Предел функции и непрерывность числовая последовательность. Предел числовой последовательности



Скачать 143.47 Kb.
страница1/2
Дата16.02.2013
Размер143.47 Kb.
ТипГлава
  1   2
Глава 2 Предел функции и непрерывность
§1. Числовая последовательность.

Предел числовой последовательности

1.1. Определение числовой последовательности

Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел (элементов), имеющих определенные номера. Эти числа являются членами последовательности: x1-первый член, x2-второй член, ... , xn-n-ый член. Числовая последовательность обозначается так: {xn}.

Числовую последовательность задают формулой n-го члена: xn=f(n). Например, если

то x1=2, , ..., и т.д.

Числовую последовательность также можно задать рекуррентным соотношением: , x1=1.

Тогда ,, и т.д.
1.2. Предел числовой последовательности

Определение. Число А называется пределом числовой последовательности {xn}, если для такое, что для всех n>N выполняется условие .

Это означает, что в любой окрестности точки А содержится бесконечное множество элементов последовательности.



(1.1)

:
Доказать, что , означает найти зависимость

Пример 1.1. Доказать, что .

Доказательство. Рассмотрим неравенство .


, ,

Для того чтобы для выполнялось условие достаточно выбрать .

Если то , , N=9, т.е. все члены, начиная с x10, находятся в 0,01-окрестности точки 1.




0,99 1 1,01

Числовая последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Если же предел не существует или равен , то последовательность называется расходящейся.
1.3. Свойства передела

1. Предел линейной комбинации

. (1.2)

2. Предел произведения

. (1.3)

3. Предел частного

, если . (1.4)

4. Предел отношения многочленов

Пусть xn и yn многочлены от n степени k и m соответственно, т.е.

xn=Pk(n)=a0 nk+a1nk-1+...+ak, yn=Qm(n)=b0nm+b1nm-1+...+bm




Докажем, что предел отношения многочленов равен пределу отношения их старших членов, т.е.

(1.5)

Имеем: , что и требовалось.

Итак,




(1.6)
Пример 1.2. Найти пределы:
а) б) ,

в)
Решение.

а)

б),

в) .

Следует отметить, что формулы (1.5) и (1.6) справедливы не только для многочленов целой степени, но и для многочленов дробной степени, так как для любого a>0.

Пример 1.3. Найти пределы.

а) ,

б) ,

в) , г) ,

д) , е) .

Решение:

а) В числителе три слагаемых соответственно степени: Следовательно, степень числителя равна , а главный член в числителе равен . Аналогично, главный член в знаменателе Имеем по формулам (1.5) и (1.6):

а)

б)

в)

т.к.

Здесь также можно было использовать идею, что главный член это старший член. Имеем:


г) .

Как видите, идея о главном старшем члене здесь также дает быстрое решение.

Обычно этот предел вычисляется так:




д)

е) Напомним: . Имеем:

.
Пример 1.4. (Неопределенности )

а) , б)

в) .

Решение. Для избавления от неопределенности здесь следует избавиться от иррациональности в числителе, умножив и разделив данное выражение на соответствующее сопряженное выражение.

а) Используем формулу


Для данного примера



Имеем:

а)



б) Напоминаем, что и при .

Имеем:

=

в)






Пример 1.5. Найти предел последовательности, заданной рекуррентным соотношением:

, .

Решение. Сначала докажем, что существует этот предел, используя теорему о существовании предела монотонно возрастающей и ограниченной сверху последовательности.

Возрастание последовательности очевидно:



(n+1) корней n корней

Для доказательства ограниченности последовательности заменим в последнем слагаемом 2 на 4.



Итак, . Тогда, переходя в равенстве к пределу при , получим:





, (не удовлетворяет, т.к. xn > 0)

Следовательно, .

Пример 1.6. Доказать, пользуясь определением предела последовательности, что .

Решение. Имеем:

.

Решив неравенство , получим и ясно, что достаточно выбрать , чтобы для неравенство выполнялось для всех n>N. Что и требовалось.
Задачи к §1

Найти пределы:

1.

2.

3.


4.

5.


6.

7.





8.





9.





10.





11.


12.

13.





14.





15.





16.





17.


18.

19.





20.





21.





22.





23.


24.

25.





26.





27.


28.

29.

30.


31.

32.


33.





34.





35.

36.

37.

38.


39.

40.


41.

42.


43.


44.

45.





46.






47.





48.*





49.*





50.*





51.*





52.*






53-57. Доказать (найти зависимость

53.


54.

55.


56.

57.





58-60. Найти пределы последовательностей, заданных рекуррентными соотношениями.

58.


n=1, 2, ...

59.




60. (a>0)






§2. Предел функции.

Методы вычисления предела функции

2.1. Определение предела функции

Число а называется пределом функции при , если для такое, что для , для которых , выполняется неравенство . Пишут так: .

Число а называется левосторонним пределом функции f(x) при (слева), если для такое, что для , для которых , выполняется неравенство .

Число а называется правосторонним пределом функции f(x) при (справа), если для такое, что для , для которых , выполняется неравенство .

Односторонние пределы удобно обозначать так:



Необходимое и достаточное условие существования предела с помощью односторонних пределов можно записать так:



Предел на бесконечности (при ).

Число a называется пределом функции f (x) при (или , если для такое, что для , для которых , выполняется неравенство .
Пример 2.1. Доказать (найти , что:

а) , б)

Решение. а) Надо доказать, что для , для которых , выполняется неравенство для . Имеем:



Примем . Тогда .

Итак, для такое, что для , для которых .

б) Пусть ,

Тогда

Здесь в числителе пользуемся неравенством а в знаменателе пользуемся неравенством .

Пусть . Тогда .

Итак, для такое, что неравенство выполняется для всех x, для которых .

2.2. Свойства предела функции

  1. Предел линейной комбинации

,



и, вообще, .

2. Предел произведения .

  1. Предел частного

,

если пределы существуют и .

2.3. Методы вычисления предела функции

1. Нахождение предела функции следует начинать с вычисления значения функции в точке x0. Если f(x0) равно конечному числу или , то предел найден. Здесь полезно пользоваться следующими символическими

равенствами:, , , при a>1 ,



Пример 2.2. Найти пределы:

а)


б)


в)


г)


д)





Чаще всего значение f(x0) бывает неопределенным:, , , и т. д. Рассмотрим эти неопределенности.

  1. Неопределенность в случае отношения многочленов рассматривалась в §1. Напомним еще раз:




(n,m >0)

Пример 2.3. Найти пределы:

а)



б) .

3. Неопределенность . Случай отношения многочленов.

Если , то Pn(x) и Qn(x) делятся на x-x0. Можно числитель Pn(x) и знаменатель Qm(x) разделить на (x-x0) или многочлены разложить на множители и сократить множитель x-x0.

Пример 2.4. Найти пределы:

a)

б)


Здесь применена формула

.

в)

Числитель и знаменатель должны делиться на x+2.

Имеем:

x3-2x2+16 | x+2 x4+x3-x-10 | x+2

x3+2x x2-4x+8 x4+2x3 x3-x2+2x-5

-4x2+16 -x3-x

-4x2-8x -x3-2x2

8x+16 2x2-x

8x+16 2x2+4x

0 -5x-10

-5x-10

0

Тогда



4. Неопределенность . Случай отношения иррациональных выражений. Как правило, В этом случае стараются избавиться от иррациональности и после чего сократить множитель x-x0.
Пример 2.5. Найти пределы

а)





,

б)





5. Неопределенность () следует преобразовать в неопределенность .

Пример 2.6. Найти пределы

а)





=.

Предел можно свести к предыдущему с помощью замены x=t6.
б)



=.

6. Неопределенность . Здесь под единицей подразумевается переменная, стремящаяся к 1, а под - переменная, стремящаяся к .

Имеется замечательный предел (второй)

или ,

где е - иррациональное число , основание натурального логарифма. .

Более удобным при вычислении неопределенности являются следствия из второго замечательного предела:

, .

Пример 2.7. Найти пределы.

а)



б)



  1   2

Похожие:

Предел функции и непрерывность числовая последовательность. Предел числовой последовательности iconВопросы к коллоквиуму «Предел числовой последовательности. Предел функции»
...
Предел функции и непрерывность числовая последовательность. Предел числовой последовательности iconВопросы для подготовки к экзамену/зачету 1 семестр
Предел переменной величины. Предел числовой последовательности. Теорема о единственности предела последовательности
Предел функции и непрерывность числовая последовательность. Предел числовой последовательности iconМодуль к теме: «Предел последовательности» Цель
Цель: работая с данным модулем, вы познакомитесь понятием последовательность и предел последовательности, научитесь вычислять пределы...
Предел функции и непрерывность числовая последовательность. Предел числовой последовательности iconПредел числовой последовательности и понятие предела функции
Согласно методу «точечное описание движения», изменение любой переменной величины представляют как последовательность «точек» на...
Предел функции и непрерывность числовая последовательность. Предел числовой последовательности iconВопросы к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции»
Определение монотонной последовательности. Теорема о существовании предела у монотонной последовательности
Предел функции и непрерывность числовая последовательность. Предел числовой последовательности iconПредел последовательности Рассмотрим последовательность. Определение
В этом случае пишут или и говорят, что последовательность имеет предел, равный числу (или стремится к ). Говорят также, что последовательность...
Предел функции и непрерывность числовая последовательность. Предел числовой последовательности iconПредел функций. I. Предел функции в точке и на бесконечности. Основные теоремы о пределах. Бесконечно малые функции свойства бесконечно малых. Связь функций, её предела и бесконечно малой. Бесконечно большие функции
Операция предельного перехода является одной из основных операций анализа. В настоящей лекции рассматривается простейшая форма операции...
Предел функции и непрерывность числовая последовательность. Предел числовой последовательности iconЧисловая последовательность
В этой Главе элементы числовой последовательности будем обозначать (), а сами последовательности
Предел функции и непрерывность числовая последовательность. Предел числовой последовательности iconСамостоятельная работа 1 Предел числовой последовательности
Укажите номер того члена последовательности, начиная с которого все члены последовательности попадут в окрестность точки
Предел функции и непрерывность числовая последовательность. Предел числовой последовательности iconВопросы к зачету по теме: «Предел последовательности и предел функции»
Вопросы к зачету по теме: «Предел последовательности и предел функции» (16. 03 – 18. 03)
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org