Целые неотрицательные числа



Скачать 58.68 Kb.
Дата19.01.2013
Размер58.68 Kb.
ТипДокументы
Раздел 3. Целые неотрицательные числа

Глава 1. Алгебраические структуры

§ 1. Понятие алгебраической операции
В математике изучают различные операции: сложение, вычитание, возведение в степень – это операции над числами; объединение, пересечение – над множествами и т.д.

Операции над множествами и высказываниями обладают аналогичными свойствами с операциями сложения и умножения чисел (хотя некоторые свойства отличаются от свойств операций над числами).

В 19 веке в математике возникли разные ветви алгебры: обычных чисел, высказываний, множеств и др. Каждая из них имела свои правила, но некоторые правила были похожи. Стремление выяснить, что представляет собой любая операция, способствовало появлению общего понятия алгебраической операции.

Математики пришли к выводу, что основная задача алгебры – изучение свойств операций, рассматриваемых независимо от объектов, к которым они применяются.

Во всех рассмотренных выше примерах операций мы имели дело с некоторым множеством Х. При выполнении операции по двум элементам этого множества находят третий элемент того же множества (по двум заданным числам находят сумму, по двум заданным множествам находят их пересечение и т.д.).

Найденный элемент единственный, при этом ответ вообще говоря, зависит от порядка этих элементов (например, при делении чисел).

Определение. Алгебраической операцией на множестве Х называется отображение, при котором каждой паре элементов (х; у) из множества Х ставится в соответствие элемент z этого же множества.

Примеры алгебраических операций: сложение на множестве натуральных чисел, т.к. сумма любых натуральных чисел является числом натуральным; вычитание на множестве целых чисел, т.к. разность любых целых чисел является целым числом.

Множество ХХ упорядоченных пар (х; у), где х Х, у Х – декартово произведение Х на Х. Следовательно, алгебраическая операция в множестве Х является отображением ХХ в множество Х.

В этом случае х – первая компонента операции, у – вторая компонента, z – результат операции.

В математике рассматривают и более общее понятие алгебраической операции, при котором отображают в Х декартово произведение вида ХХ  ....  Х. Такую операцию называют п-арной.

Отображение ХХ в Х – бинарная алгебраическая операция (от латинского слова bis – дважды). Примером может служить сложение двух чисел.

Отображение Х в Х – унарная алгебраическая операция (unus – один). Примером может служить извлечение квадратного корня и з числа.

Определение.
Если на множестве Х задана алгебраическая операция, то говорят, что множество Х замкнуто относительно этой операции.

Не все операции являются алгебраическими. Например, вычитание на множестве натуральных чисел алгебраической операцией не является, т.к. из натурального числа х можно вычесть натуральное число у лишь при условии, что х > у. Вычитание на множестве натуральных чисел не является алгебраической операцией, но если разность существует, то определяется единственным образом. Аналогичным свойством обладает и ряд других операций.

Определение. Частичной алгебраической операцией на множестве Х называется отображение, при котором некоторым парам (х; у) элементов из множества Х ставится в соответствие однозначно определенный элемент z этого же множества (имеем отображение некоторого подмножества Y декартова произведения ХХ в Х).
§ 2. Свойства алгебраических операций
Сложение и умножение чисел обладает свойствами коммутативности, ассоциативности, умножение дистрибутивно относительно сложения. Аналогичными свойствами обладают и операции над множествами и высказываниями.

Рассмотрим свойства алгебраических операций, определив их в общем виде и обозначив операцию *.


  1. Ассоциативность.

Определение. Алгебраическая операция *, заданная на множестве Х называется ассоциативной, если для любых элементов х, у, z из множества Х выполняется равенство (х * у) * z = х * (у * z).

Если операция обладает свойством ассоциативности, то выражения, содержащие лишь эту операцию, можно записывать, опуская скобки.

Примерами ассоциативных операций являются сложение и умножение действительных чисел, объединение и пересечение множеств. Операция вычитания целых чисел не является ассоциативной, т.к. существуют целые числа, для которых (ху) – zх – (уz), например, 10 – (5 – 3)  (10 – 5) – 3.
2. Коммутативность.

Определение. Алгебраическая операция *, заданная на множестве Х называется коммутативной, если для любых двух элементов х, у из множества Х выполняется равенство х * у = у * х.

Сложение и умножение действительных чисел коммутативно, т.к. х + у = у + х, х · у = у · х. Вычитание на множестве целых чисел не является коммутативной операцией, т.к. существуют целые числа х, у, для которых хуух , например, 5 – 3  3 – 5.

Рассмотрим выражения, содержащие две операции * и .
3. Дистрибутивность.

Определение. Алгебраическая операция называется дистрибутивной относительно алгебраической операции *, если для любых элементов х, у, z из множества Х выполняются равенства (х * у) z = (х z) * (у z), z (х * у) = (z х) * (z у).

Если выполняется лишь одно из равенств, то говорят о дистрибутивности справа или слева.

Примеры. 1) (х · у) z = х z · у z – выполняется дистрибутивность справа;

2) Х  (Y Z) = (Х Y)  (Х Z) – операция дистрибутивна, т.к. пересечение множеств коммутативно, то выполняется дистрибутивность слева и справа.
4. Сократимость.

Определение. Алгебраическая операция *, заданная на множестве Х, называется сократимой, если из условий а * х = а * у и х * а = у * а следует, что х = у.

Примерами сократимых алгебраических операций являются сложение и умножение на множестве натуральных чисел. Операция умножения на множестве целых чисел сократимой не является, т.к. из того, что 0 · х = 0 · у не следует, что х = у.
5. Обратные операции.

Определение. Пусть * – сократимая и коммутативная алгебраическая операция, заданная на множестве Х. Операция называется обратной для операции *, если х у = z тогда и только тогда, когда у * z = х.

Пример: вычитание на множестве целых чисел – операция, обратная сложению.
6. Нейтральный элемент.

Определение. Элемент е из множества Х называют нейтральным относительно алгебраической операции *, если для любого элемента х из множества Х выполняются равенства х * е = е * х.

Замечание. Если нейтральный элемент относительно алгебраической операции существует, то он единственный.

Примеры нейтральных элементов: 0 – нейтральный элемент относительно операции сложения, т.к. а + 0 = а для любого а; 1 – нейтральный элемент относительно умножения, т.к. . а · 1 = а для любого а.
7. Поглощающий элемент.

Определение. Элемент p из множества Х называют поглощающим относительно алгебраической операции *, если для любого элемента х из множества Х выполняются равенства х * p = p * х = p.

Замечание. Если поглощающий элемент относительно алгебраической операции существует, то он единственный.

Пример: 0 – поглощающий элемент относительно умножения, т.к. 0 · х = х · 0.
8. Симметричные элементы.

Определение. Пусть в множестве Х существует элемент е, нейтральный относительно алгебраической операции *. Элемент называется симметричным элементу а, если выполняются равенства: а * = * а = е.

Примеры: 1) а, –а – симметричные элементы относительно сложения на множестве целых чисел, т.к. а + (–а) = 0, эти числа называют противоположными; 2) а, - симметричные относительно умножения на множестве рациональных чисел, т.к. а · = 1, эти числа называют обратными.

Похожие:

Целые неотрицательные числа iconДля записи информации о количестве объектов используются числа
Число можно изобразить группой знаков некоторого алфавита. Символы при помощи, которых записываются целые неотрицательные числа,...
Целые неотрицательные числа iconТемы дипломных работ
Целые неотрицательные числа. Устные счет на уроках математики в начальных классах
Целые неотрицательные числа iconЗадача Все подходящие дроби несократимы
Везде предполагаем, что, для всех. Также и обозначают целые неотрицательные числа
Целые неотрицательные числа icon«Длинные целые числа. Циклы с предусловием» Длинные целые числа
...
Целые неотрицательные числа icon«Имена числительные, обозначающие целые числа»
Цели урока: сформировать умение правильно употреблять падежные формы числительных, обозначающих целые числа; отработать навык правописания...
Целые неотрицательные числа iconПлан проведения проекта 10 класс действительные числа
Действительные числа. Натуральные и целые числа. Делимость чисел. Основная теорема арифметики натуральных чисел. Рациональные, иррациональные,...
Целые неотрицательные числа icon20 Синхронизация процессов при помощи семафоров
В памяти находятся две неотрицательные целые переменные, называемые семафорами. Операционная система располагает двумя командами...
Целые неотрицательные числа iconДиофантовы приближения и трансцендентные числа
Алгебраические числа. Простейшие сведения об алгебраических числах. Целые алгебраические числа. Алгебраическое поле. Базис и дискриминант...
Целые неотрицательные числа iconЭкзаменационные вопросы Целые, рациональные, действительные числа. Числовые множества, операции над множествами
Комплексные числа: модуль и аргумент комплексного числа; алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа;...
Целые неотрицательные числа iconЭкзаменационные вопросы Целые, рациональные, действительные числа. Числовые множества, операции над множествами
Комплексные числа: модуль и аргумент комплексного числа; алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа;...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org