Курсовая работа студентки 1 курса факультета нелинейных процессов Научный



Скачать 180.56 Kb.
страница1/3
Дата13.01.2013
Размер180.56 Kb.
ТипКурсовая
  1   2   3


Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО «Саратовский государственный университет

имени Н.Г. Чернышевского»

Кафедра нелинейной физики

Колебания в системе связанных осцилляторов

Курсовая работа

студентки 1 курса факультета нелинейных процессов

****

Научный руководитель

профессор, д. ф.-м. н., ______________Ю. П. Шараевский

Заведующий кафедрой,

чл.-кор. РАН, проф.,

д. ф.-м. н. ______________ Ю. П. Шараевский

Саратов-2008

Содержание





Содержание 2

Введение 3

3

1. Два связанных осциллятора 4

1.1. Анализ системы двух связанных осцилляторов 4

1.2. Затухание в системе связанных осцилляторов 8

1.3. Связанные осцилляторы под действием гармонической силы. 10

2. Колебания системы со многими степенями свободы 12

2.1. Колебания системы N связанных осцилляторов 12

2.2. Колебательные цепи 13

4. Заключение 19

5. Список используемой литературы 20

Введение


В теории колебаний движение заряда в электрическом контуре или груза на пружине, можно описать уравнением линейного гармонического осциллятора. Но на практике в большинстве случаев приходится иметь дело не с одним осциллятором, а с более сложными системами - взаимодействующими между собой осцилляторами. В качестве примеров таких систем можно рассматривать колебания молекул в жидкостях и твердых телах, электрические цепи, состоящие из нескольких взаимосвязанных контуров, два математических маятника, связанные между собой пружиной.

Многие эффекты, проявляющиеся в системе с двумя степенями свободы, характерны для более сложных систем, поэтому осуществляется подробный анализ системы двух связанных осцилляторов. Такой подход позволяет перейти к рассмотрению большого, а затем и бесконечного числа связанных осцилляторов, осуществить переход к сплошной среде.

1. Два связанных осциллятора

1.1. Анализ системы двух связанных осцилляторов



Рассмотрим систему двух связанных осцилляторов на примере двух электрических контуров. Каждый контур состоит из конденсаторов с емкостью C, катушек индуктивности L1 и L2, связан с другим посредством общего конденсатора C1 (рис.1).


Пусть в первом контуре течет ток I1, во втором - I2. Пренебрегаем потерями энергии в контурах.

Тогда по первому закону Кирхгофа:

I = I1 + I2 Рис.1

или после интегрирования

q = q1 + q2, (1)

где q – заряд на обкладках конденсатора C1, q1, q2 – заряды на конденсаторах C; , .

Совершая обходы по каждому контуру в указанных на рис. 1 направлениях, получим уравнения:

и (2)

Уравнения (2) описывают систему связанных осцилляторов. Если 1/C = 0, т.е. отсутствует связь, тогда (2) переходит в систему двух независимых осцилляторов с собственными частотами и .

Рассматривая колебания в системе двух связанных математических маятников (рис.2), соединенных пружиной k, длиной l1 и l2 с одинаковыми массами m = m1 = m2, тогда уравнения движения запишутся в виде:



(3)

Как видно, уравнения (2) для контуров эквивалентны уравнениям (3), описывающим механическую систему. Рис.2

Способ связи осцилляторов, при котором в каждом из уравнений для несвязанных

систем появляются слагаемые, пропорциональные координате

второй системы, называется силовой связью (механические системы) или емкостной связью (колебательный контур) [1].

Аналогичным образом можно записать уравнения для системы двух связанных контуров с индуктивной связью:



Для механических систем такой способ связи называют инерционным [1].

Тип связи зависит от выбора обобщенных координат.[2 (лекция 22)] или другими словами выбором динамических переменных [1].

В общем виде уравнения движения для системы связанных маятников можно записать так [2]:

,

.

Уравнения (2) можно получить, исходя из уравнений Лагранжа – Максвелла (уравнения Лагранжа второго рода) [2]:

,

где T - энергия, - это обобщенная сила. Выражение называют так по аналогии с тем, что имеет место в декартовых координатах, где работа определяется как произведение (X – сила, - перемещение) [2].

Если - такие потенциальные силы, зависящие от , что



То уравнения для электрической цепи становятся следующими:

,

Где U - электрическая, а T – магнитная энергия, - токи, - заряды. При подстановки значений T и U в полученные уравнения приходим к уравнениям (2).
Сложим и вычтем уравнения (2), получим:

,

.

Для упрощения дифференциальных уравнений введем обозначения

и ,

откуда

и .

Пусть для простоты , тогда . И после преобразований получим:

, (4)

, (5)

где .

Т.о. q и q - линейные комбинации обычных координат q1 и q2, которые называются нормальными координатами, и которым соответствуют нормальные частоты:

и ,

а соответствующие нормальным координатам гармонические колебания - собственные моды системы.

Следует отметить, что число независимых (нормальных) координат, необходимое и достаточное для однозначного определения положения системы называется числом степеней свободы системы.[2 (лекция 22)]

В случае, когда q’ = 0 (q1 = q2), колебания системы описываются уравнением (5), т.е. первая нормальная мода с частотой . Ток I1 = I2, в обоих контурах направлены либо по часовой стрелке, либо против нее. Следовательно, ток через конденсатор C1 не протекает. Если же q” = 0 (q1 = - q2), рассматривая уравнение (4), то возбуждается вторая мода с частотой и в любой момент времени через конденсатор C проходит удвоенный ток I1 (I2).

Т. о. уравнения (4), (5) можно свести к уравнениям двух независимых осцилляторов.

Обобщая: линейная консервативная система с N степенями свободы может быть представлена в виде набора N независимых осцилляторов.
Рассмотрим парциальные частоты в колебательном контуре.

Парциальной системой, соответствующей данной координате, является система, получаемая из исходной “закреплением” всех остальных координат [3].

“Закрепление” координат на примере уравнений (2) означает, что либо q1 = 0, либо q2 = 0.

В первом случае получим , во втором .

Т.о. парциальные частоты определяются следующим образом:

и . (6)

При эти частоты равны . Сравним их с нормальными частотами:

, (7)

т.о. парциальные частоты всегда лежат между нормальными.().

Двойное неравенство (7) наглядно демонстрирует, что введение связи в систему связанных осцилляторов увеличивает интервал между собственными частотами.
Перепишем уравнения (2) в соответствии с (6) в виде ():

и (8)

Общее решение выглядит следующим образом:

,

, (9)

При этом

,

.

Введем обозначение , коэффициент связи. Тогда последнее слагаемое, стоящее под корнем будет равным:

.

Связь между осцилляторами мала, если . При этом их колебания не зависят друг то друга. В случае амплитуда колебаний осцилляторов одинакова.

Сильная связь может возникнуть если при любых ρ, или при .

Рассмотрим передачу энергии в системе связанных осцилляторах.

Пусть в начальный момент времени был возбужден первый контур, полагая , имеем:

, , , .

Тогда, подставляя начальные условия в (9) и выражая через , получим решения:

,

.

Во второй формуле амплитуда переменная. Передача энергии от одного колебательного контура к другому за время сопровождается уменьшением амплитуды первого контура и увеличением Рис.3

амплитуды

второго. Получаются биения (рис.3).

1.2. Затухание в системе связанных осцилляторов



Введём затухания в линейную колебательную систему. В общем случае уравнения движения выглядят следующим образом [4]:

,

. (10)

Полагая, что , получаем характеристическое уравнение для системы 10:



Пусть - корни, тогда общее решение запишется в виде:

,

. (11)

Коэффициенты при каждой экспоненте связаны друг с другом соотношениями:

().

Когда нет трения, то и . Наличие затухания приводит к тому, что корни либо действительные, либо комплексно сопряженные. При малых и , (11) примет вид:

,

,

где

, ,

, ,

, , , .
Таким образом, если в системе есть затухания, то общее решение – сумма двух колебаний с частотами и , с комплексными амплитудами.

Рассмотрим затухающие колебания в LC – контуре.

Отличие такого контура от рассмотренного ранее – наличие электрического сопротивления, т.е. в колебательной системе происходит потеря энергии (в механических системах из-за трения).

В каждое уравнение добавляется новое слагаемое – падение напряжения на сопротивлении [2]:

и

Будем искать решение в виде , . При подстановки которых, получим

,

.

Причем, α, β и m – не известны. По отношению к α, и β эти уравнения линейны, имеют нетривиальное решение, когда детерминант равен нулю:
.

Развертывая детерминант, получаем уравнение 4-й степени:

В отсутствии сопротивления (трения) оба корня отрицательны, , где - действительная частота.

При наличии сопротивления корни либо действительные, либо комплексные, попарно сопряженные. Общее решение состоит из суммы двух колебаний с возрастающими или затухающими амплитудами.

В случае системы с сопротивлением происходит сдвиг фаз между колебаниями каждой из частот в обеих координатах.

Затухание в системе связанных осцилляторов может быть неодинаковым для разных мод, поскольку, например, конденсаторы “работают” для различных нормаль­ных колебаний по-разному[6]. Наконец, небольшое за­тухание никак не может повлиять на фундаментальные свойства нормальных колебаний – соответствие между числом нормальных мод и количеством колебательных степеней свободы.

1.3. Связанные осцилляторы под действием гармонической силы.



Пусть на осцилляторы действует внешняя гармоническая сила с частотой p.

Тогда уравнения движения в общем случае:

,

. (12)

Общее решение системы - сумма однородного (собственные колебания) и частного (правые части системы ненулевые) решений [1].

Решение ищем в виде:

,

.

Подставляя эти выражения в (12), получим:

,

. (13)

Детерминант системы

.

Если ∆=0, то в системе установятся свободные колебания, рассматривались ранее и также были определены для них нормальные частоты. Если ∆≠0, то для всех p система (13) имеет решение, причем однородные уравнения не имеют решения.

Решение уравнений системы (13):
, .

Резонансные кривые, изображенные на рис.4 позволяют сделать следующие выводы.

1. Пусть сила действует на первую парциальную систему, т.е. , , тогда возможно совпадение частоты внешней силы и парциальной частоты второго осциллятора - динамическое демпфирование [2], первый осциллятор не колеблется:

, .

2. Резонанс наступает при совпадении частоты внешней силы с одной из собственных частот системы, происходит неограниченный рост амплитуд в обоих осцилляторах.

3. при частоте внешней силы второй осциллятор не колеблется, это возможно, если связь носит смешанный характер.

Пусть сила действует на второй осциллятор, т.е. , , тогда

.

Для линейных систем справедлива теорема взаимности [2]: если на второй осциллятор действует сила , то движение первой координаты – такое же, как Рис.4

движение второй координаты, когда на первый осциллятор действует сила .

Она справедлива для линейных систем с любым числом степеней свободы, в том числе и для сплошных сред.

В электродинамике, например, теорема взаимности применяется в теории антенн.
  1   2   3

Похожие:

Курсовая работа студентки 1 курса факультета нелинейных процессов Научный iconКурсовая работа студентки 1 курса дневного отделения факультета истории искусства рггу киташовой Оксаны Алексеевны
Сравнительный анализ картин Поля Гогена “Сбор плодов” 1899 г и Винсента Ван Гога “Красные виноградники в Арле” 1888 г. (Гмии)
Курсовая работа студентки 1 курса факультета нелинейных процессов Научный iconКурсовая работа студентки 3 курса Бабской Евгении Михайловны Однонуклеотидные полиморфизмы ppar-зависимых генов

Курсовая работа студентки 1 курса факультета нелинейных процессов Научный iconКурсовая работа по литературе стран изучаемого языка студентки III курса факультета международных отношений группы л-301
Смерть Байрона вызвала на континенте в либеральной части общества чувство печали и была оплакана Гёте (во II ч. "Фауста" в образе...
Курсовая работа студентки 1 курса факультета нелинейных процессов Научный iconКурсовая работа студентки 2-го курса Гарушянц С. Тьюторы: Равчеев Д. А., Герасимова А. В
Компьютерный анализ регулона, отвечающего за биосинтез триптофана, в геномах архей
Курсовая работа студентки 1 курса факультета нелинейных процессов Научный iconКурсовая работа Студентки третьего курса отделения истории Японии
История и предпосылки возникновения теорий о пребывании Ёсицунэ на Хоккайдо и отождествления его с Чингисхано
Курсовая работа студентки 1 курса факультета нелинейных процессов Научный iconДипломная работа студентки 6 курса заочного отделения филологического факультета специальности Филология
Анализ жанра irc
Курсовая работа студентки 1 курса факультета нелинейных процессов Научный iconКурсовая работа студентки II курса отиПЛа Востриковой Наталии на тему
Охватывает объект целиком’ (при единичном референте объекта) и объектного дистрибутива ‘действие p последовательно затрагивает много...
Курсовая работа студентки 1 курса факультета нелинейных процессов Научный iconКурсовая по экологии на тему " Охрана литосферы". Студентки 1-го курса факультета мбда
Наибольшая трудность, которая определяет многое в решении экологических проблем все же недостаточная озабоченность человеческого...
Курсовая работа студентки 1 курса факультета нелинейных процессов Научный iconДипломная работа Студентки 5 курса Е. С. Орловой. Научный к и. н., доцент М. А. Рыблова. Волгоград 2002
Декоративные и архитектурные украшения жилища как система языческих знаков – оберегов
Курсовая работа студентки 1 курса факультета нелинейных процессов Научный iconКурсовая работа Егоров В. О., Студент 2-ого курса д/о Научный Главный научный сотрудник
Вселенной показали, что привычные модели не могут адекватно описать ее поведение. Расчеты позволяют сделать вывод, что остается неучтенной...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org