Исследовательская работа по математике Автор: Дюндик Галина Ученица 5 класса. Консультант: Дюндик Татьяна Ученица 10 класса



Скачать 294.28 Kb.
страница1/2
Дата20.01.2013
Размер294.28 Kb.
ТипИсследовательская работа
  1   2



Районная творческая конференция школьников

Муниципальное образовательное учреждение

«Монастырская средняя общеобразовательная школа»







исследовательская работа

по математике

Автор: Дюндик Галина

Ученица 5 класса.

Консультант: Дюндик Татьяна

Ученица 10 класса.

Руководитель:

Зельчан Татьяна Викторовна

Учитель математики.
Монастырка 2009
Оглавление страница


1. Оглавление___________________________________________2
2. Введение_____________________________________________3

Предмет исследования___________________________ 4

Цель исследования______________________________ 4

Задачи исследования ____________________________ 4

Методы исследования ___________________________4
3. Исторические сведения_________________________________5
4. Закономерности таблицы умножения_____________________ 7
5. Взаимосвязь знания таблицы умножения и обученности учащихся _____________________________________________11
6. Приемы запоминания таблицы умножения_______________12
7. Заключение__________________________________________13
8. Приложения_________________________________________14
9. Список используемой литературы_______________________19
2. Введение
«Таблица умножения – это нечто совершенно независимое ни от чьих «мнений». Ни над нею, ни на равне с нею нет никакого авторитета. Все авторитеты ничтожны перед нею. И авторитет может относиться лишь к тому, о чем не дает решения она. И при малейшем разногласии с нею авторитет раздробляется в прах.

Такова ж и всякая другая научная истина … Таблица умножения была верна во все прошлое вечности, будет верна во все будущие вечности, повсюду: и на Сириусе, и на Альционе, и повсюду, как на Земле: она - верное формулирование самой «природы вещей»; она – вечно и повсюду непреложна. …»
Таблица умножения, она же таблица Пифагора представляет собой таблицу, где строки и столбцы озаглавлены множителями, а в ячейках таблицы находится их произведение. Используется для обучения школьников умножению.

В своё время введение заучиваемой наизусть таблицы умножения упростило устный и письменный счёт. До этого использовались разные способы вычисления произведений однозначных чисел, которые сильно замедляли весь процесс и служили источником дополнительных ошибок.

В российских школах традиционно таблица умножения доходит до 10 × 10, так как мы используем десятичную систему счисления.


В Великобритании таблицу изучают до 12 × 12, что связано, в том числе с единицами английской системой мер длины (1фут = 12дюймов) Таблица умножения – это те необходимые в жизни каждого человека знания, которые требуется элементарно заучить, что на первых порах даётся совсем не легко для многих школьников. А может, стоит подумать о том, как облегчить запоминание таблицы умножения? В этом заключается актуальность темы.


Цель исследования:


установление закономерностей таблицы умножения

Задачи:


выявить существование закономерностей в таблице умножения

выяснить взаимосвязь знания таблицы умножения с качеством обученности школьника.

3. Исторические сведения



Примерно в 100году до нашей эры, древнегреческий математик и философ Никомах из Геразы (І – ІІ вв.) поместил таблицу умножения Пифагора в своем труде «Введение в арифметику». Произведения чисел в ней располагались в виде квадрата (приложение 1).

Кто же такой Пифагор? Когда он родился? Какая существует связь таблицы умножения с именем Пифагора?

Древнегреческий мыслитель, религиозный и политический деятель, основатель пифагореизма, математик. О жизни его сложено много легенд, представляющих Пифагора почти как полубогом, совершенным мудрецом, наследником всей античной и ближневосточной науки, чудотворцем и магом. Точной даты рождения Пифагора не знает никто, но по историческим сведениям это примерно 580 лет до нашей эры.

Имя Пифагора в названии таблицы умножения отражает скорее дань уважения основоположеннику логистики (арифметики), хотя по форме сегодняшняя таблица целиком скопирована с древнегреческого оригинала.

В средние века в Европе пользовались рукописными вариантами таблицы умножения для чисел первого десятка. Но постепенно задачи практики заставляют создавать и использовать расширенные таблицы умножения. В Европе первую такую таблицу умножения до 59 × 59 в шестидесятеричной системе счисления мы находим в сочинении Петра Датского примерно в 1300г. Позднее многие авторы помещали в своих работах расширенные таблицы умножения. Специально отдельные таблицы, содержащие произведения чисел до 999 × 999, были изданы впервые в 1610г.

Разнообразные математические таблицы, используемые для удобства устных и письменных вычислений, были известны более чем за 3000 лет до н. э. Например, у народов древнего Вавилона были таблицы квадратов и кубов последовательных натуральных чисел, таблицы умножения и деления.

Первой в России таблицей умножения, содержащей произведения чисел от 11 до 100100, была книга, изданная в Москве почти 300 лет тому назад в 1682г. Она имела очень длинное название (что было в обычае того времени), которое начиналось так: «Считание удобное, которым всякий человек, купующий или продающий, зело удобно изыскати может число всякие вещи...»

«Считание удобное … » является первой публикацией математической книги на русском языке, а поэтому 1682г. можно считать годом зарождения печатной математической литературы в России. Эта книга была напечатана славянским шрифтом и в славянской нумерации.

В школе в кабинетах математики находятся четырехзначные математические таблицы. Автор В. М. Брадис. С 5 по 27 страницу в ней располагается таблица 1 «Точные произведения двузначных чисел».

Современная таблица умножения (таблица Пифагора) часто печатается на обложках тетрадей и в учебниках по математике для начальной школы. Вот как она выглядит сейчас (приложение 2).

4. Закономерности в таблице умножения.

Гипотеза: В таблице умножения существуют закономерности.
Для подтверждения данной гипотезы исследовали таблицу и обнаружили следующее:


1

2

3

4

5

6

7

8

9

2

4

6

8

10

12

14

16

18

3

6

9

12

15

18

21

24

27

4

8

12

16

20

24

28

32

36

5

10

15

20

25

30

35

40

45

6

12

18

24

30

36

42

48

54

7

14

21

28

35

42

49

56

63

8

16

24

32

40

48

56

64

72

9

18

27

36

45

54

63

72

81
1) Если в первом столбике цифры расположены по порядку

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 9 сверху вниз, то в последнем столбике наоборот – цифры в разряде единиц расположены по порядку снизу вверх.
2) Сравним второй и восьмой столбики. С цифрами в разряде единиц происходит то же самое, только цифры четные.
3) Суммы чисел, расположенных на одинаковом расстоянии от центрального столбика (умножение на 5) всегда равны и в два раза больше, чем число, записанное в центре. Например, на седьмой строчке:

7 + 63 = 70; 14 + 56 = 70; 21 + 49 = 70; 28 + 42 = 70. В центре – число 35.
4). По диагонали, проведенной из верхнего левого угла таблицы в нижний правый угол, располагаются квадраты натуральных чисел от 1 до 9.
1 · 1 = 12 = 1 4 · 4 = 42 = 16 7 · 7 = 72 = 49

2 · 2 = 22 = 4 5 · 5 = 52 = 25 8 · 8 = 82 = 64

3 · 3 = 32 = 9 6 · 6 = 62 = 36 9 · 9 = 92 = 81
5). Относительно той же диагонали, расположение чисел симметрично.


1

2

3

4

5

6

7

8

9

2

4

6

8

10

12

14

16

18

3

6

9

12

15

18

21

24

27

4

8

12

16

20

24

28

32

36

5

10

15

20

25

30

35

40

45

6

12

18

24

30

36

42

48

54

7

14

21

28

35

42

49

56

63

8

16

24

32

40

48

56

64

72

9

18

27

36

45

54

63

72

81
6). При умножении чисел от 1 до 9 на 2 можно выделить следующую закономерность: цифры 0, 2, 4, 6, 8 в разряде единиц повторяются

20=0 25=10

21=2 26=12

22=4 27=14

23=6 28=16

24=8 29=18

7). При умножении на 3 в ответах появляется такая закономерность:

сначала идут числа 3, 6, 9 затем три двузначных числа с первой цифрой 1, но сумма цифр у них 3, 6, 9. Следующие три ответа начинаются с цифры 2, а сумма цифр остается в том же порядке 3, 6, 9. 30=0

31=3 34=12 (1+2=3) 37=21 (2+1=3)

32=6 35=15 (1+5=6) 38=24 (2+4=6)

33=9 36=18 (1+8=9) 39=27 (2+7=9)

8). Если посмотреть на пятую строчку или пятый столбик таблицы, то можно заметить такую закономерность:


1

2

3

4

5

6

7

8

9

2

4

6

8

10

12

14

16

18

3

6

9

12

15

18

21

24

27

4

8

12

16

20

24

28

32

36

5

10

15

20

25

30

35

40

45

6

12

18

24

30

36

42

48

54

7

14

21

28

35

42

49

56

63

8

16

24

32

40

48

56

64

72

9

18

27

36

45

54

63

72

81
сумма симметричных чисел, относительно центра (число 25), равна 50

5 + 45 = 50

10 + 40 = 50

15 + 35 = 50

20 + 30 = 50

9). Цифры 0 и 5 в разряде единиц чередуются.

10). На шестой строчке и в шестом столбце таблицы числа располагаются так, что сумма симметричных чисел равна 66

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2

4

6

8

10

12

14

16

18

3

6

9

12

15

18

21

24

27

4

8

12

16

20

24

28

32

36

5

10

15

20

25

30

35

40

45

6

12

18

24

30

36

42

48

54

7

14

21

28

35

42

49

56

63

8

16

24

32

40

48

56

64

72

9

18

27

36

45

54

63

72

81
30 + 36 = 66

24 + 42 = 66

18 + 48 = 66

12 + 54 = 66

6 + 60 = 66
11) Сумма цифр в шестом столбике делится на 3 (1 + 2; 1 + 8; 2 + 4; 3 + 0; 3 + 6; 4 + 2; 4 + 8; 5 + 4).

12). Интересную закономерность можно заметить, если изучить восьмую строчку или восьмой столбик этой таблицы, то есть умножение на 8.

При умножении на восемь сумма цифр произведения уменьшается

8 · 9 = 72 7 + 2 = 9

8 · 1 = 8 0 + 8 = 8

8 · 2 = 16 1 + 6 = 7

8 · 3 = 24 2 + 4 = 6

8 · 4 = 32 3 + 2 = 5

8 · 5 = 40 4 + 0 = 4

8 · 6 = 48 4 + 8 = 12 1 + 2 = 3

8 · 7 = 56 5 + 6 = 11 1 + 1 = 2

8 · 8 = 64 6 + 4 = 10 1 + 0 = 1

Наиболее интересной, с точки зрения количества закономерностей, в таблице является девятая строчка и девятый столбик, то есть умножение на 9.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2

4

6

8

10

12

14

16

18

3

6

9

12

15

18

21

24

27

4

8

12

16

20

24

28

32

36

5

10

15

20

25

30

35

40

45

6

12

18

24

30

36

42

48

54

7

14

21

28

35

42

49

56

63

8

16

24

32

40

48

56

64

72

9

18

27

36

45

54

63

72

81
13). Цифры в разряде десятков располагаются в порядке возрастания, а цифры в разряде единиц располагаются в порядке убывания.

14). Если сложить цифры, которыми записано число в ячейке последнего столбца или нижней строчки, то сумма цифр всегда равна 9.

0 + 9 = 9, 1 + 8 = 9, 2 + 7 = 9, 3 + 6 = 9, 4 + 5 = 9,

5 + 4 = 9, 6 + 3 = 9, 7 + 2 = 9, 8 + 1 = 9, 9 + 0 = 9

15) Если в результате умножения на девять переставить цифры в ответе второго примера, то получится ответ последнего (18 и 81), ответ третьего с ответом предпоследнего (27 и 72) и так далее (36 и 63; 45 и 54).

16). Если в таблице выделить квадрат, стороны которого параллельны сторонам таблицы, то произведения диагональных чисел равны.


1

2

3

4

5

6

7

8

9

2

4

6

8

10

12

14

16

18

3

6

9

12

15

18

21

24

27

4

8

12

16

20

24

28

32

36

5

10

15

20

25

30

35

40

45

6

12

18

24

30

36

42

48

54

7

14

21

28

35

42

49

56

63

8

16

24

32

40

48

56

64

72

9

18

27

36

45

54

63

72

81
1 · 4 · 9 = 36

3 · 4 · 3 = 36

7 · 16 · 27 = 3024

21 · 16 · 9 = 3024

6 · 14 · 24 · 36 = 72576

9 · 16 · 21 · 24 = 72576

30 · 42 · 56 · 72 = 5080320

48 · 49 · 48 · 45 = 5080320


Вывод: Гипотеза подтверждена.

В таблице умножения удалось выявить 16 закономерностей.

5. Взаимосвязь знания таблицы умножения и обученности учащихся.

Гипотеза: если ученик знает таблицу умножения, то качество его обученности выше.

Для подтверждения данной гипотезы, среди учащихся нашего класса было проверено знание таблицы умножения. Результаты занесены в таблицу.



ФИ учащегося


Количество примеров

Затраченное

время

(минут)

правильных

ответов

качество

обученности


1

Дюндик Галина

10

8

10

5

2

Елизарова Ольга

10

11

9

4

3

Пилецкая Руфина

10

14

7

3

4

Поплетеев Алексей

10

35

6

3

5

Прокопьев Андрей

10

35

3

3

6

Синчукова Елена

10

27

6

3

7

Шантарева Татьяна

10

7

10

5


Наибольшее количество неправильных ответов было при умножении чисел на 6, 7, 8 и 9.

Вывод: гипотеза подтверждена, но знание таблицы умножение является лишь одной из составляющей обученности учащихся

6. Приёмы запоминания таблицы умножения.

Гипотеза: если знать некоторые закономерности и применять различные способы запоминания таблицы умножения, то качество запоминания улучшится.

Умножение на 9 на пальцах.

Надо растопырить перед собой десять пальцев. Допустим, необходимо умножить четыре на девять. Загибаем четвертый слева палец (это указательный левой руки), слева от согнутого осталось три пальца, они показывают количество десятков, справа – шесть, они показывают количество единиц. 9 4 = 36.

Умножим 6 на 9. Загнем шестой слева палец (это большой палец правой руки), слева от него пять пальцев (количество десятков), а справа – четыре (количество единиц), то есть получается – 54.

С приёмом умножения на 9 (на пальцах) и закономерностями таблицы умножения были ознакомлены учащиеся нашего класса. После решения примеров ошибок при умножении на 9 не было.
Таблицу умножения можно учить в стихах (приложение 4).

  1   2

Похожие:

Исследовательская работа по математике Автор: Дюндик Галина Ученица 5 класса. Консультант: Дюндик Татьяна Ученица 10 класса iconИсследовательская работа Ямбарцева Татьяна, 13 лет, ученица 6 класса
Первое и последующее изучение числа p в школьном курсе математики
Исследовательская работа по математике Автор: Дюндик Галина Ученица 5 класса. Консультант: Дюндик Татьяна Ученица 10 класса icon«Прав ли Сальери: создание музыкальной вариации с использованием математических преобразований и понятий», исследовательская работа, автор Екатерина Федотова, ученица 6Б класса гбоу сош г. Москвы №820, руководитель Л

Исследовательская работа по математике Автор: Дюндик Галина Ученица 5 класса. Консультант: Дюндик Татьяна Ученица 10 класса iconИсследовательская работа Мигулина Оксана Евгеньевна, ученица 11 класса. Паспорт 1407 837758 выдан тп в Корочанской мо уфмс

Исследовательская работа по математике Автор: Дюндик Галина Ученица 5 класса. Консультант: Дюндик Татьяна Ученица 10 класса iconИсследовательская работа Предметная область Русский язык Автор Иванцова Елена Николаевна, ученица 8 класса
Цель настоящего исследования: рассмотреть особенности системы урбанонимов областного российского города в начале 21 века (на примере...
Исследовательская работа по математике Автор: Дюндик Галина Ученица 5 класса. Консультант: Дюндик Татьяна Ученица 10 класса iconИсследовательская работа Предметная область Русский язык Автор Иванцова Елена Николаевна, ученица 8 класса
Цель настоящего исследования: рассмотреть особенности системы урбанонимов областного российского города в начале 21 века (на примере...
Исследовательская работа по математике Автор: Дюндик Галина Ученица 5 класса. Консультант: Дюндик Татьяна Ученица 10 класса iconИсследовательская работа: Вторая жизнь пластиковой бутылки Автор: Кривулина Анастасия Сергеевна, ученица 3 «А» класса
Небольшой город каждый месяц выбрасывает около 20 тонн пластиковых бутылок. И с каждым годом отходы из пластиковых бутылок растут...
Исследовательская работа по математике Автор: Дюндик Галина Ученица 5 класса. Консультант: Дюндик Татьяна Ученица 10 класса iconИсследовательская работа по физике «Оптические иллюзии»
Хорошун Екатерина Дмитриевна, ученица 10 класса моу маргаритовской сош азовского района с. Маргаритово
Исследовательская работа по математике Автор: Дюндик Галина Ученица 5 класса. Консультант: Дюндик Татьяна Ученица 10 класса iconИсследовательская работа Егунова Валерия, ученица 2 класса
Технологии: опрос, изучение литературы и справочников, сравнение полученных фактов, анализ информации
Исследовательская работа по математике Автор: Дюндик Галина Ученица 5 класса. Консультант: Дюндик Татьяна Ученица 10 класса iconИсследовательская работа Невозможный мир Автор: Гурская Ольга Валерьевна ученица 10 класса
Они рассматривали эти объекты и пытались понять их. При помощи таких экспериментов, когда глазу предлагалась противоречивая информация,...
Исследовательская работа по математике Автор: Дюндик Галина Ученица 5 класса. Консультант: Дюндик Татьяна Ученица 10 класса iconИсследовательская работа по теме «Вездесущее число» Работу Хмура Е., ученица 8 класса Учитель: Панкова Е. Ю
В одной книге говорится: «Число захватывает умы гениев науки и математиков-любителей во всем мире». Некоторые даже считают его одним...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org