Лекция 3 Логика предикатов Понятие предиката



Скачать 61.97 Kb.
Дата19.01.2013
Размер61.97 Kb.
ТипДокументы

Математическая логика и теория алгоритмов (Лекция 3)

Логика предикатов


Понятие предиката

В алгебре логики высказывания рассматриваются как нераздельные целые и только с точки зрения их истинности или ложности. Ни структура высказываний, ни, тем более, их содержание не затрагиваются. В то же время и в науке, и в практике используются заключения, существенным образом зависящие как от структуры, так и от содержания используемых в них высказываний. Следовательно, алгебра логики, будучи важной частью логики, оказывается недостаточной в анализе многих рассуждений. В связи с этим возникает необходимость в расширении логики высказываний, в построении такой логической системы, средствами которой можно было бы исследовать структуру тех высказываний, которые в рамках логики высказываний рассматриваются как элементарные. Такой логической системой является логика предикатов, содержащая всю логику высказываний в качестве своей части.

Логика предикатов, как и традиционная формальная логика, расчленяет элементарное высказывание на субъект и предикат. Субъект – ________________________________________; предикат – __________________________________________________________________________

Например, в высказывании «7 - простое число», «7» – субъект, «простое число» – предикат. Это высказывание утверждает, что «7» обладает свойством «быть простым числом». Если в рассмотренном примере заменить конкретное число 7 переменной х из множества натуральных чисел, то получим высказывательную форму «х – простое число». При одних значения х (например, х=13, х=17) эта форма дает истинные высказывания, а при других значениях х (например, х=10, х=18) эта форма дает ложные высказывания.

Ясно, что эта высказывательная форма определяет функцию одной переменной х, определенной на множестве N, и принимающую значения из множества {1;0}. Здесь предикат становится функцией субъекта и выражает свойство субъекта.

Одноместный предикат ________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

Область определения____________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

Область истинности____________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

Приведем примеры одноместных предикатов:

  1. «gif" name="object2" align=absmiddle width=58 height=18>»

область определения:_____________________область истинности:_______________________

  1. «х – столица Англии»

область определения:_____________________область истинности:_______________________

  1. «»

область определения:_____________________область истинности:_______________________

Двуместный предикат _________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

Приведем примеры двуместных предикатов:

  1. «»

область определения:_____________________________________________________________

  1. «прямая х параллельна прямой y»

область определения:_____________________________________________________________

Нульместный предикат ________________________________________________________
Логические операции над предикатами

Предикаты так же, как высказывания, могут принимать два значения: И и Л, поэтому к ним применимы все операции логики высказываний, в результате чего из элементарных предикатов формируются сложные предикаты. Рассмотрим применение операций логики высказываний к предикатам на примерах одноместных предикатов. Пусть на некотором множестве M определены два предиката и.

: конъюнкция предикатов – ____________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

Областью истинности предиката является общая часть области истинности предикатов и , т.е. пересечение :


: дизъюнкция предикатов – ____________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

Областью истинности предиката является объединение области истинности предикатов и , т.е. пересечение :


или : отрицание предиката – ___________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

Очевидно, что , т.е. область истинности предиката является дополнением к множеству :


: импликация предикатов – ___________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

Поскольку при каждом фиксированном справедлива равносильность , то область истинности предиката : .


: эквивалентность предикатов – _______________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

Для области истинности эквивалентности имеем:
Кванторные операции

В логике предикатов рассматриваются две операции, которые превращают одноместный предикат в высказывание. Эти операции называются операциями квантификации (или просто квантификацией, или связыванием кванторами, или навешиванием кванторов). При этом рассматриваются, соответственно, два типа так называемых кванторов.

Квантор всеобщности

Пусть – предикат, определенный на множестве М. Под выражением понимают

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

Это высказывание уже не зависит от х. Соответствующие ему словесные выражения звучат так:

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________
Символ называют квантором всеобщности (общности). Переменную х в предикате называют свободной (ей можно придавать различные значения из М), в высказывании же переменную х называют связанной квантором всеобщности.
Квантор существования.

Пусть – предикат, определенный на множестве М. Под выражением понимают

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

Это высказывание уже не зависит от х. Соответствующие ему словесные выражения звучат так:

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________
Символ называют квантором существования. В высказывании переменная x связана этим квантором (на нее навешен квантор).
Кванторные операции применяются и к многоместным предикатам. Пусть, например, на множестве М задан двухместный предикат . Применение кванторной операции к предикату по переменной x ставит в соответствие двухместному предикату одноместный предикат ____________ (или одноместный предикат____________), зависящий от переменной y и не зависящий от переменной x. К ним можно применить кванторные операции по переменной y, которые приведут уже к высказываниям следующих видов:

_____________________________________________________________________________________
Отрицание предложений с кванторами

Известно, что часто для отрицания некоторого предложения достаточно предпослать сказуемому этого предложения отрицательную частицу “не”. Например, отрицанием предложения «Река х впадает в Черное море» является предложение _____________________________________ Годится ли этот прием для построения отрицаний предложений с кванторами? Рассмотрим пример.

Предложения ____________________________ и ____________________________________ не являются отрицаниями друг друга, т. к. они оба ложны.

Предложения ____________________________ и ____________________________________ не являются отрицанием друг друга, т. к. они оба истинны.

Таким образом, предложения, полученные добавлением частицы «не» к сказуемому предложений “Все х суть Р” и “Некоторые х суть Р” не являются отрицаниями этих предложений.

Универсальным способом построения отрицания данного предложения является добавление словосочетания «неверно, что» в начале предложения.

Таким образом, отрицанием предложения ___________________________________________

является предложение _________________________________________________________________

но это предложение имеет тот же смысл, что и предложение_________________________________

Отрицанием предложения _________________________________________________________

является предложение_________________________________________________________________

которое имеет тот же смысл, что и предложение___________________________________________
Условимся отрицание предложения записывать как , а отрицание предложения – как . Очевидно, что предложение имеет тот же смысл, а следовательно, то же значение истинности, что и предложение , а предложение – тот же смысл, что .

Иначе говоря,____________________________________________________________________

Кванторы общности и существования называют двойственными относительно друг друга.
Выясним теперь, как строить отрицание предложения, начинающегося с нескольких кванторов, например, такого: .

Последовательно применяя сформулированное выше правило, получим:

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________
Категорические высказывания

В классической логике большое внимание уделяется четырем типам категорических высказываний (так называемые ограниченные кванторы). Обычно они обозначаются так:

A - общеутвердительное высказывание "Всякое S есть Р":______________________________

Е - общеотрицательное высказывание "Никакое S не есть P":___________________________

I - частноутвердительное высказывание "Некоторые S есть Р":__________________________

О - частноотрицательное высказывание "Некоторые S не есть Р":________________________

Похожие:

Лекция 3 Логика предикатов Понятие предиката iconПравила выводимости. Проблема аксиоматического исчисления высказываний. Производные правила вывода. Доказательство некоторых законов логики. Логика предикатов: Понятие предиката
Применение языка логики предикатов для записи математических предложений, определений, построение отрицание предложений
Лекция 3 Логика предикатов Понятие предиката iconЛогика предикатов
Начение и и Л. Примером одноместного предиката F(X) является предикат – свойство. Например, предикат: «х есть простое число», в зависимости...
Лекция 3 Логика предикатов Понятие предиката iconМатематическая логика
Основными разделами математической логики является: логика высказываний, логика предикатов, металогика
Лекция 3 Логика предикатов Понятие предиката iconТехнологий В. П. Битюцкий Н. В. Папуловская Математическая логика. Исчисления высказываний и предикатов Методическое пособие по дисциплине "Математическая логика и теория алгоритмов" Екатеринбург 2005 удк

Лекция 3 Логика предикатов Понятие предиката iconНормальные формы формул логики предикатов
При этом, используя равносильности алгебры высказываний и логики предикатов, каждую формулу логики предикатов можно привести к нормальной...
Лекция 3 Логика предикатов Понятие предиката iconЛогические подходы к спецификации агентных систем
Если рассматривать логики как средства описания состояния систем, пропозициональная логика и логика предикатов первого порядка позволяют...
Лекция 3 Логика предикатов Понятие предиката iconПрограмма дисциплины по кафедре Прикладная математика математическая логика утверждена научно-методическим советом университета для направлений подготовки
Охватывает круг вопросов, связанных с изучением формальных теорий, элементов теории множеств, логики высказываний и логики предикатов,...
Лекция 3 Логика предикатов Понятие предиката iconМатематическая логика Лектор 2010/11 уч года: к ф-м наук Носов В. А
К их числу относится классическая логика предикатов как формальный язык представления знаний, аппарат логического вывода как метод...
Лекция 3 Логика предикатов Понятие предиката iconТесты по физике, химии и математике подтвердили это убеждение
Охватывает такие фундаментальные разделы как логика суждений, логика предикатов (силлогистика) и решение логических уравнений. Она...
Лекция 3 Логика предикатов Понятие предиката iconПрограмма Числовые системы Понятие множества по Кантору. Парадокс Рассела. Представление о системе аксиом Цермелло-Френкеля
Понятие n-местной операции, предиката и константы. Алгебраические системы. Примеры. Изоморфизм
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org