Лекция 14 математический аппарат сто



Скачать 37.63 Kb.
Дата08.10.2012
Размер37.63 Kb.
ТипЛекция
ЛЕКЦИЯ 14 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ СТО
14.1 Интервал
Рассмотрим два события в системе отсчета и в системе отсчета . При переходе от системы к системе координаты событий преобразуются в согласии с преобразованиями Лоренца:

. (14.1)

Интервалом между событиями 1 и 2 называется величина

. (14.2)

Одним из следствий преобразований Лоренца является то, что они не изменяют интервал между событиями, т.е.

. (14.3)

Интервал есть инвариант преобразований Лоренца, и является аналогом квадрата расстояния между двумя точками пространства в обычной геометрии.

Интервалы

(14.4)

называются времениподобными. Интервалы

(14.5)

называются пространственноподобными. Если

, (14.6)

интервал называется светоподобным (изотропным).

Если два события разделены времениподобным интервалом, то они могут находиться в причинно-следственной связи друг с другом. Например, могут происходить с одной и той же движущейся частицей. Для событий, разделенных таким интервалом, можно выбрать ИСО, в которой они являются одноместными.

Если два события разделены пространственноподобным интервалом, то они не могут находиться в причинно-следственной связи друг с другом. Для событий, разделенных пространственноподобным интервалом, нельзя выбрать ИСО, в которой они являются одноместными.

Свойство инвариантности интервала (14.2) связывает воедино пространственные и временную координаты событий. Они связаны друг с другом соотношением (14.2), которое является инвариантом преобразований Лоренца. В нерелятивистском случае преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея, и пространство и время не связаны друг с другом (в нерелятивистском случае интервал распадается на два инварианта – пространственный (длина) и временной (промежуток времени)).

14.
2 4-е векторы


В согласии с первым постулатом СТО форма физического закона не должна меняться при переходе от одной ИСО к другой, т.е. форма закона должна быть релятивистски-ковариантной. Для записи законов механики в такой форме следует ввести в рассмотрение 4-е векторы и связанный с ними математический аппарат.

4-е радиус-вектором называется величина

, (14.7)

где - мнимая единица. Компоненты 4-е радиус-вектора преобразуются в согласии с преобразованиями Лоренца:

. (14.8)

В матричной форме записи:

, (14.9)

где

(14.10)

- матрица преобразования, и .

Скалярное произведение вводится по обычному правилу:

. (14.11)

Квадрат 4-е радиус вектора равен интервалу события со знаком минус:

. (14.12)

Компоненты 4-е радиус-вектора рассматривают как координаты события в 4-х мерном пространстве-времени (пространство Минковского). Координаты 4-х мерного пространства являются ортогональными, а формула (14.12) является аналогом теоремы Пифагора в обычной геометрии.

Введем понятие 4-е тензора ранга . 4-е тензором ранга называется совокупность чисел (компонент тензора), которые преобразуются по определенным правилам в согласии с преобразованиями (14.8).

4-е тензор нулевого ранга называется скаляром. Скаляр не меняется при изменении системы отсчета. Его примером является интервал.

4-е тензор первого ранга есть 4-е вектор. Его компоненты преобразуются по формулам (14.8). Пример 4-е вектора – 4-е радиус-вектор. Квадрат 4-е вектора является скаляром, скалярное произведение двух 4-е векторов есть скаляр.

Тензор второго ранга содержит 16 компонент. Его примером является тензор электромагнитного поля, который будет рассмотрен в электродинамике. Отметим, что компоненты тензора второго ранга преобразуются по закону

. (14.13)

Принцип относительности (первый постулат СТО) можно сформулировать теперь в следующей форме: физические законы должны содержать слагаемые, которые преобразуются при изменении системы отсчета однотипным образом, т.е. должны быть тензорами одного и того же ранга. Форма физического закона при этом не меняется. В частности, закон может иметь вид:

,

где - скаляры, или

,

где - компоненты 4-е векторов и .
14.3 4-е скорость и 4-е ускорение

Скорость частицы определяется как производная по времени от радиус-вектора частицы. Введем 4-е вектор скорости как производную от 4-е радиус-вектора по некоторому инварианту – скаляру. Выбор данного инварианта должен быть определен из условия, чтобы три первые компоненты 4-е скорости при малых скоростях переходили в компоненты обычной скорости. Для этого следует определить 4-е скорость как производную 4-е радиус-вектора по собственному времени:

, (14.14)

где . Используя определение (14.7), найдем:

. (14.15)

Квадрат 4-е скорости:

. (14.16)

Аналогично вводим 4-е ускорение:

. (14.17)

Вычислим . В силу формулы (14.16), находим:

, (14.18)

т.е. 4-е скорость и 4-е ускорение ортогональны.




Похожие:

Лекция 14 математический аппарат сто iconКонспект Корнауховой М. Е. Лекция I общие представления о науке
Аристотелевско-птолемеевская концепция, геоцентрическая, один математический аппарат
Лекция 14 математический аппарат сто iconКонспект Корнауховой М. Е. Лекция I общие представления о науке
Аристотелевско-птолемеевская концепция, геоцентрическая, один математический аппарат
Лекция 14 математический аппарат сто iconПрограмма наименование дисциплины Математический анализ
Цели и задачи дисциплины: ознакомление с фундаментальными методами дифференциального и интегрального исчислений. Математический анализ...
Лекция 14 математический аппарат сто iconРабочая программа учебной дисциплины наименование дисциплины Математический анализ
Математический анализ является основой для изучения других математических курсов, дает необходимый математический аппарат для изучения...
Лекция 14 математический аппарат сто iconIii классическое вариационное исчисление
В настоящее время в теории вариационного исчисления разработан мощный и универсальный математический аппарат, позволяющий решать...
Лекция 14 математический аппарат сто iconЛекция Некоторые исторические сведения о возникновении и развитии теории вероятностей
Они были убеждены в том, что на базе массовых случайных событий могут возникать четкие закономерности. Формально-математический аппарат,...
Лекция 14 математический аппарат сто iconПрограмма наименование дисциплины
Цели и задачи дисциплины: ознакомление с фундаментальными методами дифференциального и интегрального исчислений. Математический анализ...
Лекция 14 математический аппарат сто iconЛекция 13 постулаты сто и их следствия 13. 1 Постулаты сто
...
Лекция 14 математический аппарат сто iconЛекция 4) Историч корни российского предпринимательства (10 сер. 17 века)
Гости некоторых крупных городов объединялись в особые привилегированные корпорации: «Московское сто», «Ивановское сто», «Сурожане»...
Лекция 14 математический аппарат сто iconПрограмма курса "квантовая физика"
Математический аппарат квантовой механики (Операторы в гильбертовом пространстве)
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org