2 Сходимость последовательностей случайных величин



Скачать 53.93 Kb.
Дата16.01.2013
Размер53.93 Kb.
ТипДокументы

Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 4

2.7. Сходимость последовательностей случайных величин

Рассмотрим последовательность случайных величин . Различают несколько типов сходимости.

Последовательность величин сходится к случайной величине по вероятности , если______________________________________________

Последовательность величин сходится к случайной величине почти наверное (с вероятностью 1) , если_________________________

Последовательность величин сходится к случайной величине по распределению , если____________________________________________

2.8. Закон больших чисел

Законы больших чисел являются одними из наиболее важных утверждений теории вероятностей.

Пусть – независимы и имеют конечные дисперсии. Тогда выполняется закон больших чисел в форме Чебышева:

___________________________________________________

Если все случайные величины имеют одно и то же распределение, закон больших чисел обретает следующую форму.

Пусть – независимы, имеют конечные дисперсии и , тогда:

___________________________________________________

В действительности, это утверждение верно в более общей ситуации, а именно, предположение о существовании дисперсии не является необходимым.

Имеет место так называемый закон больших чисел в форме Хинчина.

Пусть gif" name="object15" align=absmiddle width=86 height=21> – последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, у которых существует математическое ожидание . Тогда

___________________________________________________
2.9. Центральная предельная теорема

Различные формы центральной предельной теоремы отличаются между собой условиями, накладываемыми на распределение случайных слагаемых, образующих сумму. Здесь приведен без доказательства вариант ЦПТ для независимых одинаково распределенных слагаемых.

Центральная Предельная Теорема:

Пусть – последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с конечной дисперсией. Обозначим и . Тогда

_______________________________________

где – функция распределения стандартного нормального закона.

Если обозначить . Тогда , . Следовательно, утверждение ЦПТ можно записать в виде

_______________________________________

Существуют обобщения ЦПТ на случай независимых разнораспределенных слагаемых. При этом на отдельные слагаемые накладываются условия, обеспечивающие их «пренебрежимо малый» вклад в сумму при .

3. Методы математической статистики


3.1. Основные задачи математической статистики

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________
1. Задача определения закона распределения случайной величины по статистическим данным.

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________
2. Задача нахождения неизвестных параметров распределения

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________
3. Задача проверки правдоподобия гипотез

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________
3.2. Первичная обработка данных

Отправной точкой любого статистического анализа являются данные, полученные экспериментатором в результате опыта. Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты (случайной величины).

Иногда проводят сплошное обследование, т. е. обследуют каждый из объектов совокупности относительно признака, которым интересуются. На практике, однако, сплошное обследование применяют сравнительно редко. Чаще случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов и подвергают их изучению.

Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов. Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка.

При составлении выборки можно поступать двумя способами:

Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.

Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается. На практике обычно пользуются бесповторным случайным отбором.

Для того чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить о случайной величине, выборка должна правильно представлять пропорции генеральной совокупности. Это требование коротко формулируют так: выборка должна быть репрезентативной (представительной).
Статистическое распределение выборки
Обычно полученные наблюдаемые данные представляют собой множество расположенных в беспорядке чисел. Просматривая это множество чисел, зачастую бывает трудно выявить какую-либо закономерность их изменения. Для изучения закономерностей (если таковые вообще имеются) изменения значений случайной величины опытные данные подвергают обработке.
Если случайная величина является дискретной, то ________________________

________________________________________________________________________

Если случайная величина является непрерывной, то_______________________

________________________________________________________________________

Для этого определяем размах выборки: . Выбираем число интервалов V (от 7 до 11). Длина частичного интервала или . За начало первого интервала рекомендуется брать величину . Конец последнего интервала выбирается из условия: . Просматриваем результаты наблюдений и определяем, сколько значений попало в каждый интервал.

Выборочной (эмпирической) функцией распределения называется функция, задающая для каждого значения относительную частоту события :

Функцию распределения генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения.

Если в выборке нет повторяющихся значений, то эмпирическая функция распределения имеет разрывов. Величина скачка в точке разрыва равна .



Математическое ожидание эмпирической функции распределения равно теоретической функции распределения: .

Теорема Гливенко. С ростом объема выборки эмпирическая функция распределения сходится к теоретической функции равномерно по с вероятностью 1:

________________________________________________________________________

Наблюдаемые данные можно изобразить графически, используя не только функцию распределения.

Для изображения дискретного вариационного ряда обычно используют полигон частот.

Для изображения интервальных вариационных рядов служит гистограмма. Основания прямоугольников равны длинам частичных интервалов h, а высоты – частотам mi.


Выборочные числовые характеристики вычисляются по следующим формулам.

Выборочное среднее:

,

если ряд дискретный, то – наблюдаемые значения, если ряд интервальный, то – середина i-го интервала.

Выборочная дисперсия
.
Среднеквадратичное отклонение (выборочное):
.


Похожие:

2 Сходимость последовательностей случайных величин iconВопросы к экзамену по математической статистике для гр, К5-221-224
Неравенство Чебышева. Сходимость по вероятности последовательности случайных величин
2 Сходимость последовательностей случайных величин iconФормирование выборки случайных чисел, распределенных по заданному закону распределения
Цель: освоение методов генерации последовательности значений случайных величин и построения графиков функций распределения и плотности...
2 Сходимость последовательностей случайных величин iconА. М. Зубков 1/2 года, 3 курс Понятия верхних и нижних функций для последовательностей случайных величин. Верхние и нижние функции для последовательности независимых величин с нормальными распределениями. Закон
Мартингалы. Примеры мартингалов. Разложение Дуба. Выпуклые функции от мартингалов
2 Сходимость последовательностей случайных величин iconГенераторы реальных случайных последовательностей
Последовательность, выдаваемую генератором случайных последовательностей, воспроизвести невозможно. Никто, даже вы сами, не сможет...
2 Сходимость последовательностей случайных величин iconКонтрольные вопросы. 18 Тестовые задания. 20 Ответы 24 Модуль 24 Тема 1 (4). Независимость случайных величин. 24 Тема 2 (5). Распределения Бернулли и Пуассон
Тема 3(9). Распределения случайных величин. Дискретные и абсолютно непрерывные распределени
2 Сходимость последовательностей случайных величин iconПрограмма курса «Теория вероятностей и математическая статистика»
Наилучшее (в среднем квадратичном) оценивание случайных величин и случайных векторов
2 Сходимость последовательностей случайных величин iconСамостоятельная работа по теме «Элементы теории вероятностей. Основы описательной статистики» Приведите примеры случайных величин
Каковы вероятности и примеры достоверного случайного события и невозможного случайных событий?
2 Сходимость последовательностей случайных величин iconЛабораторная работа Имитационное моделирование случайных событий, случайных величин
...
2 Сходимость последовательностей случайных величин iconПрограмма курса «Методы оптимизации»
Нормированные пространства (н п.). Открытые и замкнутые множества в н п. Сходимость последовательностей. Банаховы пространства
2 Сходимость последовательностей случайных величин iconВероятность больших отклонений случайных величин
Среднее арифметическое с в сходится по вероятности к мат ожиданию с увеличением числа опытов n
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org