Задача: определение характеристик затухающих колебаний



Скачать 155.21 Kb.
Дата13.01.2013
Размер155.21 Kb.
ТипЗадача
Цель работы: изучение свободных затухающих колебаний в электрическом колебательном контуре.
Задача: определение характеристик затухающих колебаний.
Приборы и принадлежности: источник питания, колебательный контур, осциллограф, генератор звуковой частоты, магазин сопротивлений, преобразователь импульсов.
Техника безопасности: экспериментальная установка питается напряжением 220 В, поэтому токоведущие части должны быть закрыты.

ВВЕДЕНИЕ
В цепи, содержащей индуктивность и емкость, могут возникать электрические колебания. Поэтому такую цепь называют колебательным контуром.

Рассмотрим электрический колебательный контур, состоящий из последовательно соединенных катушки индуктивности L, конденсатора C и сопротивления R (рис. 1).


Рис. 1. Колебательный контур.
В состоянии «равновесия» ток в контуре и заряд на обкладках конденсатора равны нулю. Колебания в контуре можно вызвать, либо сообщив обкладкам конденсатора начальный заряд (например, с помощью генератора импульсов), либо возбудив в индуктивности ток (например, путем выключения внешнего магнитного поля, пронизывавшего витки катушки). В данной работе используется первый способ возбуждения колебаний.

Пусть в момент времени t = 0 на обкладках конденсатора возникли заряды +q и –q. Конденсатор C начнет разряжаться, и в контуре возникает ток i = dq / dt. Изменение величины тока, проходящего через катушку индуктивности L, вызывает в ней возникновение ЭДС самоиндукции , препятствующей изменению тока. Поэтому, даже в момент времени, когда заряд q на емкость C становится равным нулю, ток в контуре не исчезает, в следствие ЭДС самоиндукции продолжает идти в прежнем направлении. Конденсатор C опять заряжается, но знак зарядов на его обкладках изменяется на противоположный. После того как ток i становится равным нулю, весь цикл разряда повторяется в обратном направлении.

При отсутствии в контуре активного сопротивления (R=0) колебания заряда q и тока i никогда бы не прекратились. Но во всяком реальном контуре R≠0 (сопротивление соединительных проводов, обмотки катушки индуктивности…). Поэтому энергия электрических колебаний постепенно уменьшается, переходя в тепловую, и колебания затухают.

Найдем уравнение свободных колебаний в контуре. Суммарное падение напряжения на конденсаторе UC и сопротивления UR равно ЭДС самоиндукции : UC + UR = .

Учитывая, что UC = q/C, UR = i R, gif" name="object4" align=absmiddle width=23 height=21> = -L di/dt, I = dq/dt, получим дифференциальное уравнение колебаний в контуре:
. (1)

Введем понятие собственной частоты контура
(1а)

и коэффициента затухания . (1б)

Тогда уравнение (1) можно записать в стандартном виде:
. (2)

Аналогичные уравнение получаются и для величин i, UC, UR.

Решение уравнения (2) имеет следующий вид:
, (3)
где (4)

определяет частоту колебаний, а φ – начальную фазу колебаний. Величины φ и q0, как правило, определяются начальными условиями. Амплитуда колебаний A(t), как видно из (3), дается величиной и, следовательно, зависит от времени. Поэтому затухающие колебания не являются гармоническими.

Характер зависимости q(t) определяется (см.(3)) соотношением между величинами ω0 и δ, т.е. параметрами контура R, L, C. Когда активное сопротивление контура мало (R << , δ << ), частота колебаний ω близка к частоте ω0.

Свободные затухающий колебания изображены на рис. 2.




Рис. 2. Свободные затухающие колебания (δ ‹‹ ω0)
Период колебаний T определяется выражением
. (5)

Затухание колебаний принято характеризовать логарифмическим декрементом затухания

, (6)

определяющим относительное уменьшение амплитуды колебаний за один период. Чем меньше логарифмический декремент затухания, тем ближе колебания в контуре к гармоническим, тем больше число колебаний в системе при заданных начальных условиях:

, (7)

где Ne – число колебаний, совершаемых за время, в течение которого амплитуда уменьшается в e раз (e = 2,718 – основание натурального логарифма).

Энергетические потери в контуре принято характеризовать добротностью контура Q:

, (8)

где W – энергия, запасенная в контуре, а ΔW – уменьшение энергии за период ΔW = W(t) – W(t+T).

Можно показать, что добротность контура обратно пропорциональна логарифмическому декременту затухания:
. (9)

С увеличением активного сопротивления R логарифмический декремент затухания λ растет, а добротность контура Q уменьшается.

Соответственно уменьшается число колебаний Ne. При R > 2 колебания в контуре вообще не наблюдаются (рис. 3).

Значение

, (10)

при котором колебательный режим переходит в апериодический, называется критическим сопротивлением Rкр контура.


Рис. 3. Апериодический режим (δ>ω0, R>Rкр)

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЙ
В данной работе для исследования затухающих колебаний в реальном колебательном контуре, включающем активное сопротивление R, применяется осциллограф. При этом через генератор звуковых колебаний производится периодическая подзарядка конденсатора, т.е. кривая затухающих колебаний периодически повторяется.



Рис. 4.

При не очень больших значениях сопротивления контура (R < 2, где L – индуктивность катушки, C – емкость конденсатора), на экране осциллографа наблюдается картина затухающих колебаний, как это показано на рис. 4, что соответствует закону изменения напряжения
(11)

Если генератор задает частоту ν, то цикл подзарядки конденсатора длится (1/ν) секунд, этому времени на экране осциллографа соответствует отрезок L1. Периоду колебаний T соответствует отрезок L. Следовательно, период затухающих колебаний может быть определен по формуле
. (12)

Измерив амплитуду колебаний, отстоящие друг от друга на время, равное периоду



можно определить логарифмический декремент затухания
или (13)

и его среднее значение

. (14)

Тогда коэффициент затухания можно рассчитать как
. (15)

Значение сопротивления в контуре можно изменять, например, с помощью магазина сопротивлений (Rм). Зависимость логарифмического коэффициента затухания от сопротивления Rм в контуре показана на рис. 5.






Рис. 5.
Полное активное сопротивление контура R складывается из активного сопротивления катушки индуктивности Rk и сопротивления магазина Rм:
R = Rk + Rм

Значение Rk можно определить, экстраполируя график до значения . Тогда согласно формуле для коэффициента затухания δ = R/2L, можно рассчитать индуктивность L катушки
(16)

и, считая δ << ω0, емкость конденсатора из формулы Томсона
. (17)
При больших значениях сопротивления контура (R > 2) на экране осциллографа будет наблюдаться апериодический процесс, показанный на рис. 6.



Рис. 6.
Измерения логарифмического декремента затухания λ можно проводить также с помощью фазовой кривой u = f(i). Если сопротивление контура R < 2, то фазовые кривые имеют вид, показанный на рис. 7.



Рис. 7.
Измеряя значение напряжения, разделенные промежутком времени, равным периоду, можно по формулам (13) и (14) определить логарифмический декремент затухания λ. Аналогичные измерения можно провести и по значениям тока
или . (18)

При больших значениях сопротивления контура (R > 2) фазовая кривая для апериодического разряда принимает вид, показанный на рис. 8.



Рис. 8.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА
Для изучения реального колебательного контура предназначена экспериментальная установка, общий вид которой приведен на рис. 9.

  1. ФПЭ-10 – модуль

  2. ФПЭ-ИП – источник питания

  3. ФПЭ-08 – модуль

  4. ФПЭ-МС – магазин сопротивлений

  5. PO – осциллограф

  6. PQ – генератор звуковой частоты


Напряжение от источника питания ФПЭ-ИП и от генератора подается на модуль ФПЭ-08 (преобразователь импульсов), и далее – на вход колебательного контура (модуль ФПЭ-10) для циклической подзарядка. Выходы ''X'' и ''Y'' модуля ФПЭ-10 соединяются с соответствующими гнездами осциллографа PO. Кроме того, к колебательному контуру модуля ФПЭ-10 подсоединяется магазин сопротивления ФПЭ-МС, что позволяет изменять величину активного сопротивления в контуре.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Задание 1. Измерение периода T затухающих колебаний, логарифмического декремента λ и параметров

L, C, R колебательного контура.
1. На модуле ФПэ-08 (преобразователе импульсов) нажать среднюю клавишу (см. рис. 9) и правую клавишу “скважность грубо”.

2. На магазине сопротивлений ФПЭ-МС установить значение сопротивления Rм = 100 Ом.

3. На генераторе установить частоту ν = 250 Гц и напряжение 2-3 В.

4. Включить тумблер “Сеть” на приборах.

5. Получить на экране осциллографа устойчивую картину затухающих колебаний (см. рис. 4).

6. Измерить на экране отрезки L и L1 (см. рис. 4). По формуле (12) рассчитать период колебаний и его значение записать в табл. 1.
Таблица 1

№ п.п.

Т

с

Rм

Ом







λ/

λ//



β

с1

Rk

Ом

L

Гн



Гн

C

Ф

Деления

1




100


































2

300

























3

500

























4

600




























  1. Измерить в делениях амплитуду колебаний , , на экране осциллографа. По формулам (13) и (14) рассчитать для каждой пары измерений логарифмический декремент затухания λ и го среднее значение . Результаты занести в табл. 1.

  2. Вычислить коэффициент затухания по формуле (15).

  3. Повторить измерение по п.п. 9, 10 для значений на магазине сопротивлений Rм = 300, 500, 600 Ом.

  4. Построить график зависимости логарифмического декремента затухания от значений магазина сопротивлений = f(Rм), как это показано на рис. 5.

  5. Экстраполируя график до значения 0, получить значение активного сопротивления Rk катушки индуктивности.

  6. Для каждого значения Rм вычислить индуктивность L катушки по формуле (16) и рассчитать среднее арифметическое значение для всех измерений.

  7. Определить емкость C конденсатора по формуле (17).

  8. Подобрать минимальное (критическое) значение магазина сопротивлений , при котором наблюдается апериодический разряд конденсатора (см. рис. 6). Это значение не превышает 2000 Ом. Результат записать в табл. 2.


Таблица 2



Ом



Ом



Ом



%
















  1. Проверить выполнение равенства



и найти относительную ошибку


Результаты занести в табл. 2.
Задание 2. Исследование фазовых кривых.


  1. Установить на магазине сопротивлений ФПЭ-МС значение Rм = 100 Ом.

  2. Включить осциллограф. Поместить фазовую кривую в центре экрана.

  3. Измерить амплитуду колебаний и по формулам (13) и (14) рассчитать для каждой пары значений логарифмический декремент затухания λ и его среднее значение . Результаты занести в табл. 3.


Таблица 3

№ п.п.

Rм

Ом







λ/

λ//









λ/

λ//



Деления

Деления












































































































































































  1. Измерить амплитуду колебаний , , ; по формулам рассчитать для каждой пары измерений логарифмически декремент затухания λ и найти его среднее значение . Результаты занести в табл. 3.

  2. Повторить измерения по п.п. 4,5 для значений сопротивления магазина Rм = 200, 300, 400 Ом.

  3. Увеличить сопротивление на магазине сопротивлений, получить фазовую кривую для апериодического разряда конденсатора, как показано на рис. 8. Вид полученной кривой зарисовать в журнал наблюдений.



КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ


  1. Начертить схему колебательного контура для затухающих колебаний и обозначить входящие в него элементы.

  2. Начертить график затухающих колебаний и дать определение декремента затухающих колебаний, логарифмического декремента затухания.

  3. Пояснить физический смысл добротности контура.

  4. Написать закон изменения амплитуды затухающих колебаний со временем и начертить график этой зависимости.

  5. Являются ли затухающие колебания гармоническими?

  6. Вывести дифференциальное уравнение затухающих колебаний и пояснить смысл каждого слагаемого в уравнениях.

  7. Решить дифференциальное уравнение затухающих колебаний, получить выражение для частоты затухающих колебаний. Как зависит эта частота от L?

  8. Решив дифференциальное уравнение затухающих колебаний, получить выражение для амплитуды этих колебаний.

  9. Как будет меняться характер колебаний при увеличении активного сопротивления контура? Анализ подтвердить расчетом.

  10. Как измениться частота колебаний контура, если в его катушку ввести железный (медный) сердечник? если увеличить расстояние между пластинами конденсатора?

  11. Могут ли существовать колебания в контуре при R0? При L0?

  12. Показать, что при малом затухании (δ<<ω0) добротность определяется выражением Q ω0L/R = ω0/2δ.

  13. Показать, что при малом затухании Q Rкр/2R.

  14. Могут ли в контуре, состоящем из конденсатора и активного сопротивления, возникать свободные колебания?

  15. Какова энергия конденсатора в колебательном контуре в моменты максимумов тока в катушке в случае, когда сопротивление ничтожно мало?



СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Савельев И.В. Курс общей физики: В 3 т. – М.: Наука, 1988.–Т.2. – 496 с.

  2. Тульчинский М.Е. Качественные задачи по физике. – М.: Просвещение, 1972. – 240 с.

  3. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высшая школа, 1998. – 543 с.








Похожие:

Задача: определение характеристик затухающих колебаний iconЛабораторная работа №29 исследование электрических затухающих колебаний
Цель работы: ознакомление с методом получения затухающих электрических колебаний и определение параметров колебательного контура...
Задача: определение характеристик затухающих колебаний iconИзучение затухающих колебаний в колебательном контуре
Ц/р: ознакомление со свойствами колебательного контура и измерение характеристики затухающих колебаний
Задача: определение характеристик затухающих колебаний iconИсследование затухающих колебаний
Цель работы – изучение затухающих колебаний в колебательном контуре при различных величинах активного сопротивления контура, расчет...
Задача: определение характеристик затухающих колебаний iconАмплитуда затухающих колебаний уменьшилась в е3 раз за 100 колебаний. Логарифмический декремент затухании равен: Амплитуда колебаний маятника длиной 1 м за 10 минут уменьшилась в два раза
Амплитуда гармонического колебания А=5см, период Т=4с. Найти максимальное ускорение колеблющейся точки: (0,123)
Задача: определение характеристик затухающих колебаний iconРешение Запишем уравнение логарифмического декремента колебаний, (1)
Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за время 1=5 мин уменьшилась в два раза. За какое время, считая от начального...
Задача: определение характеристик затухающих колебаний iconЛабораторная работа №25 изучение колебаний пружинного маятника
Цель работы: изучение основных характеристик, описывающих процесс собственных и вынужденных механических колебаний
Задача: определение характеристик затухающих колебаний iconИзучение затухающих колебаний
Цель работы: изучить затухающие колебания, определить коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания
Задача: определение характеристик затухающих колебаний iconУрок-практикум «газовые законы. Определение характеристик газа» Каплина Г. В. учитель физики мг №79 г. Алматы Тема урока: «Газовые законы. Определение характеристик газа» Цель урока: организация деятельности учащихся по обобщению
Обучающие: формирование навыков решения задач, анализа графиков зависимости параметров газа одного от другого, экспериментального...
Задача: определение характеристик затухающих колебаний iconОпределение деформационных характеристик грунтов различными методами
Определение деформационных характеристик грунтов, а именно модулей деформации и коэффициента Пуассона, согласно гост 12248-96 (1997),...
Задача: определение характеристик затухающих колебаний iconДля данной колебательной системы (КС), представленной на соответствующем рисунке, необходимо
Вывести дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний, если сила сопротивления движению кс пропорциональна скорости,...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org