Нелинейные системы и вторичное квантование (наброски)



Скачать 100.3 Kb.
Дата13.01.2013
Размер100.3 Kb.
ТипДокументы
Китаев А.Е.
Нелинейные системы и вторичное квантование

(наброски).

Примем для начала предположение, что уравнения в частных производных, описывающие поля элементарных частиц, нелинейны. Уравнениями такого рода в нелинейной теории волн описывают трехволновое взаимодействие, распад волн и другие эффекты, сходные с взаимопревращениями элементарных частиц. Запишем пример такого уравнения (смотри подробнее работу «Уравнение, описывающее и электронное, и фотонное поле, а также некоторые обобщения»):

Возникает вопрос – как обстоят дела с квантованием этого нелинейного уравнения? Дело в том что в квантовой теории поля для линейных уравнений поля разработана процедура вторичного квантования. И эффекты рождения и уничтожения (в общем случае взаимопревращения) частиц стараются описать с помощью соответствующих операторов рождения и уничтожения.

В историческом плане описание электромагнитного поля и вещества с помощью математических уравнений разворачивалось так:

  1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Это уравнения Гамильтона (или Ньютона) для частиц и уравнения лучевой оптики для электромагнитного поля.

  2. С помощью «первичного» квантования переходим к уравнениям с частными производными, для которых вышеназванные обыкновенные дифференциальные уравнения являются приближением геометрической оптики. Это прежде всего уравнение Шредингера для частиц (электронов например). Для электромагнитного поля – это уравнения Максвелла (или волновые уравнения для потенциалов). Этот переход можно интерпретировать как переход от траекторий классических частиц к полям. Вопрос о том, считать ли уравнения для векторного потенциала или сами уравнения Максвелла аналогами уравнения Шредингера, но для фотонов, несколько замутнен (обычно в книгах его стараются обходить).

Кстати, на мой взгляд, при рассмотрении квантовой механики чересчур большой акцент делается на представлении физических величин операторами. Ведь при изучении уравнений Максвелла тоже можно было бы говорить, что дифференцирование по времени является оператором частоты (с точностью до постоянного множителя), а градиент – оператором волнового вектора. Но обходятся без этого.

  1. И, наконец, вторичное квантование. Один из возможных вариантов его проведения – поле разлагается на пространственные моды. Амплитуда каждой моды является функцией времени и подчиняется обыкновенному дифференциальному уравнению (уравнению осциллятора). Далее к каждому такому осциллятору применяем «первичное» квантование. Некоторые авторы утверждают, что таким образом мы вновь возвращаемся к понятию частиц (именно многих частиц за счет операторов рождения-уничтожения). Процитирую для примера Д.И.
    Блохинцева, который пишет, что после вторичного квантования мы «получаем право говорить о частицах, свойственных данному полу : после квантования поле обнаруживает дискретную, корпускулярную природу». Но что представляет собой такая частица (фотон например) – мне, по крайней мере, честно скажу, совершенно неясно. Представить ее себе я не могу, в отличие от точечной классической частицы (материальной точки).

Другой метод вторичного квантования – прямая замена амплитуд таких пространственных мод на операторы (рождения-уничтожения) на мой взгляд еще менее нагляден и понятен.
Попробую представить некоторые соображения на этот счет. Всегда лучше новые концепции рассматривать на как можно более простом примере. Поэтому в качестве примера возьмем не уравнение с частными производными для какого-то поля, а более простую систему – осциллятор. С нелинейностью.
- малые параметры.

Для начала даже проще рассмотреть лишь квадратичную нелинейность (то-есть пусть =0). Как известно, в первом приближении по малому параметру  система ведет себя как линейный гармонический осциллятор. Во втором приближении появляется гармоника с двойной частотой. Математическое изложение этого вопроса можно посмотреть в «Механике» Ландау и Лифшица, правда там пропущены многие промежуточные выкладки.

Амплитуда второй гармоники (выраженная через амплитуду первой или основной гармоники) такая:


Известный факт – характеристическое уравнение нашей системы (точнее линейного приближения) имеет 2 корня – w и (-w). Опишем этот факт, изъясняясь в квантовомеханическом стиле: система имеет 2 уровня энергии (лучше здесь назвать их не энергетическими, а частотными уровнями) – те же самые w и (-w). Постоянную Планка в качестве множителя (чтобы это была энергия по размерности) дописывать не будем.

Отвлечемся на время. Вспомним качественное описание спонтанного излучения. Квантовая система находится на каком-то энергетическом уровне. Взаимодействие с вакуумными фотонами приводит к тому, что имеется ненулевая вероятность (точнее производная вероятности по времени) перейти в другое энергетическое состояние с излучением кванта электромагнитной энергии.

Вернемся к нашему слабонелинейному осциллятору. Про возникновение второй гармоники скажем так: часть энергии (обычной энергии) с первого частотного уровня «просачивается». Куда? Она может «просочиться» лишь на второй уровень, так как уровней только два. Под влиянием чего происходит это просачивание? Из-за слабого взаимодействия со вторым уровнем. Разница между уровнями – 2w. Эта величина «излучается». И представляет собой вторую гармонику. Итак, из-за слабого взаимодействия между первым уровнем и вторым имеется небольшая амплитуда «перескока» с первого уровня на второй. При этом возникает (излучается) вторая гармоника с частотой как раз 2w.

Если быть точным, второй гармонике соответствует свой частотный уровень – 2w (и -2w). То-есть появляются еще 2 уровня. И они тоже могут взаимодействовать с первыми уровнями и между собой. В результате этого в следующих приближениях будут порождаться высшие гармоники.

Таким образом, если присмотреться к этой системе, описанной таким специфическим языком, то имеются аналогии со спонтанным излучением.

Далее рассмотрим воздействие на нашу слабонелинейную систему внешней гармонической силы частотой . Как известно, в случае нелинейности резонанс возникает не только в случае совпадения частот:

=w,

но и на кратных частотах

=nw, n – целое,

на дробных частотах

=w/k, k – целое,

и, в самом общем случае, если

k=nw, n,k – целые.

То-есть нелинейная система начинает вести себя немного похоже на пространственную (распределенную) систему – появляется бесконечный ряд резонансов.

Кстати говоря, похоже, что именно за счет подобной нелинейности мы можем оценивать музыку. То-есть гармонические звуки, соотносящиеся по частоте как

k-nw=0

при как можно меньших k и n для нас являются выделенными среди всех остальных, то-есть их сочетание более приятно звучит. Почему так происходит? По-видимому в человеческом организме есть резонаторы, воспринимающие звук (звуковые волоски). Причем их много (несколько тысяч) и каждый настроен на свою частоту. Эти резонаторы нелинейны. Таким образом при действии пары сигналов, соизмеримых по частоте (k-nw=0, причем k и n невелики), отклик двух соответствующих им резонаторов будет больше. Хотя в принципе один резонатор может резонировать на несколько соизмеримых по частоте сигналов не только за счет нелинейности, но и за счет распределенности в пространстве (струна например).

Таким образом в нелинейном осцилляторе появляется бесконечный натуральный ряд чисел, нумерующих резонансы. Эти числа можно поставить в соответствие множеству воображаемых объектов (частиц).

Вернемся к вынужденным колебаниям в нелинейном резонаторе. Попробуем описать внешнее воздействие на такой резонатор вот на каком языке. Если мы наблюдаем резонанс на основной частоте – будем говорить, что квант возбуждающей силы превращается в квант осциллятора (то-есть резонатора). Если резонанс на двойной частоте, то-есть частота внешней силы в два раза больше, чем основная частота резонатора, то будем говорить: квант возбуждающей силы превращается в два кванта осциллятора. И, наконец, если идет резонирование на половинной частоте, то два кванта возбуждающей силы превращаются в квант осциллятора.

Еще – как мы уже говорили, в осцилляторе с квадратичной нелинейностью появляется вторая гармоника. В случае резонанса на двойной частоте резонирует именно вторая гармоника. Будем говорить про вторую гармонику, то-есть гармонику с двойной частотой, как про двухквантовое состояние осциллятора. Про третью гармонику (во втором приближении появляется в осцилляторе с кубичной нелинейностью) – как про трехквантовое состояние осциллятора. И так далее.

Как мы помним, амплитуда второй гармоники зависит от амплитуды первой (основной) гармоники. Один квант осциллятора, таким образом, это основная гармоника. Так как двойная и основная гармоника связаны, будем говорить, что имеется лишь один квант осциллятора, если амплитуда его колебаний невелика. Точнее говоря, один квант на каждое из двух частотных состояний. Если амплитуда колебаний увеличилась – появляется заметная примесь двухквантового состояния (то-есть заметная примесь второй гармоники).

Возникает вопрос – насколько должна быть велика амплитуда колебаний, чтоб учитывать двухквантовое состояние (вторую гармонику)? Возможно, тут поможет введение некоего характерного параметра – порции энергии. Если энергия колебаний примерно равна (или меньше) этой порции, многоквантовые состояния можно не учитывать. Величина этой порции будет зависеть от параметра нелинейности. При стремлении нелинейности к нулю величина характерной порции энергии стремится к бесконечности, то-есть при любой амплитуде учитывается лишь один квант. Далее в этот вопрос здесь углубляться не будем.

Итак, что такое на этом языке квант? Если квант один (в одном из двух состояний), то это фактически и есть само это частотное состояние. Если же в этом состоянии два кванта, то выделять каким-либо образом один из них (и говорить о нем) не имеет смысла. А оба вместе они представляют собой вторую гармонику для данного частотного состояния. Аналогично для многих квантов. То-есть, если в каком-то состоянии находится много квантов, значит мы имеем дело с существенно нелинейным режимом колебания с большой амплитудой.

Теперь попробуем привнести математическую теорию для проверки этих построений.

Запишем гамильтониан для уравнения осциллятора с квадратичной нелинейностью.

Далее, следуя М.И.Рабиновичу и Д.И.Трубецкову (книга «Введение в теорию колебаний и волн») введем такие комплексно сопряженные величины:

Координата осциллятора x и импульс p выражаются через эти так называемые «нормальные колебания осциллятора» (кстати, нормальными часто называют и колебания в системе из нескольких связанных осцилляторов, приведенные к главным координатам – но тут другой случай) так:


Подставим все это в гамильтониан.



Представим это выражение в симметричном относительно перестановок и виде:



Далее будем считать и не числами, а операторами, причем первый из них называют оператором рождения, а второй – уничтожения. Их произведения таковы:


Здесь N – это число квантов (частиц) в состоянии.

Таким образом, гамильтониан, выраженный через эти операторы, оказывается равным


Попробуем теперь перейти к дифференциальному уравнению для амплитуд состояний c N фотонами (CN), аналогичному используемому в квантовой механике. Нельзя утверждать, что смысл амплитуд CN тождественен смыслу амплитуд гармоник при решении нелинейного дифференциального уравнения, рассмотренного в начале статьи. Этот вопрос требует дальнейшего исследования. Тем не менее, запишем уравнение (опуская постоянную Планка):

или


Что же можно «выжать» из этого уравнения, точнее системы уравнений?

Более наглядные результаты для первого приближения по параметру  получились бы, если откинуть слагаемое ½ после N.

Сперва – 1-е приближение (=0).

Получаем, что существуют колебания с частотами w, 2w, 3w и так далее. То-есть основная, вторая, третья гармоники и так далее. Если же не откидывать ½, то получится, что их частоты сдвинуты на w/2.

Пусть в первом приближении существует лишь C1 , остальные гармоники – нулевые. Попробуем вычислить стационарное значение C2 (то-есть приравниваем производную C2 по времени нулю). Получим соотношение


«Фокус» в том, что во втором слагаемом CN – подставляется из первого приближения. Но хотя в первом приближении C2 =0, его преждевременно приравнивать нулю, так как в качестве множителей присутствуют не только числа, но и операторы.

Далее учтем соотношения для рождения и уничтожения квантов

Так как в первом приближении лишь C1 отлично от нуля, во втором слагаемом оставляем лишь член с оператором уничтожения в первой степени.


Теперь учтем соотношение уничтожения:


С учетом этого, вычисляя стационарное значение C2 , получим



Это выражение не совпадает с соотношением между амплитудами гармоник, приведенном в начале статьи. Правда и смысл амплитуды CN по-видимому отличается от амплитуды n-й гармоники . Тем не менее качественно суть явления показана верно. Происходит генерация второй гармоники.

Теперь рассмотрим кубичную нелинейность.
- малый параметр.
Гамильтониан:

Выразим координату x и импульс p через «нормальные колебания осциллятора» :

Симметризуем это выражение (то-есть представим в симметричном относительно перестановок и виде):

Переходим теперь к операторам (квантуем):

И к дифференциальному уравнению для амплитуд N-квантовых состояний:

В первом приближении (приравнивая  к нулю) получаем как и раньше гармоники с равноотстоящими частотами. Во втором приближении мы, действуя как и раньше, получим генерацию третьей гармоники, за счет присутствия оператора уничтожения во второй степени. И кроме того, так как в числителе второго слагаемого есть член, где отсутствуют операторы, получим сдвиг частоты для первой гармоники.

На этом пока остановимся.
Подведем итог. На мой взгляд, вторичное квантование представляет собой приближенный (качественный) метод линейного рассмотрения нелинейных эффектов. Ясно, что с помощью линейной теории нелегко адекватно описать существенно нелинейные явления. Хотя, может быть и можно добиться совпадения такой линейной теории с выводами асимптотической теории для обыкновенных дифференциальных уравнений путем усложнения формализма модели.

Список литературы:
1) Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц «Механика» М. “Наука” 1988.

2) Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц «Квантовая механика» М. “Наука” 1989.

3) М.И.Рабинович, Д.И.Трубецков «Введение в теорию колебаний и волн» М. “Наука” 1984.

  1. А.А.Соколов, Ю.М.Лоскутов, И.М.Тернов «Квантовая механика» М. “Просвещение” 1965.

  2. Д.И.Блохинцев «Основы квантовой механики» М. “Наука” 1976.

Похожие:

Нелинейные системы и вторичное квантование (наброски) iconСистемы одинаковых квантовых частиц. Вторичное квантование
Рассмотрим систему одинаковых частиц, т е частиц одного сорта, у которых одинаковы массы, заряды, спины и, возможно, некоторые другие...
Нелинейные системы и вторичное квантование (наброски) iconЭкзаменационные вопросы по курсу «Уравнения математической физики»
Нелинейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Автономные системы. Первые интегралы автономной системы обыкновенных...
Нелинейные системы и вторичное квантование (наброски) iconУравнения математической физики
Учп, редуцируемые к оду, т е квазилинейные системы I порядка с общей главной частью и сводящиеся к ним (нелинейные УЧП I порядка)....
Нелинейные системы и вторичное квантование (наброски) iconНекоммутативный гармонический анализ, теория представлений групп и квантование
С 20 по 24 апреля 2009 года в г. Тамбове, на базе Тамбовского государственного университета имени Г. Р. Державина, состоится Международная...
Нелинейные системы и вторичное квантование (наброски) iconНеисправимый иксион (наброски к интерпретации новой планеты)
Солнечной системы. Пожалуй, наиболее ярким событием (и наиболее важным для астрологов) здесь явилось открытие “второго Плутона” малой...
Нелинейные системы и вторичное квантование (наброски) iconКонспект лекций для студентов направления 550200 "Автоматизация и управление" специальности 210500 "Системы автоматического управления летательными аппаратами"
Этот переход осуществляется дискре­тизацией непрерывного сигнала, т е заменой непрерывной функ­ций f(t) дискретными значениями f1,...
Нелинейные системы и вторичное квантование (наброски) icon1 2 Нелинейные динамические системы 11
Изучая историю науки, мы замечаем два явления, которые можно назвать взаимно противоположными: то за кажущейся сложностью скрывается...
Нелинейные системы и вторичное квантование (наброски) iconОтходы как вторичное сырье для производства товаров и энергии

Нелинейные системы и вторичное квантование (наброски) icon«Старинные меры длины и употребление их в речи»
Цель: вторичное закрепление усвоенных знаний, выработка умений по их применению, перенос в новые условия
Нелинейные системы и вторичное квантование (наброски) iconТаблицы по зоологии Различия между животными и растениями
...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org