С. Л. от 18 июня 2010 г. Ниже находится текст, который представляет собой скорее, не тезисы



Скачать 123.84 Kb.
Дата30.01.2013
Размер123.84 Kb.
ТипДокументы


Материалы к докладу Катречко С.Л. от 18 июня 2010 г.

Ниже находится текст, который представляет собой скорее, не тезисы доклада, а описание той проблемной области, которой будет посвящен мой доклад. Собственно тезисы (главный тезис, из которого можно сделать ряд следствий) приведен на последней странице: математика "работает" с абстрактными объектами. Он позволяет представить все существующие ныне подходы (их набралось 16) в едином ключе, как ответ на вопрос, что собой представляет абстрактный объект и с помощью какого рода эпистемологическим процедур он становится доступным для нашего сознания. Сам доклад будет являться продолжением представленного текста.
Катречко С.Л.

Мета-философский подход к философии математики:

математика как "работа" с абстрактными объектами

(послесловие к аспирантскому курсу "Философия математики" (апрель 2010 г.); тезисы доклада на московском семинаре по философии математике (18 июня 2010 г.) + тезисы на конф. СПБ)

Что собой представляет современная [англоязычная] философия математики (если ориентироваться на англоязычную литературу)? Какие ключевые темы, проблемы, подходы сейчас востребованы? Вот те вопросы, которые я поставил перед собой перед чтением спец.курса «Философия математики» для аспирантов мехмата МГУ.

Определенную помощь в их разрешении мне оказали, помимо собственно англоязычных источников, работы В. В. Целищева1, в которых обильно цитируются (пересказываются) многие из современных (англоязычных) источников по философии математики.

Результат этого просмотра и подбора литературы выложен на моей учебной web-странице, посвященной этому курсу: http://www.philosophy.ru/library/katr/1_asp2010_philmath.html (далее я буду ссылаться на ряд работ или размещенных там, или отмеченных там ссылками).

Во-первых, надо отметить, что стандартный подход, принятый во многих российских (советских) учебниках по философии математики, который сводит содержание этой дисциплины к обсуждению трех (четырех) традиционных программ обоснования математики: логицизму (Фреге, Рассел), интуиционизму (Брауэр, Гейтинг и его продолжению в советской школе конструктивизма) и формализму (Гильберт, Нейман, Карри) — безнадежно устарел. Как пишет в этой связи крупный логик (математик) А.Мостовский в своей статье «Тридцать лет исследований в области философии математики»: «…Философские цели трех школ не были достигнуты, и, судя по всему, мы не ближе к полному пониманию математики, чем основатели этих школ»2 (Mostowski A. Thirty years of foundational studies //Acta Filosophica Fennica, Fasc.17. — Helsinki, 1965. — P. 8).
Продолжая эту линию известный современный философ (математики) Х. Патнэм недавно выразился, что “ничего это (три великих/традиционных школы) уже не работает” (см. его статью с названием «Почему все это не работает?»; Putnam H. Philosophy of mathematics - why nothing works? //Putnam H. Words and life. - Harvard UP. — P. 499 – 512)3.

В современной англоязычной литературе сложился следующий промежуточный подход4, в котором, наряду с традиционными программами обоснования математики начала ХХ века, излагаются и более современные концепции:

1. Philosophy of Mathematics, Logic, and the Foundations of Mathematics

  • 2. Four Schools

    • 2.1 Logicism

    • 2.2 Intuitionism

    • 2.3 Formalism

    • 2.4 Predicativism

  • 3. Platonism

    • 3.1 Gödel's Platonism

    • 3.2 Naturalism and Indispensability

    • 3.3 Deflating Platonism

    • 3.4 Benacerraf's Epistemological Problem

    • 3.5 Plenitudinous Platonism

  • 4. Structuralism and Nominalism

    • 4.1 What Numbers Could Not Be

    • 4.2 Ante Rem Structuralism

    • 4.3 Mathematics Without Abstract Entities

    • 4.4 In Rebus Structuralism

    • 4.5 Fictionalism

  • 5. Special Topics

    • 5.1 Philosophy of Set Theory

    • 5.2 Categoricity

    • 5.3 Computation and Proof

В данном случае хотелось бы обратить внимание на «новые» для русскоязычной традиции вещи: п. 2.4. (предикативизм), раздел 3 (платонизм и его разновидности), раздел 4 (структурализм, в состав которого включены номинализм и фикционализм (что не совсем корректно)); разделы 3 и 4 указывают на востребованность в современной философии математики классической проблемы универсалий), а также раздел 5 (примечателен и сам раздел, посвященный специальным темам и перечень этих тем: теория множеств, категоричность (теорема Левенгейма–Сколема как дополнением к теоремам Геделя/Тарского), доказательство и компьютерная вычислимость).

Во-вторых, если обратиться к обзору современных исследований по философии математики, то можно зафиксировать разнообразие подходов. Согласно В.Целищеву, который во многом опирается на перечень Х. Патнэма (пп. 1 – 85), можно выделить следующие концепции/подходы:

1. логицизм (математика есть логика в чужом одеянии);

2. логический позитивизм (математические истины суть истины благодаря правилам языка);

3. формализм;

4. платонизм (или реализм; см. несколько его разновидностей выше);

5. холизм (Куайн: математика должна рассматриваться не как отдельная наука, а как часть всей науки);

6. квазиэмпирический реализм (идея, о том, что есть нечто аналогичное эмпирическому исследованию в чистой математике — не путать с квази-эмпиризмом (см. п.14 ниже), можно рассматривать как натуралистическую версию платонизма);

7. модализм (Дж. Хеллман, отчасти Х.Филд (см. п. 9 ниже); мы можем переформулировать классическую математику таким образом, что вместо разговора о множествах, числах и других объектах будем просто утверждать возможность или невозможность определенных структур);

8. интуиционизм;

— Дж. Кетланд, в дополнение к списку Х. Патнэма, выделяет еще 4-е направления:

9. номинализм (Х.Филд);

10. структурализм (Н.Бурбаки, П. Бенцерраф (предтеча структурализма); С.Шапиро, М.Резник);

11. натурализм (П.Мэдди; Дж. Бургесс);

12. предикативный конструктивизм (или предикативизм; С.Феферман).

— в дополнении к этому списку В.А. Бажанов (см. его тезисы на конференцию по фил. математики 2007) выделяет еще несколько «нестандартных подходов в философии математики» (повторения с вышеперечисленными подходами исключены).

13. Социальный конструктивизм истолковывает математику как продукт социальной деятельности, культуры, который изменяется по мере развития общественной практики и/или культуры (Т. Тимошко, Р. Херш, П. Эрнест). Математика в данном подходе рассматривается как эмпирическая наука, достижения которой определяются уровнем социального конструирования и пересматриваются по мере трансформации социальной реальности.

14. Квази-эмпиризм склонен считать, что математика близка по своим методам и методологии к эмпирическому знанию (Дж. Ст. Милль, И. Лакатос, Ф. Китчер).

15.1. Концепции "физиологического"(embodied mind) истолкования математики (Дж. Лакофф, Р. Нюньез, М. Джонсон, К. Девлин). Сторонники этого подхода настаивают, что математика является органичным продуктом развития средств человеческого познания, что она физиологически (даже на уровне структур мозга) предопределена и вытекает из опыта пересчета дискретных объектов

15.2 Подход В.Н Тростникова о нейрофизиологической предопределенности математического познания; несмотря на схожесть с 15.1. "нейрофизиологический" подход концептуально отличен от «физиологического»: он исходит из некоторого рода корреляции математических структур и операций с теми нейрофизиологическими особенностями, которые отличают человеческий мозг, органы зрения и/или элементы т.н. перцептивного пространства.

16 Перспектива оформления своего рода негёделевой философии математики (на основе паранепротиворечивой математики).

— Кроме того, у того же В.Целищева есть указание и на еще один тип концепций, который в рамках нашего семинара получило название социокультурной философии математики (А. Барабашев), или как называет ее Р. Херш «радикально новый гуманистический» взгляд на философию математики (частично это перекрывается пп. 13 и 14 выше6).

На этом этапе я специально не стал проводить аналитическую работу на предмет того, являются ли все перечисленные направления/концепции/подходы независимыми и как следовало бы их упорядочить (и, возможно, сократить) с тем, чтобы зафиксировать факт многообразия современных подходов.

Этот факт, с одной стороны, говорит о том, что в современной философии математике нет кризиса (о котором стали говорить в 50–60-е годы, см. цит. А. Мостовского выше), поскольку в настоящее время наблюдается бурный рост самых разнообразных концепций, что свидетельствует, скорее, о подъеме этой области7. Но с другой стороны, это разнообразие говорит о том, что существует проблема его упорядочивания на основе определенного концептуального критерия: как видно из списка перечисленные подходы зачастую выделяются не по своей концептуальной специфике, а по именам своих создателей, которые нередко преувеличивают концептуальную новизну своих подходов.

Собственно, мой доклад и будет являться попыткой концептуального упорядочивания всего этого многообразия современных концепций философии математики. Однако прежде чем приступить к этой задаче необходимо будет кратко остановиться на том, (1) что собой представляет философия математики в принципе и о какой философии математики можно говорить, и (2) о философии какой математики идет речь.

Отвечая на первый вопрос, можно сказать, что философия математики, претендующая ответить на «основной» вопрос «Что такое математика?» может быть специфицирована следующими тремя (под)вопросами:

  1. Что собой представляет математические объекты (и какова их специфика)?

  2. Каково рода знанием является математическое знание, какова его специфика?

  3. Какова специфика математической деятельности в социокультурном аспекте?

Первый вопрос является вопросом об онтологии математики8, второй — об эпистемологии, а третий — о прагматике. При этом каждый из последующих вопросов предполагает предыдущий и «включает» в себя его (картинка из трех вложенных друг в друга окружностей). В рамках доклада внимание будет сосредоточено на первых двух вопросах, которые и составляют классическую (фундаменталистскую) философию математики, в то время как третий вопрос отсылает к не-фундаменталистской (социокультурной или «гуманитарной») философии математики.

При ответе на второй вопрос нужно учитывать известную (колмогоровскую) идею о трех периодах развития математики: античном, классическом (нововременном) и современном. В каждом из них математика образует специфический комплекс с другими типами знания: в античную — метафизико–математический, в нововременную — физико–математический, в современную — логико-математический комплексы. Тем самым можно говорить о трех исторических/концептуальных «образах» математики. Для каждого из них сформулированные выше «основные» (под)вопросы философии математики будут решаться по-разному.

Вместе с тем, выделенные выше «образы» математики характеризуют диалектику развития математического знания. Можно говорить об определенном сходстве первого и третьего «образов» (что обусловлено сходством метафизики и логики): математические объекты (например и прежде всего, числа как парадигмальный математический объект) выступают здесь в противоположность конкретным физическим вещам и процессам как абстрактные объекты9.

Последнее и представляет основной тезис нашего подхода: математика представляет собой «работу» с абстрактными объектами10. Этот тезис задает не только специфику объектов математического рассуждения (онтология), но и специфику математического знания (эпистемология): математика принципиально отличается от физики, она конституирована по-другому11. В зависимости от понимания того, что собой представляет абстрактные объекты, разным образом решается вопрос о доступе к этим объектам. Так, если мы понимаем абстрактные объекты как указание на платоновские сущности (эйдосы), то нам необходимо постулировать особую интеллектуальную интуицию для их схватывания (типа эйдетической интуиции Гуссерля).

Сформулированный выше тезис о специфике математики как работе с абстрактными объектами (и решение проблемы эпистемологического доступа к ним) позволяет дать упорядоченную (целостную) картину перечисленных выше концепций философии математики: каждая из концепций должна определить свое отношение 1. к онтологическому статусу математических объектов (1 подвопрос; + дать свое решение проблемы универсалий) и эпистемологическомук статусу математического знания (2 подвопрос). Так, например, три классических направления философии математики (логицизм, интуиционизм, формализм) по сути дела представляют разные варианты решения проблемы универсалий: логицизм соответствует реализму (платонизму), формализм — номинализму, а интуиционизм — концептуализму, а выделенный выше Патнэмом подход 2 (логический позитивизм) концептуально мало чем отличается от подхода 9 (номинализм).
Дополнение к докладу/раскрытие основного тезиса (из моих тезисов на логическую и онтологическую конференции в июне 2010; СПб). Если математика представляет собой «работу» с абстрактными объектами, то возникает (трансцендентальный) вопрос о том, что они собой представляют (с онтологической точки зрения). Заметим, что этот вопрос в настоящее время активно обсуждается в рамках близкой мне программы неологицизма (К. Райт (Wright), Б. Хэйл (Hale), Э. Залта (Zalta) и Б. Линский (Linsky), Дж. Булос (Boolos)). Здесь можно выделить три разных варианта решения: 1) понимание абстрактных объектов как не(до)определенных конкретных объектов; 2) понимание абстрактных объектов как свойств (Платон, Э. Залта); 3) понимание абстрактных объектов как «пустых местах» в рамках структур (структурализм; Л. Витгенштейн, П. Бенацерраф (Benacerraf), С. Шапиро (Shapiro), М. Резник (Resnik)).

1 Речь идет о целой серии работ В.В. Целищева (директора Института философии и права Сибирского отделения РАН): 1. Философия математики, 2002; 2. Онтология математики, 2003; 3. Нормативность дедуктивного дискурса, 2004; 4. Алгоритмизация мышления, 2005; 5. Эпистемология математического доказательства, 2006; 6. Интуиция, финитизм и рекурсивное мышление, 2007.

2 Хотя, как продолжает Мостовский: «нельзя отрицать, что активность этих школ принесла огромное число новых важных открытий, которые углубили наше познание математики и ее отношение к логике. Как часто случается, побочные продукты оказались более важными, чем исходные цели основателей трех школ».

3 В свете этой тенденции В. Целищев в своей одноименной статье (2001) ставит вопрос о «поисках новой философии математики» (см. также его другую статью «Перспективы исследований в философии математики» на эту тему (1999)).

4 Я буду излагать его по энциклопедической статье Л. Хорнстейна «Философия математики» из SEP (http://plato.stanford.edu/entries/philosophy-mathematics/), но и теми или иными вариациями он представлен в других англоязычных учебниках по философии математики, т.е. является достаточно репрезентативным.

5 Сам Патнэм полагает, что следует отказаться от первых четырех направлений и продолжать исследования, которые представляют собой определенную смесь направлений 5 — 8.

6 T. Tymoczko (ed.), New Directions in the Philosophy of Mathematics; I. Lakatos, Proofs and Refutations; Ph. Kitcher, The Nature of Mathematical Knowledge.

7 В определенном смысле «спусковым крючком» этого возрождения в 70-е годы можно считать две статьи П. Бенцеррафа: 1. Benacerraf P. What Numbers Could Not Be? (1964); 2. Mathematical Truth (1973; Readings in the Philosophy of Mathematics (P.Benacerraf and H.Putnam (eds)), первая из которых возрождает онтологическую, а вторая — эпистемологическую проблематику в современной философии математики.

8 Как провозгласил в свое время Э.Бет «Философия математики ...есть онтология математических объектов» (Beth Е. Mathematical Thought. - Dordrecht, Reidel, 1965. — P. 176).

9 Это относится, хотя в более слабой форме, ко второму «образу» математики, хотя настоящее время характеризуется концептуальным противостоянием физико-математического и логико-математического типов знания (математика «физична» или «метафизична»?). О трудностях точного определения абстрактных объектов см. статью Г. Розена Абстрактные объекты (Rosen G. Abstract Objects (Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2001; http://plato.stanford.edu/entries/abstract-objects). Наиболее популярным в настоящее время является подход к их заданию посредством номинальных определений типа принципа [абстракции] Юма — Фреге (см. подборку статей о Hume`s principle + кн. Boolos G. Logic, Logic, and Logic. Harvard Univ. Press, 1998. Section II; или работы Райта, Залты и др.). См. также книгу: Hale B. Abstract Objects, Oxford: Basil Blackwell, 1987 (Хейл — один из представителей неологицизма).

10 Соответственно, признание абстрактности математических объектов ведет к тому, что наивной философией математики выступает платонизм (как «философия работающего математика» (Р. Херш)).

11 Впервые развернуто об этом стал говорить Кант в своей «Критике чистого знания», который по праву может считаться пионером «эпистемологического поворота» в философии математики (resp. ee эпистемологизации, т.е. к перехода от 1-го подвопроса об объектах ко 2-му подвопросу о знании).


Похожие:

С. Л. от 18 июня 2010 г. Ниже находится текст, который представляет собой скорее, не тезисы iconТезисы V международной конференции 25-26 ноября 2010 г. Москва − 2010 удк ббк под редакцией
Охватывает группу диалектов-говоров от Рио-де-Жанейро на север, южный ‒ от Сан-Паулу на юг. Зона же Рио-де-Жанейро ‒ Сан-Паулу представляет...
С. Л. от 18 июня 2010 г. Ниже находится текст, который представляет собой скорее, не тезисы iconКнига Ангелов, Колец, Печатей и Планетарных Символов
Университета Кембриджа. Позднее, после того, когда рукопись была исследована, появилось мнение, что это работа Бокенхема; а скорее...
С. Л. от 18 июня 2010 г. Ниже находится текст, который представляет собой скорее, не тезисы iconМетодические материалы Текст. Основные категории и свойства текста
«Текст представляет собой основную единицу коммуникации, способ хранения и передачи информации, форму существования культуры, продукт...
С. Л. от 18 июня 2010 г. Ниже находится текст, который представляет собой скорее, не тезисы iconЕ. М. Мелетинского Центр типологии и семиотики фольклора Международная конференция Демонология как семиотическая система Изображение. Текст. Народная культура Москва, рггу 18-19 июня 2010 г. Тезисы
Соседний с ними народ ерос (рос, рус, согласно Н. В. Пигулевской и др.), мужчины с огромными конечностями, у которых нет оружия и...
С. Л. от 18 июня 2010 г. Ниже находится текст, который представляет собой скорее, не тезисы iconСборник трудов 6-й Международной конференции. Евпатория 2-8 июня 2001г. Тезисы докладов. М.: Маи. 2001. 99 с с. 14. Текст доклада
Смульский И. И. Обоснование стратегии исследований для межзвездных полетов.// Системный анализ и управление космическими комплексами....
С. Л. от 18 июня 2010 г. Ниже находится текст, который представляет собой скорее, не тезисы iconЛыжи для любителей
...
С. Л. от 18 июня 2010 г. Ниже находится текст, который представляет собой скорее, не тезисы icon«политическая культура и идеологические процессы в республике беларусь»
Если политическая культура представляет собой исторически сложившиеся, наиболее устойчивые, проверенные компоненты сознания, то идеология...
С. Л. от 18 июня 2010 г. Ниже находится текст, который представляет собой скорее, не тезисы iconВопросы к зачету и экзамену по курсу "Классическая электродинамика"
Приведенные ниже ответы не являются полными, а скорее служат для пояснения вопроса. При подготовке ограничиваться этими ответами...
С. Л. от 18 июня 2010 г. Ниже находится текст, который представляет собой скорее, не тезисы iconЕврейского Знания 2010 г
Данное методическое пособие посвящено Всемирному Дню Еврейского Знания, который состоится 7 ноября 2010 года, и представляет комплекс...
С. Л. от 18 июня 2010 г. Ниже находится текст, который представляет собой скорее, не тезисы iconМосковский ордена Ленина, ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени
Устройство представляет собой осветительный прибор – фонарь. Данная модификация представляет собой налобный фонарь
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org