Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического



Скачать 100.96 Kb.
Дата12.01.2013
Размер100.96 Kb.
ТипЛекции



Московский государственный технический университет


им. Н. Э. Баумана

Пузанов В. П.




ЛЕКЦИИ
ПО КУРСУ «ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ»

ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ И РЕГУЛИРОВАНИЯ.

Факультет « Специальное машиностроение »

Кафедра « Подводные роботы и аппараты »
2000 год.

ВВЕДЕНИЕ.



В теории автоматического управления объектом исследования являются не реальные физические объекты и системы управления, а их математические модели. Методика разработки математической модели системы автоматического управления содержит три основных этапа:

  1. Составляются математические модели элементов системы автоматического управления: объекта управления, датчиков (информационно-измерительного комплекса), исполнительных устройств (электрические или гидравлические привода).

  2. Составляется математическая модель связей элементов системы управления.

  3. Составляется математическая модель взаимодействия системы управления с внешней средой.

В основе формирования математических моделей систем автоматического управления лежит математическое описание тех физических процессов, которые протекают в реальной системе.

Требования, предъявляемые к математическим моделям систем автоматического управления.


  1. Математическая модель должна как можно точнее отражать физические процессы в исследуемой системе управления.

  2. Математическая модель должна быть достаточно простой, чтобы излишне не усложнять исследования.


Эти два требования к математическим моделям систем управления противоречивы.

Как правило, математическая модель системы автоматического управления представляет собой совокупность систем нелинейных дифференциальных и алгебраических уравнений.

Нелинейной системой автоматического управления называется такая система, которая содержит хотя бы одно звено, описываемое нелинейным дифференциальным или алгебраическим уравнением.

Математические модели нелинейных элементов систем автоматического управления.


Статические нелинейные элементы – это такие элементы системы автоматического управления, выходная переменная которых не зависит от скорости изменения входной величины.

  1. Характеристика с насыщением (ограничение).



Характеристика нелинейного звена типа "Ограничение".

gif" name="object2" align=bottom width=306 height=248>

Уравнение нелинейного звена типа "Ограничение"

.

2. Реле с зоной нечувствительности.



Уравнение нелинейного звена типа "Реле с зоной нечувствительности"

.

Характеристика нелинейного звена типа "Реле с зоной нечувствительности".


При получаем идеальную релейную характеристику



.

Динамические нелинейные элементы – это такие элементы системы автоматического управления, выходная переменная которых зависит не только от величины входного воздействия, но и от скорости его изменения.
3. Реле с гистерезисом.



Характеристика нелинейного звена типа "Реле с гистерезисом"



Уравнение нелинейного звена типа "Реле с гистерезисом"

.

4. Нелинейное звено типа "Люфт".



Характеристика нелинейного звена типа "Люфт"



Уравнение нелинейного звена типа "Люфт"

,

5. Нелинейное звено типа "Вязкое трение".


При движении объекта управления в жидкой среде на него действует сила вязкого трения, которая пропорциональна квадрату скорости движения объекта.

Уравнение нелинейного звена типа "Вязкое трение"



где – скорость движения объекта; – коэффициент пропорциональности. Направление противоположно скорости движения объекта.

Характеристика нелинейного звена типа "Вязкое трение".



5. Нелинейное звено типа "Сухое трение".


Зависимость силы сухого трения от скорости имеет вид, показанный на рисунке



Иногда спад характеристики (участки и ) на кривой зависимости силы трения от скорости является причиной неустойчивости системы. Если этот спад характеристики не играет существенной роли, то целесообразно упростить зависимость силы сухого трения от скорости , например так, как показано на рисунке



Математическая модель нелинейной характеристики типа "сухое трение" в этом случае будет иметь вид

.


Основные особенности нелинейных систем автоматического управления.





  1. Не выполняется принцип суперпозиции для математических моделей нелинейных систем автоматического управления. Правила преобразования структурных схем, аналогичных для линейных систем, в общем случае не существуют.

  2. Так не существуют общие методы решения нелинейных дифференциальных уравнений то, как правило, исследования нелинейных систем носит качественный, приближенный характер.

  3. Процессы в нелинейных системах автоматического управления могут существенно зависеть от

  • начальных условий (существенное отличие от линейных систем),

  • вида входного воздействия.

В одной и той же нелинейной системе при разных начальных условиях и входных воздействиях процессы в системе могут быть:

- устойчивыми

- неустойчивыми

- более сложные виды процессов, не характерных для линейных систем (автоколебания - это устойчивые собственные колебания с постоянной амплитудой при отсутствии внешних колебательных, гармонических воздействий; скользящие процессы и др.).

Мы будем рассматривать класс нелинейных систем, который характеризуется следующими особенностями:

  1. В системе автоматического управления можно выделить линейную часть (ЛЧ) – это составная часть системы, которая описывается линейными дифференциальными уравнениями.

  2. В системе управления можно выделить единственный нелинейный элемент (Н.Э.).

Структурную схему системы управления можно представить следующим образом



либо


Основные методы исследования нелинейных систем:


  1. Методы фазовой плоскости (фазового пространства).

  2. Методы линеаризации (уравнения первого приближения, гармоническая линеаризация).

  3. Специальные методы.



Понятие о методе фазовой плоскости исследования нелинейных систем.


Пусть нелинейная система автоматического управления описывается системой дифференциальных уравнений вида

. (1)

Далее считаем, что начальные условия для системы уравнений (1) и заданы.

Состояние системы в любой момент времени характеризуется двумя значениями , .



Введем в рассмотрение плоскость с координатными осями и . Зафиксируем момент времени и вычислим при этом значении времени величины и . В плоскости отметим точку с координатами . Вычислим следующее значение времени , где – постоянное число. При этом значении аналогично предыдущему определим значения и .



На плоскости нанесем точку с координатами с координатами . Проведем вышеописанное построение для . В результате чего получим на плоскости последовательность точек , ,…, , соединив которые получим графическое изображение кривой , которая называется фазовой траекторией нелинейной системы (1).

Точка называется изображающей точкой – при изменении от 0 до изображающая точка на плоскости описывает кривую – фазовую траекторию. Плоскость называется фазовой плоскостью.

Каждому новому значению начальных условий будет соответствовать на фазовой плоскости своя фазовая траектория.

Множество фазовых траекторий на фазовой плоскости называется фазовым портретом системы автоматического управления.

Значение нелинейных функций и , стоящие в правой части системы (1) в каждый момент времени определяют проекции скорости движения изображающей точки на оси координат и соответственно. Это потому, что они согласно дифференциальным уравнениям (1) соответственно равны и .

На фазовой плоскости существуют характерные точки, которые определяются нулевыми значениями проекции вектора скорости: , , следовательно

(2)

Координаты особых точек определяются как решение системы нелинейных алгебраических уравнений (2). Их может быть несколько.
Пример. Математическая модель системы управления задана уравнениями

.

Требуется найти координаты особых точек (точек равновесного состояния).

Решение.

,



Это система уравнений для определения координат особых точек. Решим ее:

, , .

.

Система обладает тремя состояниями равновесия при условии, что параметры системы и имеют разные знаки.

Координаты первой особой точки.

Координаты второй особой точки

Координаты третьей особой точки

Если и – имеют одинаковые знаки, то у системы одна точка состояния равновесия, ее координаты - и .

В особых точках вектор фазовой скорости нулевой. Это – состояния равновесия системы.

Равенство нулю вектора фазовой скорости создает неопределенность в правой части системы уравнений (1). Поэтому точки равновесия системы называются особыми точками системы на фазовой плоскости.

На фазовых траекториях как правило указывают направление движения изображающей точки. Направление движения определяется направлением фазовой скорости.

Если система дифференциальных уравнений (1) имеет вид

, , (3)

то в этом случае можно сформулировать правило для определения направления движения изображающей точки по фазовым траекториям



  1. в верхней плоскости движение происходит слева направо, т.е. в сторону увеличения , т.к. там

  2. в нижней полуплоскости – движение справа налево, т.к. здесь , величина – уменьшается.

  3. ось пересекается фазовыми траекториями под прямым углом, т.к. там скорость , т.е. имеет место максимум или минимум величины .

(Правило не действительно в общем случае уравнений (1)).

Из системы дифференциальных уравнений (1) можно получить дифференциальные уравнения фазовых траекторий. Для того чтобы получить дифференциальные уравнения фазовых траекторий системы (1) нужно из них исключить время. Это достигается делением второго уравнения системы (1) на первое

.

Существует соответствие между фазовыми траекториями системы управления и видом переходного процесса и наоборот.

Для простоты рассмотрим систему уравнений (3) и пусть состояние равновесия системы – это точка на фазовой плоскости с координатами .

Пусть далее, фазовая траектория системы имеет вид, показанный на рисунке. По заданной фазовой траектории построим переходный процесс в исследуемой системе (3)



На фазовой траектории отметим характерные точки:

– начальные условия;

– возможен экстремум, или

– значение – график пересекает ось .

– возможен экстремум графика функции .

– значение – график функции пересекает ось .

Точка находится первом квадрате , . Между точками , следовательно возрастает, между , следовательно убывает. Это значит, что точке соответствует максимум графика функции . Точке – соответствует точка пересечения графика функции оси . Между точками , следовательно продолжает убывать. Между точками y > 0 и начинает возрастать. Это значит, что – соответствует точке минимума графика функции . Точке соответствует точка пересечения графика функции оси . Продолжая аналогичные построения можно построить весь переходный процесс.

По переходному процессу можно построить фазовую траекторию. Для этого в точках , , …, вычисляют значение – производной . Считая, что эти вычисленные значения , – это координаты изображающей точки наносим их на фазовую плоскость. Соединив их, получим фазовую траекторию исследуемой системы.

Удобство изображения фазовых траекторий на плоскости состоит в том, что в виде единого «фазового портрета» представляется вся совокупность возможных форм процессов в системе управления.

Недостатком является то, что мы вынуждены ограничиваться рассмотрением лишь системами второго порядка. Для исследования систем высокого порядка применяются другие методы.

Похожие:

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория линейных систем автоматического
Рассмотрим систему автоматического управления, структурная схема которой имеет вид
Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория линейных систем автоматического
Рассмотрим систему автоматического управления, структурная схема которой имеет вид
Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория линейных систем автоматического
Охватывает точки с координатами
Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория линейных систем автоматического
Синтез алгоритмов управления линейными системами при неполной информации о векторе состояния системы
Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического iconЛекции по курсу «теория автоматического управления»
Основы исследования систем автоматического управления методом гармонической линеаризации
Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического iconЛекции по курсу «теория автоматического управления»
Рассмотрим нелинейную систему автоматического уравнения, динамика которой описывается уравнениями
Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория линейных систем автоматического
Охватывает начало координат и система устойчива. Если, то годограф Михайлова не охватывает начало координат, критерий Михайлова не...
Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического iconЛекции по курсу «теория автоматического управления»
Исследование точности дискретных линейных систем в установившемся режиме при детерминированных воздействиях
Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического iconРабочая программа дисциплины «теория автоматического управления» Направление подготовки бакалавра
Цели и задачи дисциплины «Теория автоматического управления» (тау) – изучение общих принципов построения и функционирования автоматических...
Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического iconЛекции по курсу «теория автоматического управления»
Кроме этого широкое применение в теории цифровых систем нашли методы, которые используют аппарат передаточных функций
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org