Курсовая работа студентки 1 курса факультета нелинейных процессов Научный



Скачать 180.56 Kb.
страница3/3
Дата13.01.2013
Размер180.56 Kb.
ТипКурсовая
1   2   3

2.2. Колебательные цепи



Система связанных осцилляторов, в которой они упорядочены так, что каждый из осцилляторов связан только с двумя соседями (за исключением двух крайних), называется цепочкой осцилляторов [1].

На рис.5 изображены примеры колебательных цепей с силовой связью (а, б) и индукционной (в, г).

Колебательные цепи – в зависимости от их реакции на периодические возмущения на входе – называют фильтрами высоких и низких частот [4].

Фильтры низких частот (рис. 5а, 5б), через которые могут проходить только возмущения с частотами, лежащими ниже определенной граничной частоты. Фильтры высоких частот (рис. 5в, 5г) пропускают колебания, частота которых лежит выше . Рис. 5

некоторой граничной частоты

В качестве примеров фильтров можно привести широко распространенные радиотехнические цепочки, электронные приборы СВЧ диапазона и модель кристалла, в котором пружины заменяют межатомные связи.

Рассмотрим схему, изображенную на рис. 5а. Пусть имеется N+2 шара, и оба конца цепи закреплены. Масса каждого шара – m и жесткость пружины k. Тогда уравнение движения для n-ой массы можно записать так:

. (22)

Введем комплексные амплитуды :

.

Подставляя это решение в (22):

, , (23)

Положим распределение амплитуд колебаний в виде , где A и - некоторые постоянные. Тогда из уравнения (23) следует:

(24)

Если цепочка состоит из механических маятников, то при , (24) примет вид:

(24’)

Оба конца цепи находятся в положении равновесия: и . Из этого условия находим, что gif" name="object170" align=absmiddle width=108 height=19>, или

, . (25)

Тогда собственные частоты определяются следующим образом:

.
Спектр – совокупность всех собственных частот системы [1]. Расстояние между любыми двумя точками спектра равно . На рисунке 6, демонстрирующем зависимость , точками отмечено положение собственных частот, лежащих в интервале между крайними точками

и .

Рис.6

Распределение собственных частот вдоль оси неоднородно. Увеличивая количество осцилляторов N, плотность проекций точек, изображающих собственные частоты, на эту ось будет возрастать быстрее около крайних точек.
Если , а движущиеся элементы находятся в ограниченном объеме, то расстояние между соседними элементами стремится к нулю. Система ведет себя так, как если бы она была непрерывной, т.е. движение соседних элементов почти одинаково.

Если в нашем случае увеличивать количество масс и пружин, а их самих уменьшать, то рассматриваемая цепь переходит в струну. Картина колебаний принимает вид стоячих волн.

Стоячие волны являются нормальными модами непрерывных систем [5]. Непрерывная система имеет бесконечное число степеней свободы и соответственно бесконечным числом мод.

Общее движение системы может быть описано как суперпозиция ее мод. Амплитуды и фазовые константы определяются из начальных условий.
Назовем длиной волны – расстояние вдоль системы между двумя осцилляторами, которые колеблются в одинаковой фазе [1].

Тогда для j-го колебания можно записать:

,

где d – расстояние меду соседними осцилляторами, определяется формулой (25), - длина волны j-го колебания. Этот параметр для колебаний в пространстве имеет такой же смысл, что и период T для колебаний во времени.

Длина всей цепочки равна (N+1)d. По длине системы должно укладываться целое число полуволн – условие резонанса, которое выглядит следующим образом:

.

Учитывая предыдущее уравнение, получим (25).

Вводя волновое число k, равное , имеем .

Следовательно, колебания цепочки осцилляторов можно описывать в терминах стоячих волн.

Рассмотрим спектр колебаний цепочки с большим числом элементов, например модель кристалла. В любом бесконечно малом интервале частот будет содержаться большое число собственных мод . Поэтому вводится функция - плотность распределения собственных частот [1]:

.

Тогда средняя энергия осциллятора, находящегося в состоянии теплового равновесия при температуре T определяется как:

,

где - постоянная Планка, - постоянная Больцмана.

Откуда энергия внутренней среды равна



Это полученное соотношение применяется, например, в теории теплоемкости кристаллов при известном .

При , используя формулы (24) и (25) и , получаем:

.

Вблизи границ спектра обращается в бесконечность(рис.7):

, ,

, .

Обращение в бесконечность функции в критических точках – особенность одномерных цепочек. Для колебаний в двумерных (пластины, мембраны) и трехмерных кристаллических решеток - остается конечной, а ее производная терпит разрыв. Рис.7

Вид функция зависит от структуры колебательной цепи, т.е. от количества элементов цепи разных типов на одном периоде системы и от их масс.
3. Переход к сплошной среде
Рассмотрим цепочку связанных осцилляторов – одномерную кристаллическую решетку, представляющую собой упорядоченную структуру. Другими примерами такой структуры являются цепочка, состоящая из LC-элементов, набор связанных пружинами маятников. Смещая в такой системе один элемент от положения равновесия, получаем смещение соседних элементов, т.е. по всей структуре побежит волна.

Если в уравнении Клейна-Гордона, которое описывает распространение одномерных волн в среде с дисперсией [1]:

, (26)

где (связанные маятники массой m, имеющие собственную частоту , связь между которыми осуществляется пружинами с жесткостью ), устремить к нулю, то получим

. (27)

Это классическое волновое уравнение. Любая одномерная волна может быть описана решением (27).

Подставляя в (26) имеем

. (28)

- сдвиг фазы волны при смещении вдоль цепочки осцилляторов на одну ячейку.

Уравнение (28) получается из (24’), если .

Дисперсионное уравнение, описывающее связь и k, в общем случае выглядит следующим образом:

.

Дисперсия существует, описывается уравнением (28), что обусловлено существованием пространственного и временного собственного масштабов ( и a)..

ka<<1, (a<<) справедливо для достаточно длинных волн, т.е. цепочку осцилляторов можно рассматривать как одномерную сплошную среду, описываемую уравнением (26).

Наличие дисперсии обусловлено существованием собственного временного масштаба .

При , , т.е. длина маятника и не влияет на его колебание, следовательно, получаем сплошную среду без дисперсии (отсутствие пространственного и временного масштабов). Каждый маятник имеет собственный период , «среда» не будет воспринимать частоту меньше собственной.

В случае в уравнении (24’) соотношение между a и может быть любым (), тогда получаем цепочку связанных шариков. Дисперсия в системе сохраняется, она существенна, пока a не мало по сравнению с .

Существование дисперсии в среде связанно с наличием в ней собственных, не зависимых от параметров волны пространственных и временных масштабов.

4. Заключение


В данной работе были рассмотрены колебания в системе двух связанных осцилляторов, проведен анализ этой системы в случае свободных колебаний и при воздействии внешней силы. Рассмотрено явление внутреннего резонанса, при котором отдельные подсистемы (парциальные) обмениваются энергией друг с другом, а также явление динамического демпфирования, которое используется на практике для гашения «вредных» колебаний.

Выводы, относящиеся к колебаниям в системе с двумя степенями свободы, обобщаются на случай колебаний в более сложных электрических схемах или механических вибраций.

В работе осуществлен переход от колебательной цепочки, набора элементарных осцилляторов, к одномерной сплошной среде.

С помощью некоторых цепочек можно реализовать практически любую дисперсионную зависимость, на основе которых исследуется распространение волн в различных средах.


5. Список используемой литературы


[1] Трубецков Д.И., Рожнев А.Г. Линейные колебания и волны. – М.: Физматлит, 2001.

[2] Мандельштам Л.И. Лекции по колебаниям. Полное собрание трудов. Т. 4. –М.:Изд-во АН СССР, 1957.

[3]Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. – М.: Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика. 2000.

[4] Магнус К. Колебания. – М.:Изд-во Мир, 1982.

[5] Крауфорд Ф. Волны. Берклеевский курс физики. Т. 3. – М.: Наука, 1974.

[6] Козлов С.Н., Зотеев А.В. колебания и волны. Волновая оптика. – М.: Физический факультет МГУ, 2006.



1   2   3

Похожие:

Курсовая работа студентки 1 курса факультета нелинейных процессов Научный iconКурсовая работа студентки 1 курса дневного отделения факультета истории искусства рггу киташовой Оксаны Алексеевны
Сравнительный анализ картин Поля Гогена “Сбор плодов” 1899 г и Винсента Ван Гога “Красные виноградники в Арле” 1888 г. (Гмии)
Курсовая работа студентки 1 курса факультета нелинейных процессов Научный iconКурсовая работа студентки 3 курса Бабской Евгении Михайловны Однонуклеотидные полиморфизмы ppar-зависимых генов

Курсовая работа студентки 1 курса факультета нелинейных процессов Научный iconКурсовая работа по литературе стран изучаемого языка студентки III курса факультета международных отношений группы л-301
Смерть Байрона вызвала на континенте в либеральной части общества чувство печали и была оплакана Гёте (во II ч. "Фауста" в образе...
Курсовая работа студентки 1 курса факультета нелинейных процессов Научный iconКурсовая работа студентки 2-го курса Гарушянц С. Тьюторы: Равчеев Д. А., Герасимова А. В
Компьютерный анализ регулона, отвечающего за биосинтез триптофана, в геномах архей
Курсовая работа студентки 1 курса факультета нелинейных процессов Научный iconКурсовая работа Студентки третьего курса отделения истории Японии
История и предпосылки возникновения теорий о пребывании Ёсицунэ на Хоккайдо и отождествления его с Чингисхано
Курсовая работа студентки 1 курса факультета нелинейных процессов Научный iconДипломная работа студентки 6 курса заочного отделения филологического факультета специальности Филология
Анализ жанра irc
Курсовая работа студентки 1 курса факультета нелинейных процессов Научный iconКурсовая работа студентки II курса отиПЛа Востриковой Наталии на тему
Охватывает объект целиком’ (при единичном референте объекта) и объектного дистрибутива ‘действие p последовательно затрагивает много...
Курсовая работа студентки 1 курса факультета нелинейных процессов Научный iconКурсовая по экологии на тему " Охрана литосферы". Студентки 1-го курса факультета мбда
Наибольшая трудность, которая определяет многое в решении экологических проблем все же недостаточная озабоченность человеческого...
Курсовая работа студентки 1 курса факультета нелинейных процессов Научный iconДипломная работа Студентки 5 курса Е. С. Орловой. Научный к и. н., доцент М. А. Рыблова. Волгоград 2002
Декоративные и архитектурные украшения жилища как система языческих знаков – оберегов
Курсовая работа студентки 1 курса факультета нелинейных процессов Научный iconКурсовая работа Егоров В. О., Студент 2-ого курса д/о Научный Главный научный сотрудник
Вселенной показали, что привычные модели не могут адекватно описать ее поведение. Расчеты позволяют сделать вывод, что остается неучтенной...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org