Непрерывные случайные величины. § Плотность и функция распределения непрерывной случайной величины



Скачать 168.08 Kb.
страница1/3
Дата16.01.2013
Размер168.08 Kb.
ТипГлава
  1   2   3
Глава 6. Непрерывные случайные величины.

§ 1. Плотность и функция распределения непрерывной случайной величины.

Множество значений непрерывной случайной величины несчетно и обычно представляет собой некоторый промежуток конечный или бесконечный.

Случайная величина (),заданная в вероятностном пространстве {,S,P}, называется непрерывной (абсолютно непрерывной) , если существует неотрицательная функция такая, что при любых х функцию распределения F(x) можно представить в виде интеграла

.

Функция называется функцией плотности распределения вероятностей.

Из определения вытекают свойства функции плотности распределения :

  1. Плотность распределения неотрицательна: .

  2. Интеграл по всей числовой прямой от плотности распределения вероятностей равен единице:

  3. В точках непрерывности плотность распределения равна производной функции распределения: .

4. Плотность распределения определяет закон распределения случайной величины, т.к. определяет вероятность попадания случайной величины на интервал :

.

5.Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет конкретное значение равна нулю: . Поэтому справедливы следующие равенства:

.

График функции плотности распределения называется кривой распределения, и площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице. Тогда геометрически значение функции распределения F(x) в точке х0 есть площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс и лежащая левее точки х0.

Рис.6.1.

Задача 1. Функция плотности непрерывной случайной величины имеет вид:



Определить константу C, построить функцию распределения F(x) и вычислить вероятность gif" name="object13" align=absmiddle width=92 height=20>.

Решение. Константа C находится из условия Имеем:

откуда C=3/8.

Чтобы построить функцию распределения F(x), отметим, что интервал [0,2] делит область значений аргумента x (числовую ось) на три части: Рассмотрим каждый из этих интервалов. В первом случае (когда x<0) вероятность события {


так как плотность  на полуоси равна нулю. Во втором случае



Наконец, в последнем случае, когда x>2,

так как плотность обращается в нуль на полуоси . Итак, получена функция распределения



Вероятность вычислим по формуле . Таким образом,

§ 2. Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Математическое ожидание для непрерывно распределенных случайных величин определяется по формуле При этом интеграл, стоящий справа, должен абсолютно сходиться. Пусть  имеет плотность р(х) и (х) - некоторая функция. Математическое ожидание величины () можно вычислить по формуле

,

если интеграл, стоящий справа, абсолютно сходится.

Дисперсия  может быть вычислена по формуле , а также, как и в дискретном случае, по формуле , где .

Все свойства математического ожидания и дисперсии, приведенные в главе 5 для дискретных случайных величин, справедливы и для непрерывных случайных величин.
Задача 2. Для случайной величины  из задачи 1 вычислить математическое ожидание и дисперсию.

Решение.



Далее,

и значит,



§ 3. Примеры непрерывных случайных величин

Равномерное распределение. Непрерывная случайная величина  имеет равномерное распределение на отрезке [a,b], если плотность распределения р(x) сохраняет постоянное значение на этом промежутке:



График плотности равномерного распределения см. на рис. .

Рис.6.2. Функция распределения и плотность распределения. равномерного закона
Функция распределения F(x) равномерно распределенной случайной величины равна

F(x)=

Математическое ожидание и дисперсия ; .
Показательное (экспоненециальное) распределение. Непрерывная случайная величина , принимающая неотрицательные значения, имеет показательное распределение с параметром >0, если плотность распределения вероятностей случайной величины равна

р(x)=


Рис. 6.3. Функция распределения и плотность распределения показательного закона.

Функция распределения показательного распределения имеет вид

F(x)=

а математическое ожидание и дисперсия равны М=, D=.

Нормальное распределение (распределение Гаусса). Непрерывная случайная величина называется распределенной по нормальному закону с параметрами и , если ее плотность распределения равна

.

Через обозначается множество всех случайных величин, распределенных по нормальному закону с параметрами параметрами и .

Функция распределения нормально распределенной случайной величины равна

.

Рис. 6.4. Функция распределения и плотность распределения нормального закона

Параметры нормального распределения суть математическое ожидание и дисперсия

В частном случае, когда и нормальное распределение называется стандартным, и класс таких распределений обозначается .

В этом случае плотность стандартного распределения равна

,

а функция распределения



Такой интеграл не вычислим аналитически (не берется в «квадратурах»), и потому для функции составлены таблицы. Функция связана с введенной в главе 4 функцией Лапласа

,

следующим соотношением . В случае же произвольных значений параметров и функция распределения случайной величины связана с функцией Лапласа с помощью соотношения:

.

Поэтому вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на интервал можно вычислять по формуле

.

Неотрицательная случайная величина  называется логарифмически нормально распределенной, если ее логарифм =ln подчинен нормальному закону. Математическое ожидание и дисперсия логарифмически нормально распределенной случайной величины равны М= и D=.
Задача 3. Пусть задана случайная величина . Вычислить вероятность .

Решение. Здесь и . Согласно указанной выше формуле



Распределение Лапласа задается функцией f(x)=e-x, -х.

(двусторонняя показательная плотность).

Функция плотности распределения симметрична относительно нуля и М=Хmed=Xmod=0 и асимметрия -=0. Дисперсия в два раза больше дисперсии случайной величины, распределенной по показательному закону D= = и эксцесс равен =3.

Рис.6.5. Функция плотности распределения Лапласа.

Случайная величина  распределена по закону Вейбулла, если она имеет функцию плотности распределения, равную

Функция распределения в этом случае определяется следующим выражением :



Распределению Вейбулла подчиняются времена безотказной работы многих технических устройств. В задачах данного профиля важной характеристикой является интенсивность отказа (коэффициент смертности) (t) исследуемых элементов возраста t, определяемый соотношением (t)=. Если =1, то распределение Вейбулла превращается в экспоненциальное распределение, а если =2 - в так называемое распределение Рэлея.

Математическое ожидание распределения Вейбулла: - и дисперсия - , где Г(а) -функция Эйлера. .

В различных задачах прикладной статистики часто встречаются так называемые «усеченные» распределения. Например, налоговые органы интересуются распределением доходов тех лиц, годовой доход которых превосходит некоторый порог с0, установленный законами о налогообложении. Эти распределения оказываются приближенно совпадающими с распределением Парето. Распределение Парето задается функциями

F(x)=P(); ,

где 0, а хс0. Основные числовые характеристики этого распределения существуют не всегда, а лишь при соблюдении определенных требований к значению параметра : математическое ожидание - М= при 1, дисперсия - D= существует при 2;

§ 4. Функции от случайных величин

Пусть задана плотность случайной величины  и монотонная дифференцируемая функция . Тогда плотность распределения случайной величины равна



Здесь – функция, обратная к функции .

Задача 4. Случайная величина равномерно распределена на отрезке [0,2]. Найти плотность случайной величины .

Решение. Из условия задачи следует, что



Далее, функция является монотонной и дифференцируемой функцией на отрезке [0,2] и имеет обратную функцию , производная которой равна Следовательно,

.

Значит,



  1   2   3

Похожие:

Непрерывные случайные величины. § Плотность и функция распределения непрерывной случайной величины iconПонятие непрерывной случайной величины. Основные непрерывные распределения. Функции от непрерывной случайной величины
Множество значений непрерывной случайной величины непрерывно. Это либо отрезок, либо луч, либо вся числовая прямая R
Непрерывные случайные величины. § Плотность и функция распределения непрерывной случайной величины iconНепрерывные случайные величины. Закон Гаусса. Правило 3-х сигм
Закон Гаусса. Пусть х – значение непрерывной случайной величины, dx- малый интервал, то вероятность dP того, что х находится в интервале...
Непрерывные случайные величины. § Плотность и функция распределения непрерывной случайной величины icon§ 15. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности. Случайная величина х
Случайная величина х называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) непрерывна на всей числовой оси
Непрерывные случайные величины. § Плотность и функция распределения непрерывной случайной величины iconЗадача №2. Для непрерывной случайной величины X, имеющей плотность распределения, где n номер
Вероятность попасть в корзину при каждом броске считать постоянной и равной N/(N+5). Найти закон распределения случайной величины...
Непрерывные случайные величины. § Плотность и функция распределения непрерывной случайной величины iconЗадача №2. Для непрерывной случайной величины X, имеющей плотность распределения, где n номер
Вероятность попасть в корзину при каждом броске считать постоянной и равной N/(N+5). Найти закон распределения случайной величины...
Непрерывные случайные величины. § Плотность и функция распределения непрерывной случайной величины icon1. Пространство элементарных исходов. События. Измеримое пространство
Непрерывные случайные величины. Нормально распределенные случайные величины: определение, обозначение, характеристическая функция,...
Непрерывные случайные величины. § Плотность и функция распределения непрерывной случайной величины iconЗакон Гаусса. Правило 3-х сигм. Непрерывные случайные величины
Непрерывные случайные величины в результате испытания могут принимать любые значения из некоторого интервала
Непрерывные случайные величины. § Плотность и функция распределения непрерывной случайной величины iconСеминар №1 дискретные случайные величины ряд распределения случайной величины
Наибольшее из 2-х выпавших очков (если на костях выпало одинаковое число очков, то это число считать наибольшим)
Непрерывные случайные величины. § Плотность и функция распределения непрерывной случайной величины iconНепрерывные случайные величины
Случайная величина, значения которой заполняют некоторый промежуток, называется непрерывной
Непрерывные случайные величины. § Плотность и функция распределения непрерывной случайной величины iconНепрерывные случайные величины
Случайная величина, значения которой заполняют некоторый промежуток, называется непрерывной
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org