Решение Запишем уравнение логарифмического декремента колебаний, (1)



Скачать 85.75 Kb.
Дата13.01.2013
Размер85.75 Kb.
ТипРешение





2. Затухающие колебания

2.1.1. Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за время 1=5 мин уменьшилась в два раза. За какое время, считая от начального момента, амплитуда уменьшится в восемь раз?
Решение

1. Запишем уравнение логарифмического декремента колебаний

, (1)

где А(t)  амплитуда колебаний в начальный момент времени, А(t + T)  значение амплитуды через один период колебания,   коэффициент затухания.

2. Определим из уравнения (1) величину коэффициента затухания, переписав его следующим образом

. (2)

3. Воспользовавшись соотношениями (2) определим искомое время, соответствующее уменьшению амплитуды в восемь раз

. (3)
2.1.2. Логарифмический декремент маятника = 0,003. Определите число полных колебаний N, которые совершит маятник при уменьшении амплитуды в два раза.
Решение

1. Запишем уравнение логарифмического декремента колебательного процесса, воспользовавшись уравнением

, (1)

где N  число полных колебаний, соответствующих моменту времени .

2. Из уравнения (1) определим искомую величину

. (2)
2.1.3. Определите период затухающих колебаний, если период собственных колебаний системы без потерь равен Т0 = 1с, а логарифмический декремент составляет  = 0,628.
Решение

1. Период затухающих колебаний

, (1)

откуда

, (2)

. (3)
2.1.4. Известно, что при затухающих колебаниях за  = 0,25 Т смещение тела составило х = 4,5 см, период затухающих колебаний Т = 8 с, логарифмический декремент  = 0,8. Начальная фаза колебаний равна  = 0. Подучить уравнение затухающих колебаний и представить его графически.
Решение

1. Определим величину циклической частоты затухающих колебаний

. (1)

2. Коэффициент затухания  определим из уравнения логарифмического декремента

.
(2)

3. Значение амплитуды колебаний для момента времени  определим, воспользовавшись уравнением затухающих колебаний

, (3)

(4)

. (5)

4. Запишем уравнение затухающих колебаний применительно к полученным данным

. (6)

5. Для построение графика колебаний вычислим значение x(t) для моментов времени: 1 = T/4 = 2 c; 2 = T/2 = 4 c; 3 =3T/4 = 6 c; 4 = T = 8 c; 5 = 5T/4 = 10 c; 6 = 3T/2 = 12 c. Для чего эти величины времени, кратные Т/4, последовательно подставим в уравнение (6)


, с

2

4

6

8

10

12

х(), см

4,5

0

 3

0

1,98

0






2.1.5. Задано уравнение затухающих колебаний точки

,

Найти зависимость скорости движения точки в функции времени, представить зависимость графически.

Решение

1. В данном случае амплитуда колебаний равна А = 10 см, циклическая частота  = (/3) рад/с, коэффициент затухания   = 0,1 с 1, начальная фаза равна нулю.

2. Определим скорость затухающих колебаний, для чего продифференцируем по времени заданное уравнение движения

, (1)

. (2)

3. Определим период колебаний

. (3)

4. Вычислим значение скорости в следующие моменты времени:

t1 =0,

; (4)

t2 = T/4 = 1,5 с

; (5)

t3 = T/2 = 3 c

; (6)

t4 = T = 6 с

; (7)

t5 = 5T/4 = 7,5 с

; (8)

t6 = 3T/2 = 9 c

; (9)

t7 = 2T = 12 c






2.1.6. Математический маятник колеблется в среде, обеспечивающей величину логарифмического декремента = 0,5. Во сколько раз уменьшится амплитуда колебаний по истечении одного полного периода колебаний?
Решение

1. Запишем уравнение затухающих колебаний в общем виде

. (1)

2. Для определения амплитудных значений отклонений маятника уравнение (1) необходимо переписать при условии sin(t + 0) = 1

, (2)

. (3)
1.2.7. Математический маятник в течение 120 секунд уменьшил амплитуду колебаний в 4 раза. Определить величину логарифмического декремента, если длина нити подвеса составляет l = 2,28 м.
Решение

1. Запишем уравнение затухающих колебаний

. (1)

2. Определим период незатухающих колебаний маятника

. (2)

3. Перепишем уравнение (1) с учётом заданных значений величин и найденного периода

. (3)
2.1.8. Математический маятник длиной колеблется в среде с коэффициентом затухания = 0,045.Определить время , в течение которого амплитуда колебаний уменьшится в 10 раз.
Решение

1. Уравнение колебаний математического маятника можно записать, представив отклонение грузика в угловых величинах

, (1)

где   частота затухающих колебаний.

2. Запишем уравнение (1) применительно к амплитудным значениям отклонения

. (2)

3. Определим, используя уравнения (2) отношение амплитуд

. (3)
2.1.9. Математический маятник длиной l = 1,09 м колеблется в вязкой среде с коэффициентом затухания  = 0,3 с 1. Во сколько раз должен возрасти коэффициент затухания, чтобы гармонические колебания оказались невозможными?
Решение

1. Запишем уравнение периода затухающих колебаний

, (1)

из которого следует, что предельное значение коэффициента затухания соответствует max = 0, или

. (2)

2. Коэффициент затухания должен увеличиться в  - раз

. (3)
2.1.10. Амплитуда затухающих колебаний за время 1 = 100 с уменьшилась в n1 = 20 раз. Во сколько раз амплитуда уменьшится за время 2 = 200 с?
Решение

1. Запишем уравнение для амплитуд затухающих колебаний

. (1)

2. В данном случае

. (2)

3. Запишем уравнение, аналогичное (2) для момента времени t = 2

, (3)

4. Решая совместно уравнения (1) и (2) относительно величины n2, получим

, (4)

откуда

. (5)
2.1.11. Колебания некой точки происходят в соответствие с уравнением x(t) = 100exp(0,01t)cos8t, мм. Определить амплитуду после того, как будут выполнены N = 100 полных колебаний.
Решение

1. Из заданного уравнения движения следует что: циклическая частота колебаний составляет  = 3 рад/с; коэффициент затухания   = 0,01 с 1; начальная амплитуда колебаний  100 см.

2. Определим период колебаний и логарифмический декремент

, . (1)

3. Амплитуда после истечения заданного числа колебаний определится на основании заданного уравнения так

. (2)
2.1.12. Математический маятник длиной l = 2 м, колеблющийся в среде с потерями, за время  = 10 мин потерял 50 % своей энергии. Определить логарифмический декремент маятника.
Решение

1. В первом приближении можно считать, что энергия затухающих колебаний пропорциональна квадрату амплитуды

(1)

2. По условию задачи

. (2)

3. Совместим условие (2) в системой уравнений (1)

(3)

. (4)

4. Период колебаний маятника, ввиду малости коэффициента затухания можно приближённо определить уравнением

. (5)

5. Логарифмический декремент колебаний определится как

. (6)
2.1.13. Математический маятник длиной l = 2 м колеблется в среде с логарифмическим декрементом = 0,01, так что энергия колебаний уменьшилась в  = 10 раз. Какое время  прошло при этом с момента начала колебаний?
Решение

1. Запишем уравнение амплитуд затухающего колебания и определим относительную амплитуду

; (1)

2. Подставим в уравнение (2) соотношение для периода колебаний

; (2)

3. Для того чтобы связать величины  и  необходимо проанализировать уравнение энергии колебательного движения

; (3)

; (4)

. (5)
2.1.14.. Определите число полных колебаний N, в течение которых энергия системы уменьшится в два раза. Логарифмический декремент колебаний  = 0,01.
Решение

1. Для решения задачи воспользуемся уравнением (2) задачи 2.1.2

. (1)
2.1.15. Найти период затухающих колебаний математического маятника если период его собственных колебаний составляет Т0 = 1 с, а логарифмический декремент равен  = 0,628
Решение

1. Определим циклическую частоту собственных колебаний математического маятника

. (1)

2. Определим коэффициент затухания

. (2)

3. Найдём период затухающих колебаний

1,0054 с. (3)
2.1.16. Тело массой m = 5кг совершает гармонические затухающие колебания. За первые 50с колебаний тело теряет 60% своей первоначальной энергии. Определите коэффициент сопротивления среды.
Решение

1. Определим коэффициент затухания  из следующих соображений

, (1)

. (2)

2. Найдём коэффициент сопротивления среды, в которой колеблется тело

. (3)


2.1.17. Некое тело массой m = 1 кг находится в вязкой среде с коэффициентом сопротивления r = 0,05 кг/с. Тело соединено с двумя одинаковыми недеформированными пружинами жёсткости k = 50 Н/м. Определить логарифмический декремент при возникновении малых колебаний, период колебаний и коэффициент затухания.
Решение

1. Определим коэффициент затухания, воспользовавшись уравнением (3) предыдущей задачи

. (1)

2. Найдём циклическую частоту и период свободных и затухающих колебаний системы с учётом того, то пружины соединены параллельно

. (2)

. (3)

3. Логарифмический декремент колебаний

. (4)

Похожие:

Решение Запишем уравнение логарифмического декремента колебаний, (1) iconИсследование затухающих колебаний
Цель работы – изучение затухающих колебаний в колебательном контуре при различных величинах активного сопротивления контура, расчет...
Решение Запишем уравнение логарифмического декремента колебаний, (1) iconМатериальных точек, абсолютно твердое тело
Метод вращающегося вектора. Механические гармонические колебания. Энергия гармонических колебаний. Гармонический осциллятор. Дифференциальное...
Решение Запишем уравнение логарифмического декремента колебаний, (1) iconЛекция №27 механические колебания план Колебания. Характеристики гармонических колебаний
Свободные (собственные) колебания. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение. Гармонический осциллятор
Решение Запишем уравнение логарифмического декремента колебаний, (1) iconМеханические колебания и волны
Уравнение гармонических колебаний: x=ASin(t+), где х-смещение колеблющейся; точки от положения равновесия. А-амплитуда, (t+)-фаза...
Решение Запишем уравнение логарифмического декремента колебаний, (1) iconРешение : Запишем уравнение реакции, опираясь на условие задачи. 4 Al+ 3O 2  2 Al 2 o 3
Задача на вычисление массы продукта реакции, если известно количество вещества одного из исходных веществ
Решение Запишем уравнение логарифмического декремента колебаний, (1) iconРешение. Запишем матрицу системы в виде: Вектор B: b t = (-2,2,-2,-1) Найдем определитель
Система имеет бесконечное множество решений. Можно сложить, например, второе и третье уравнение, получим –х3-2х4=0, откуда имеем...
Решение Запишем уравнение логарифмического декремента колебаний, (1) iconПрактическая работа №4. Цель работы: составить уравнения прямых, их построение. Треугольник задан вершинами А(3;4),В(4;1)и С(1;2)
Уравнение прямой cn. Прямая cn параллельна ав, следовательно имеет тот же угловой коэффициент, т е Запишем уравнение cn в виде
Решение Запишем уравнение логарифмического декремента колебаний, (1) iconРешение : Запишем уравнение реакции, следуя условию задачи. Hcl + koh  kcl + h 2 O
...
Решение Запишем уравнение логарифмического декремента колебаний, (1) iconСборник задач по физике. М. «Просвещение», 1994 Л. А. Аксенович. Физика в средней школе. Мн. «Адукацыя i выхаванне»
Тема урока: Колебательное движение. Гармонические колебания. Амплитуда, период, частота, фаза колебаний. Уравнение гармонических...
Решение Запишем уравнение логарифмического декремента колебаний, (1) iconРешение Таким образом, уравнение имеет два корня: Пример b Решение Уравнение имеет два корня
Данное уравнение также является неполным квадратным уравнением, оно всегда имеет один корень
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org