«приближенные методы вычисления интегралов»



Скачать 45.46 Kb.
Дата16.01.2013
Размер45.46 Kb.
ТипДокументы
ПРИКЛАДНАЯ ПРОГРАММА

«ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ»
Автор: Уренцев Артем, 11 класс

Руководитель: Титова Людмила Ивановна, учитель информатики и ИКТ

Образовательное учреждение: лицей «Серпухов», г. Серпухов
Applied programmes “Approximate methods of counting definite integrals”

Urentsev A.
Изучая, интегральное исчисление в рамках школьного курса математики мне стало ясно, что задача вычисления интегралов возникает во многих областях прикладной математики и физики.

В большинстве случаев при вычислении значения определенного интеграла не удается найти аналитической формулы. Даже если аналитическая формула находится, то она получается настолько сложной, что вычислять интеграл с ее помощью очень трудно. Распространенными являются также случаи, когда подынтегральная функция задается графиком или таблицей экспериментально полученных значений.

В таких ситуациях используют различные методы численного интегрирования, которые основаны на том, что интеграл представляется в виде предела интегральной суммы (суммы площадей), и позволяют определить эту сумму с приемлемой точностью.

У меня возник интерес и желание самостоятельно познакомиться с этими методами, и я поставил перед собой следующие задачи:

  1. Изучить приближенные методы численного интегрирования;

  2. Составить программу вычисления определенных интегралов в среде программирования Delphi

  3. С помощью программы оценить влияние числа разбиений интервала интегрирования на точность вычислений.

В рамках данной работы я самостоятельно познакомился с интерполяционными методами Ньютона-Котеса, а именно: методами левых, правых, средних прямоугольников, трапеций и методом Симпсона.

Первоначально расчет приближенных значений интегралов выполнял с использованием электронной таблицы Excel.


Ниже приведены результаты расчета интеграла

Количество отрезков

Метод

N=10

N=20

N=30

Левых прямоугольников

0,2160

0,2141

0,2135

Правых прямоугольников

0,2087

0,2105

0,2111

Средних прямоугольников

0,2123

0,2123

0,2123

Трапеций

0,2124

0,2123

0,2123

Симпсона

0,2123

0,2123

0,2123

Таблица 1
Из Таблицы 1 видно, чем больше отрезков интегрирования (N), тем точнее рассчитывается значение интеграла. Для получения значения интеграла с большей точностью необходимо увеличение количества отрезков интегрирования, что значительно увеличит время поиска решения и повысится вероятность возникновения ошибок в расчетах. Следовательно, целесообразна разработка программы, предназначенной для расчета значений интегралов с заданной точностью.

Такую программу я написал в среде программирования Delphi. Она позволила просчитать значение интеграла при больших значениях N всеми упомянутыми методами. После небольшой доработки получилась программа, которую можно использовать на уроках математики (вычисление определенных интегралов) и информатики (математическое моделирование) в качестве электронного пособия. Данная программа содержит краткие теоретические сведения по численным методам вычисления интегралов, варианты заданий для самостоятельного решения учащимися. Программа содержит примеры выполнения заданий разными методами с помощью электронной таблицы Excel. В качестве вспомогательного материала программа содержит блок-схемы и программные коды методов. Для удобства проверки правильности выполнения учениками заданий предусмотрена программная проверка результата вычислений любым из методов. Ниже приведена структурная схема программы.


Численное интегрирование




Теория

Практика

Проверка

О программе

Выход




Методы Ньютона-Котеса


Метод прямоугольников





Погрешности методов

Метод трапеций




Метод Симпсона


Рис. 1 Структурная диаграмма программы

Заключение и выводы


Исследовав различные приближенные методы вычисления определенных интегралов можно сделать вывод, что ни один из этих методов не даёт нам точного значения, а только приближенное, но чем больше число N, тем точнее получаемый результат. Следовательно, для большей точности необходимо большее число итераций, что обуславливает возрастание вероятности появления ошибок при ручном счете и диктует применение прикладных программ для решения подобных задач.

Анализируя результаты вычисления интегралов, полученные с помощью разработанной программы можно сделать вывод, что при увеличении N результаты расчетов по всем методам стремятся друг к другу и к точному результату.

Подводя краткий итог, видим, что задачу решает человек. Компьютер только быстрее и точнее человека производит необходимые вычисления по заданной программе. Но объем вычислений может оказаться столь большим, что без компьютера задачу решить невозможно. К тому же составленная однажды программа может использоваться неограниченное число раз с любыми значениями аргументов.
Литература

1. В.Д. Колдаев, Численные методы и программирование, М., ИД «ФОРУМ», 2008. – 336 с.

Похожие:

«приближенные методы вычисления интегралов» iconЛабораторная работа по теме «Приближенные методы вычисления корней уравнений»
Заполните электронный отчет файл «Отчет по лабораторной работе Приближенные вычисления»!
«приближенные методы вычисления интегралов» iconПриближённые методы вычисления определённых интегралов
Цель: Проверить на практике знание понятия определённого интеграла, умение вычислять табличные интегралы, умение вычислять определённый...
«приближенные методы вычисления интегралов» iconКурсовая работа по вычислительной математике. Вычисление двойных интегралов методом ячеек
Численные методы могут использоваться для вычисления кратных интегралов. Ограничимся рассмотрением двойных интегралов вида
«приближенные методы вычисления интегралов» iconОписание методов вычисления определенных интегралов
Цель работы: изучение различных методов вычисления определенных интегралов, практическое интегрирование функций на ЭВМ
«приближенные методы вычисления интегралов» iconЛекция 16. Приближенное вычисление определенного интеграла
Для нахождения интегралов от подобных функций применяются разнообразные приближенные методы, суть которых заключается в том, что...
«приближенные методы вычисления интегралов» iconСгибнев А. И. Приближённые измерения и вычисления. 5-7 класс
Во-вторых, к этому курсу почти нет содержательных задач, а есть только формальные упражнения на применение правил, мало проясняющие...
«приближенные методы вычисления интегралов» icon«Вычисление площадей с помощью интегралов»
Обобщить и систематизировать теоретический материал по теме. Отработать навыки вычисления первообразных для функций. Отработать навыки...
«приближенные методы вычисления интегралов» icon«приближенные методы вычисления корней нелинейных уравнений»
При изучении темы «Математическое моделирование» в рамках предмета «Информатика и икт» меня заинтересовала тема, связанная с нахождением...
«приближенные методы вычисления интегралов» iconЛабораторная работа №3 Операторы. Операторы вычисления сумм и произведений
Знак оператора суммы можно получить, используя кнопку интегралов панели Стандартная. Знак оператора произведения можно также получить...
«приближенные методы вычисления интегралов» iconУрока по математике раздел "Приближенные методы решения уравнений и неравенств, включающих элементарные функции"
Приближенные методы решения уравнений и неравенств, включающих элементарные функции” путем проведения мастер-классов для учителей...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org