вычислений найдем

l=619 Мм.




Пример 2. В лабораторной системе отсчета (K-система) движется стержень со скоростью υ=0,8 с . По измерениям, произведенным в K-системе, его длина l оказалась равной 10 м, а угол φ, который он составляет с осью х, оказался равным 30° . Определить собственную длину l0 стержня в K'-системе, связанной со стержнем, и угол φ0, который он составляет с осью х' (рис. 5.2).


Рис. 5.2






Решение. Пусть в K'-системе стержень лежит в плоскости х'О'у'. Из рис. 5.2, а следует, что собственная длина l0 стержня и угол φ0, который он составляет с осью х', выразятся равенствами

(1)

В K-системе те же величины окажутся равными (рис. 5.2, б)

(2)

Заметим, что при переходе от системы К.' к К размеры стержня в направлении оси у не изменятся, а в направлении оси х претерпят релятивистское (лоренцево) сокращение, т. е.

(3)

С учетом последних соотношений собственная длина стержня выразится равенством



или



Заменив в этом выражении на (рис. 5.2, б), получим



Подставив значения величин в это выражение и произведя
вычисления, найдем

l0=15(3 м.

Для определения угла воспользуемся соотношениями (1), (2) и (3):

, или

откуда



Подставив значения φ и β в это выражение и произведя вычисле­ния, получим



Пример 3. Кинетическая энергия Т электрона равна 1 МэВ. Определить скорость электрона.

Решение. Релятивистская формула кинетической энергии



Выполнив относительно β преобразования, найдем скорость час­тицы, выраженную в долях скорости света (β=υ/c):

(1)

где E0 — энергия покоя электрона (см. табл. 22).

Вычисления по этой формуле можно производить в любых еди­ницах энергии, так как наименования единиц в правой части формул сократятся и в результате подсчета будет получено отвлеченное число.

Подставив числовые значения Е0 и Т в мега электрон-вольтах, получим

β=0,941.
Так как , то

υ = 2,82-108 м/с.

Чтобы определить, является ли частица с кинетической энергией Т релятивистской или классической, достаточно сравнить кинети­ческую энергию частицы с ее энергией покоя.

Если , частицу можно считать классической. В этом
случае релятивистская формула (1) переходит в классическую:

, или

Пример 4. Определить релятивистский импульс р и кинетическую энергию Т электрона, движущегося со скоростью υ =0,9 с (где с — скорость света в вакууме).

Решение. Релятивистский импульс

(1)

После вычисления по формуле (1) получим



В релятивистской механике кинетическая энергия Т частицы определяется как разность между полной энергией E и энергией покоя Е0 этой частицы, т. е.



Так как и , то, учитывая зависимость массы от
скорости, получим



или окончательно

(2)

Сделав вычисления, найдем

T=106 фДж.

Во внесистемных единицах энергия покоя электрона m0с2=0,51 МэВ. Подставив это значение в формулу (2), получим

Т=0,66 МэВ.

Пример 5. Релятивистская частица с кинетической энергией T=т0c2 (m0 — масса покоя частицы) испытывает неупругое столк­новение с такой же покоящейся (в лабораторной системе отсчета) частицей. При этом образуется составная частица. Определить: 1) релятивистскую массу т движущейся частицы; 2) релятивистскую массу т' и массу покоя m0' составной частицы; 3) ее кинетическую энергию Т'.

Решение. 1. Релятивистскую массу m движущейся частицы
до столкновения найдем из выражения для кинетической энергии
релятивистской частицы . Так как , то m=
=2т0.

2. Для того чтобы найти релятивистскую массу составной части­цы, воспользуемся тем, что суммарная релятивистская масса частиц сохраняется *: m+m0=m', где т+т0 — суммарная релятивистская масса частиц до столкновения; т' — релятивистская масса состав­ной частицы. Так как т—2т0 , то



Массу покоя m0' составной частицы найдем из соотношения

(1)
Скорость υ' составной частицы (она совпадает со скоростью Vc центра масс в лабораторной системе отсчета) можно найти из закона сохранения импульса р=р', где р— импульс релятивистской частицы до столкновения; р' — импульс составной релятивистской частицы. Выразим р через кинетическую энергию Т:



Так как , то



Релятивистский импульс . Учитывая, что ,
закон сохранения импульса можно записать в виде ,
откуда



Подставив выражения υ' и т' в формулу (I), найдем массу покоя составной частицы:

, или

3. Кинетическую энергию Т' составной релятивистской частицы найдем как разность полной энергии т'с2 и энергии покоя т02 составной частицы:



Подставив выражения т' и m0', получим



  • Этот закон см., например, в кн.: Савельев И. В. Куре общей физики.

М., 1977. Т. I, §70.
Задачи

Релятивистское изменение длин


и интервалов времени

5.1. Предположим, что мы можем измерить длину стержня с точ­ностью Δl=0,1 мкм. При какой относительной скорости и двух инерциальных систем отсчета можно было бы обнаружить реляти­вистское сокращение длины стержня, собственная длина l0 которого равна 1 м?

5.2. Двое часов после синхронизации были помещены в системы координат К и К', движущиеся друг относительно друга. При какой скорости и их относительного движения возможно обнару­жить релятивистское замедление хода часов, если собственная дли­тельность τ0 измеряемого промежутка времени составляет 1 с? Измерение времени производится с точностью Δτ=10 пс.

5.3. На космическом корабле-спутнике находятся часы, синхро­низированные до полета с земными. Скорость υ0 спутника составля­ет 7,9 км/с. На сколько отстанут часы на спутнике по измерениям земного наблюдателя по своим часам за время τ0=0,5 года?

5.4. Фотонная ракета движется относительно Земли со скоро­стью υ=0,6 с. Во сколько раз замедлится ход времени в ракете с точки зрения земного наблюдателя?

5.5. В системе К' покоится стержень, собственная длина l0 кото­рого равна 1 м. Стержень расположен так, что составляет угол φ0=45° с осью x'. Определить длину l стержня и угол φ в системе K, если скорость υ о системы K' относительно К равна 0,8 с.

5.6. В системе К находится квадрат, сторона которого параллель­на оси х'. Определить угол φ между его диагоналями в системе К, если система К' движется относительно К со скоростью υ=0,95 с.

5.7. В лабораторной системе отсчета (K-система) пи-мезон с мо­мента рождения до момента распада пролетел расстояние l=75 м. Скорость υ пи-мезона равна 0,995 с. Определить собственное время жизни τ0 мезона.

5.8. Собственное время жизни τ0 мю-мезона равно 2 мкс. От точки рождения до точки распада в лабораторной системе отсчета мю-мезон пролетел расстояние l=6 км. С какой скоростью υ (в долях ско­рости света) двигался мезон?

Релятивистское сложение скоростей


5.9. Показать, что формула сложения скоростей релятивистских частиц переходит в соответствующую формулу классической меха­ники при υ <<c.

5.10. Две релятивистские частицы движутся в лабораторной си­стеме отсчета со скоростями υ1=0,6 с и υ2=0,9 с вдоль одной прямой. Определить их относительную скорость u21 в двух случаях: 1) ча­стицы движутся в одном направлении; 2) частицы движутся в проти­воположных направлениях.

5.11. В лабораторной системе отсчета удаляются друг от друга две частицы с одинаковыми по модулю скоростями. Их относитель­ная скорость u в той же системе отсчета равна 0,5 с. Определить скорости частиц.

5.12. Ион, вылетев из ускорителя, испустил фотон в направлении своего движения. Определить скорость фотона относительно уско­рителя, если скорость υ иона относительно ускорителя равна 0,8 с.

5.13. Ускоритель сообщил радиоактивному ядру скорость υ1= =0,4 с. В момент вылета из ускорителя ядро выбросило в направ­лении своего движения β-частицу со скоростью υ2=0,75 с относи­тельно ускорителя. Найти скорость u21 частицы относительно ядра.

5.14. Два ускорителя выбрасывают навстречу друг другу части­цы со скоростями |υ|=0,9 с. Определить относительную скорость и21 сближения частиц в системе отсчета, движущейся вместе с одной из частиц.

Релятивистская масса и релятивистский импульс

5.15. Частица движется со скоростью υ=0,5 с. Во сколько раз релятивистская масса частицы больше массы покоя?

5.16. С какой скоростью υ движется частица, если ее релятивист­ская масса в три раза больше массы покоя?

5.17. Отношение заряда движущегося электрона к его массе, определенное из опыта, равно 0,881011 Кл/кг. Определить реляти­вистскую массу т электрона и его скорость υ.

5.18. На сколько процентов релятивистская масса частицы боль­ше массы покоя при скорости υ=30 Мм/с?

5.19. Показать, что выражение релятивистского импульса пере­ходит в соответствующее выражение импульса в классической ме­ханике при υ<

5.20. Электрон движется со скоростью υ=0,6 с. Определить реля­тивистский импульс р электрона.

5.21. Импульс р релятивистской частицы равен т0с (т0 — масса покоя). Определить скорость υ частицы (в долях скорости света).

5.22. В лабораторной системе отсчета одна из двух одинаковых частиц покоится, другая движется со скоростью υ=0,8 с по направ­лению к покоящейся частице. Определить: 1) релятивистскую массу движущейся частицы в лабораторной системе отсчета; 2) скорость частиц в системе отсчета, связанной с центром инерции системы; 3) релятивистскую массу частиц в системе отсчета, связанной с центром инерции.

5.23. В лабораторной системе отсчета находятся две частицы. Одна частица с массой покоя т0 движется со скоростью υ=0,6 с, другая с массой покоя 2т0 покоится. Определить скорость Vc центра масс системы частиц.

Взаимосвязь массы и энергии *

5.24. Полная энергия тела возросла на ΔE=1 Дж. На сколько при этом изменится масса тела?

5.25. Определить, на сколько должна увеличиться полная энер­гия тела, чтобы его релятивистская масса возросла на Δm=1 г?

5.26. Вычислить энергию покоя: 1) электрона; 2) протона; 3) α-частицы. Ответ выразить в джоулях и мегаэлектрон-вольтах.

5.27. Известно, что объем воды в океане равен 1,37·109 км3. Оп­ределить, на сколько возрастет масса воды в океане, если темпера­тура воды повысится на Δt=1 °С. Плотность р воды в океане при­нять равной 1,03·103 кг/м3.

5.28. Солнечная постоянная С (плотность потока энергии элект­ромагнитного излучения Солнца на расстоянии, равном среднему расстоянию от Земли до Солнца) равна 1,4 кВт/м2. 1. Определить массу, которую теряет Солнце в течение одного года. 2. На сколько изменится масса воды в океане за один год, если предположить, что поглощается 50 % падающей на поверхность океана энергии излу­чения? При расчетах принять площадь S поверхности океана равной 3,6·108 км2.

Кинетическая энергия релятивистской частицы

5.29. Кинетическая энергия Т электрона равна 10 МэВ. Во сколько раз его релятивистская масса больше массы покоя? Сделать такой же подсчет для протона.

5.30. Во сколько раз релятивистская масса протона больше реля­тивистской массы электрона, если обе частицы имеют одинаковую кинетическую энергию Т= 1 ГэВ?

5.31. Электрон летит со скоростью υ=0,8 с. Определить кинетическую энергию Т электрона (в мегаэлектрон-вольтах).

5.32. При какой скорости υ кинетическая энергия любой частицы вещества равна ее энергии покоя?

5.33. Определить скорость VE электрона, если его кинетическая энергия равна: 1) Т=4 МэВ; 2) T=1 кэВ.

5.34. Найти скорость V протона, если его кинетическая энергия равна: 1) T=1 МэВ; 2) T=1 ГэВ.
* Задачи на эту тему, в условиях которых речь идет о ядерных превра­щениях, помещены в § 43.
5.35. Показать, что релятивистское выражение кинетической
энергии при υ<переходит в соответствующее выра-­
жение классической механики.

5.36. Какая относительная ошибка будет допущена при вычисле-­
нии кинетической энергии релятивистской частицы, если вместо
релятивистского выражения воспользоваться класси-­
ческим ? Вычисления выполнить для двух случаев: 1) υ=
=0,2 с; 2) υ=0,8 с.

5.37. Две релятивистские частицы движутся навстречу друг другу с одинаковыми (в лабораторной системе отсчета) кинетичес­кими энергиями, равными их энергии покоя. Определить: 1) ско­рости частиц в лабораторной системе отсчета; 2) относительную ско­рость сближения частиц (в единицах с); 3) кинетическую энергию (в единицах т0с2) одной из частиц в системе отсчета, связанной с другой частицей.

Связь энергии релятивистской частицы с ее импульсом

5.38. Показать, что выражение релятивистского импульса через
кинетическую энергию при переходит
в соответствующее выражение классической механики.

5.39. Определить импульс р частицы (в единицах m0с), если ее кинетическая энергия равна энергии покоя.

5.40. Определить кинетическую энергию Т релятивистской час­тицы (в единицах ), если ее импульс

5.41. Кинетическая энергия релятивистской частицы равна ее энергии покоя. Во сколько раз возрастет импульс частицы, если ее кинетическая энергия увеличится в n=4 раза?

5.42. Импульс р релятивистской частицы равен . Под дейст­вием внешней силы импульс частицы увеличился в два раза. Во сколько раз возрастет при этом энергия частицы: 1) кинетическая? 2) полная?

5.43. При неупругом столкновении частицы, обладающей импуль-­
сом , и такой же покоящейся частицы образуется составная
частица. Определить: 1) скорость υ частицы (в единицах с) до столк-­
новения; 2) релятивистскую массу составной частицы (в единицах т0); 3) скорость составной частицы; 4) массу покоя составной частицы (в единицах m0);

5) кинетическую энергию частицы до столкновения и кинетическую энергию составной частицы (в единицах т0с2).

5.44. Частица с кинетической энергией налетает на дру-­
гую такую же частицу, которая в лабораторной системе отсчета по-­
коится. Найти суммарную кинетическую энергию Т' частиц в си-­
стеме отсчета, связанной с центром инерции системы частиц.





Похожие:

Основные формулы iconТригонометрические формулы: Основные тождества
Если в левой части формулы угол равен или, то синус заменяется на косинус, тангенс на котангенс и наоборот. Если угол равен, то замены...
Основные формулы iconОсновные формулы тригонометрии. Занятие №1 Количество формул, используемых в тригонометрии, достаточно велико под «формулами»
Их немного всего три. Из этих трех формул следуют все остальные. Это – основное тригонометрическое тождество и формулы для синуса...
Основные формулы iconСоставьте формулы оксидов и соответствующих гидроксидов, докажите характер оксидов соответствующими уравнениями реакций
Исходя из данных соединений составьте формулы средних, кислых и основных солей. Назовите их. Напишите графические формулы
Основные формулы iconРешение задач по теме «Площади многоугольников»
Повторение словесных формул площадей многоугольников с помощью «логической шпаргалки»- «Шпаргалка» даёт не готовые формулы, а напоминает...
Основные формулы iconМатематика Excel
Запись формулы в ячейке начинается со знака «равно» (=). Формулы записываются по определенным правилам. Формулы содержат числа, имена...
Основные формулы iconОсновные формулы
Энергия w магнитного поля, создаваемого током в замкнутом контуре индуктивностью L, определяется формулой
Основные формулы iconБилет №1 Случайные величины, функции распределения, их свойства. Абсолютно непрерывные и дискретные распределения. Типовые распределения: биноминальное, пуассоновское, нормальное. Схема Бернулли и полиномиальная схема: основные формулы
...
Основные формулы iconПрограмма «Логик теоретик»
Тема: Формулы алгебры высказываний, их истинностные значения и классификация. Основные законы логики
Основные формулы icon1. 5 Формулы численного интегрирования
...
Основные формулы iconХод урока Комментарий
Что такое формулы? (Формулы – это верные равенства, устанавливающие взаимосвязь между величинами)
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org