План Проективная геометрия Аксиоматика Некоторые свойства



Скачать 137.71 Kb.
Дата08.10.2012
Размер137.71 Kb.
ТипДокументы

План

Проективная геометрия

Аксиоматика

Некоторые свойства

Двойственность

Теорема Дезарга

Недезаргова геометрия

Задачи

Проективная геометрия



Проективная геометрия — раздел геометрии, изучающий проективные плоскости и пространства. Главная особенность проективной геометрии состоит в принципе двойственности, который прибавляет изящную симметрию во многие конструкции. [википедия]
Геометрическая задача сосотит в следующем. Если через глаз наблюдателя, считая его точкой, в каждую видимую точку предмета провести прямую, то каждая из этих прямых пересечет плоскость, помещенную мужду глазом и предметом в определенной точке (рис. 1). Совокупность полученных точек образует изображение предмета на плоскости. Это изображение и требуется построить. [семенович. Стр. 29-30]
Итак, примем произвольную точку S пространства за центр проекций, а произвольную плоскость – за плоскость проекций. Соединяем эту точку прямой линией AS с центром проекций S и находим точку пересечения этой прямой с плоскостью проекций (Рис.). Точка и называется центральной проекцией.



Рис. . Центральная проекция [четверухин. Стр. 68]
Известный французский геометр Понселе (1788-1867) выделил класс геометрических фигур, инвариантных относительно центрального проектирования и назвал их проективными. [семенович. Стр. 30]
Перспективное отображение не сохраняет ни длины отрезка, ни середины отрезка, ни меры угла, ни перпендикулярности, ни параллельности прямых. Следовательно, все эти понятия не являются проективными и не могут встречаться в проективных предложения. [комиссарук. Стр. 51]

При проектировании точек одной плоскости на другую не каждая точка плоскости имеет образ на плоскости и не каждая точка gif" name="object7" align=absmiddle width=22 height=20> имеет прообраз . Это обстоятельство привело к необходимости дополнения евклидовой плоскости т. н. бесконечно удалённой или несобственной точкой, которую обозначают .

[http://www.cultinfo.ru/fulltext/1/001/008/093/137.htm] Остальные точки евклидовой плоскости называют собственными.

Прямая, имея одну бесконечно удаленную точку, пересекается с геометричечким местом несобственных точек плоскости в одной точке. Этому условию может удовлетворить только прямая. Отсюда можно сделать вывод, что геометрическим местом несобственных точек плоскости следует считать прямую линию. [муравьев. Стр. 169]

Каждая прямая проективной плоскости пересекается с бесконечно удаленной прямой этой плоскости только в одной бесконечно удаленной точке. Следовательно, на проективной плоскости бесконечно удаленная прямая одна. [муравьев. Стр. 171]
Взаимное расположение собственных и несобственных точек определяются следующими соглашениями, вытекающими из определения несобственных точек:

  1. Каждая прямая имеет одну несобственную точку;

  2. Несобственная точка прямой принадлежит любой плоскости, проходящей через эту прямую;

  3. всякие две параллельные прямые имеют общую несобственную точку;

  4. всякие две непараллельные прямые имеют различные несобственные точки;

  5. совокупность всех несобственных точек плоскости есть несобственная прямая этой плоскости;

  6. всякие две параллельные плоскости имеют общую несобственную прямую;

  7. совокупность всех несобственных точек пространства есть несобственная плоскость.

[комиссарук. Стр. 51-52]
Определение: Прямая, дополненная несобственной точкой, называется проективной прямой. Плоскость, дополненная несобственной прямой, называется проективной плоскостью. Пространство, дополненное несобственной плоскостью, называется проективным пространством. [комиссарук. Стр. 52]


Аксиоматика


Проективная геометрия может быть построена на собственном аксиоматическом фундаменте. Т.к. в проективном пространстве между точками, прямыми и плоскостями существует лишь два отношения:принадлежности и разделенности, то проективная аксиоматика содержит лишь аксиомы принадлежности, порядка и аксиому непрерывности. [комиссарук. Стр. 68]
Аксиомы принадлежности:

I.Если две точки, принадлежащие прямой a, принадлежат плоскости , то и всякая точка, принадлежащая прямой a, принадлежит плоскости . [комиссарук. Стр. 68]

I.Для всяких двух точек существует единственная прямая, им принадлежащая.

I.Для всяких двух плоскостей существует единственная прямая, им принадлежащая.

I.Для всякой точки и не принадлежащей ей прямой существует единственная плоскость, им принадлежащая.

I.Для всякой плоскости и не принадлежащей ей прямой существует единственная точка, им принадлежащая.

I.Сущечтвуют по крайней мере четыре точки, не принадлежащие одной прямой и одной плоскости.

[семенович. Стр. 41]
Аксиомы порядка

II.Две точки прямой A и B разбивают все остальные точки этой прямой на два не пустых класса. [семенович. Стр. 41]

Определение: Каждый из двух классов, определенных точками A и B, называют отрезком AB, а точки A и B – концами отрезков. [комиссарук. Стр. 68]
Определение: Если точки C и D принадлежат различным классам разбиения тосками A и B, то пары точек AB и CD называют разделенными (в обозначениях: ). Если точки C и D принадлежат одному классу, то пары точек AB и CD называют неразделенными (в обозначениях: ) [семенович. Стр. 41-42]

II.Если , то и .

II.Любые четыре точки прямой могут быть единственным образом разбиты на две разделенные пары.

II. При любом проктировании разделенные пары точек переходят в разделенные пары.
Аксиомой непрерывности проективного пространства служит принцип Дедекинда, данный в прективной форме. [комиссарук. Стр. 68]

III. (Аксиома Дедекинда) Если все точки отрезка AMB разбиты на два не пустых класса так, что каждая точка отнесена к одному и только одному из классов и каждая точка первого класса предшествует любой точке второго класса, то существует точка, производящая это разбиение; она является либо последней точкой первого класса, и тогда ей предшествуют все остальные точки этого класса, либо она первой точкой второго класса, и тогда она предшествует всем остальным его точкам. [семенович. Стр. 42]

Некоторые свойства проективных прямых и плоскостей
Поскольку проективная прямая получена из эвклидовой присоединением к последней еще одной точки, то можно ожидать, что она обладает некоторыми новыми свойствами.
Свойство 1: Любые две прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются. [семенович. Стр. 36]

Целесообразно множество точек, принадлежащих евклидовой прямой, дополнить несобственной точкой, которая должна вместе с тем принадлежать всем прямым, параллельным данной. [четверухин. Стр. 70]

Пусть даны прямые a и b в плоскости . В силу аксиомы I существует точка А, не принадлежащая . По аксиоме I существует плоскость , принадлежащая a и А. По аксиоме I плоскости и пеесекаются по некоторой пряой c. Прямая c проходит через точку А, поэтому с не принадлежит . По аксиоме I прямая с пересекает . Обозначим точку пересечения c и через M. Значит, М принадлежит всем плоскостям , , . Но , поэтому M принадлежит и , поэтому M принадлежит . Таким образом . [семенович. Стр. 42]
Свойство 2: Любые две прямые пересекаются в единственной точке. [с англ. Стр. 139]


Свойство 3: Проективная прямая является замкнутой.

Пусть дана прямая а. Возьмем вне ее точку S (черт. 34) и рассмотрим переменную прямую SM, вращаю­щуюся около S от положения SA до положения SB в направлении, указанном стрелкой. Прямая SM пересекает а в переменной точке М, которая при непрерывном вращении SM от положения SA до положения SB движется также непрерывно от точки А дo точки В, описывая отрезок АМВ. Если, далее, прямую SM вращать непре­рывно в том же направлении от положения SB до первоначального своего положения SA, то переменная точка М будет непрерывно перемещаться на прямой а в одном и том же направлении и зай­мет, наконец, свое первоначальное положение А, пройдя через точки С, D и т. д. Поэтому оставшуюся часть BCDA прямой а сле­дует рассматривать как непрерывный отрезок аналогично отрезку АМВ. Следовательно, проектuвная прямая является замкнутой. [семенович. Стр. 36]



Из замкнутости проективной пря­мой вытекают и другие интересные ее свойства.
Свойство 4: Точка не разделяет проектuвную прямую на две части, на два луча. [семенович. Стр. 37]

На прямой а отметим какие-нибудь точки A и C. Они разбивают прямую а на два отрезка. Один из них не содержит несобственной точки и совпадает с обычным отрезком AC в евклидовой плоскости. Другой отрезок замкнутой прямой а содержит несобственную точку . Обозначим этот отрезок через . [четверухин. Стр. 80]

Понятие “луч” поэтому отсутству­ет в проективной геометрии В евклидовой геометрии разбиение пря­мой на два луча означало, что об­щая вершина их лежала между любыми двумя точками различных лучей. Но соотношение «лежать между» не имеет смысла для точек на замкнутых линиях, а значит, и для точек проективцой прямой. [семенович. Стр. 37]
Свойство 5: Проектusная прямая не разбивает nроектusную nлоскость на две nолуnлоскости. [семенович. Стр. 38]

Н


Чертеж 74б

Четверухин стр.85
а проективной плоскости две прямые
a и b (всегда пересекающиеся) образуют всего лишь две области, отмеченные на чертеже (черт. 74б.) цифрами 1,1 и 2,2. В самом деле, точки A и B лежат в одной и той же области, т.к. обе точки пересечения X и Y принадлежат одному отрезку, а именно отрезку AB. Следовательно, второй отрезок не имеет общих точекс граничными прямыми a и b, т.е. точки A и B лежат в одной области. Эта область и обозначена цифрами 1,1. На этом же чертеже показана и другая пара точек C и D, принадлежащих разным областям. Действительно, каждый из двух соединяющих эти точки отрезков имеет точку пересечения с одной из граничных точек. Так отрезок CD содержит точку пересечения с прямой a, в то время как отрезок содержит точку пересечения с прямой b. Следовательно, точки C и D должны быть отнесены к разным областям. [четверухин. Стр. 85-86]
Свойство 6: Проективная плоскость является односторонней. [семенович. Стр. 39]

Lemma 8.8. В любом конечном проективном пространстве существует положительное целое число n такое, что каждая линия содержит n + 1 точку и каждая точка лежит на n + 1 линии.

Доказательство: Выберем любые две линии a и b. Так как эти две линии пересекаются, аксиома I подразумевает существование некоторого точки P ни на одной из линий. По аксиоме I и свойства 2 там существует линия, соединяющая точку P с каждой точкой прямой a и вместе они составляют все линии проходящие через P.

Следовательно число точек на a должно быть то же самое как число линий через P. Позвольте этому числу быть n + 1. Но каждая линия через P также пересекает b так, чтобы также содержала n + 1 точку. ■ [с англ. Стр. 139]

Треугольник — это три точки, соединённые попарно прямыми. Полный четырёхугольник — это четыре точки (вершины) в одной плоскости, из которых никакие три не коллинеарны, соединённые попарно прямыми. Пересечение двух из этих прямых, не являющееся вершиной, называется диагональной точкой. Полный четырёхгранник определяется аналогично, но с точками вместо прямых и прямыми вместо точек. Аналогично можно определить полный n-угольник и полный n-гранник. [википедия]

Два треугольника перспективны если они могут быть соединены с помощью перспективности, то есть их грани пересекаются на коллинеарных точках (перспективность сквозь прямую) или их вершины соединены конкурентными прямыми (перспективность сквозь точку). [википедия]

Теорема Дезарга
В проективной геометрии, теорема Дезарга
(Дезарг (Désargues) Жерар [1593, Лион, – 1662, там же (по другим данным – 1591–1661)], французский математик. Заложил основы проективной и начертательной геометрии. В своих исследованиях систематически применял перспективное изображение. http://www.college.ru/mathematics/courses/planimetry/content/scientist/desargues.html)
является одной из самых ранних теорем. Она может быть сформулирована следующим образом:




Если два треугольника на плоскости расположены таким образом, что прямые, соединяющие соответственные вершины, конкурентны, то три точки, в которых пересекаются продолжения трёх пар соответственных сторон, коллинеарны.


Обратное тоже верно,

Если два треугольника на плоскости расположены таким образом, что три точки, в которых пересекаются продолжения трёх пар соответственных сторон, коллинеарны, то прямые, соединяющие соответственные вершины, конкурентны.

Эти две теоремы являюся двойственными друг к другу.

Возможное доказательство основывается на переходе в пространство — достаточно представить один треугольник сечением пирамиды, основанием которой является другой треугольник, а вершиной — точка пересечения трех конкурентных прямых. Вся картина при этом — проекция на плоскость пространственной структуры.

[википедия]

Недезаргова геометрия


Недезаргова геометрияпроективная геометрия плоскости, в которой теорема Дезарга может не иметь места. В этом случае проективная плоскость называется недезарговой (проективной) плоскостью.

Теорема Дезарга не может быть доказана в плоскости на основе лишь проективных аксиом плоскости без привлечения аксиом конгруэнтности или без привлечения пространственных аксиом. Например, в геометрии плоскости, построенной на основе всех плоскостных системы аксиом Гильберта, за исключением аксиомы конгруэнтности треугольников, теорема Дезарга не может быть получена как их следствие. Геометрия этой плоскости является недезарговой, она не может рассматриваться как часть пространственной геометрии, в которой выполняются все аксиомы системы Гильберта, кроме указанной аксиомы конгруэнтности. Другими словами недезаргова проективная плоскость не вкладывается в проективные пространства высших размерностей.

Возможность построения недезарговой геометрии плоскости позволяет выяснить независимость различных групп аксиом системы Гильберта, а также выяснить роль теоремы Дезарга как независимой дополнительной аксиомы плоской проективной геометрии.

 [википедия]

Теорема Паппа

Теорема Паппа — это классическая теорема проективной геометрии. Она является частным случаем теоремы Паскаля. Теоремы можно сформулировать следующим образом:


Пусть A, B, C — три точки на одной прямой, а A' , B' , C' — на другой. Пусть три прямые АВ' , BC' , CA' пересекают прямые A'B, B'C, C'A, соответственно в точках X, Y и Z. Тогда X, Y и Z лежат на одной прямой.


[википедия]

Проективное преобразование


Отображение P плоскости α на плоскость β называют проективным, если оно является композицией центральных проектирований и аффинных преобразований, т. е. если существуют плоскости α0 = α, и отображения Pi плоскостей αi на αi + 1, каждое из которых является либо центральным проектированием, либо аффинным преобразованием, причём P является композицией преобразований Pi. В случае, когда плоскость α совпадает с плоскостью β, отображение P называют проективным преобразованием плоскости α.

Прообраз бесконечно удаленной прямой называется исключительной прямой данного проективного преобразования.

[википедия]

Проективное пространство



Проективное n-мерное пространство Pn над полем K — это наборы из (n + 1) однородных координат, то есть всевозможные наборы , кроме нулевого, причём два набора и считаются равными, если существует такая ненулевая константа t из K, что , для всех .

Проективное пространство может рассматриваться как множество всевозможных ненулевых векторов аффинного пространства той же размерности
[википедия]
http://ilib.mccme.ru/

Р.Курант, Г.Роббинс, Что такое математика?

http://www.mccme.ru/free-books/pdf/kurant.htm

Г. С. М. Коксетер, С. П. Грейтцер Новые встречи с геометрией

http://ilib.mccme.ru/djvu/geometry/kokseter.htm

Наглядная геометрия. Перевод с немецкого. Изд.4.

Гильберт Д., Кон-Фоссен С. 2004. 344 с. 111 руб.

Похожие:

План Проективная геометрия Аксиоматика Некоторые свойства iconПроективная геометрия
Так, французский геометр Понселе одним из первых выделил особые свойства геометрических фигур, названные им проективными
План Проективная геометрия Аксиоматика Некоторые свойства iconПроективная геометрия
Так, французский геометр Понселе одним из первых выделил особые свойства геометрических фигур, названные им проективными
План Проективная геометрия Аксиоматика Некоторые свойства icon10. Некоторые свойства проективных прямых и плоскостей
Поскольку проективная прямая получена из евклидовой при­соединением к последней еще одной точки, то можно ожидать, что она обладает...
План Проективная геометрия Аксиоматика Некоторые свойства iconАлексей Мякишев Элементарная геометрия и компьютер. Москва, 2006 г. Некоторые замечания о Геометрии и Компьютере вообще. Понятию «Элементарная Геометрия»
С точки зрения большинства школьных учебников, это, по-видимому, дисциплина, изучающая свойства объектов, которые можно построить...
План Проективная геометрия Аксиоматика Некоторые свойства iconПроективная методика Дом-дерево-человек. Проективная методика исследования личности. Предложена Дж. Буком в 1948 г
Проективная методика исследования личности. Предложена Дж. Буком в 1948 г. Тест предназначен для обследования как взрослых, так и...
План Проективная геометрия Аксиоматика Некоторые свойства iconНекоторые разделы курса «Аналитическая геометрия и линейная алгебра»
...
План Проективная геометрия Аксиоматика Некоторые свойства iconПоверхность Мёбиуса
Геометрия-слово греческое, в переводе на русский язык означает землемерие, изучает свойства фигур. Как и любая наука геометрия делится...
План Проективная геометрия Аксиоматика Некоторые свойства iconПоверхность Мёбиуса
Геометрия-слово греческое, в переводе на русский язык означает землемерие, изучает свойства фигур. Как и любая наука геометрия делится...
План Проективная геометрия Аксиоматика Некоторые свойства iconЭлементы проективной геометрии Перспектива и проективная геометрия
Изображения второго типа (перспективные) осваивают узкие специалисты – художники и архитекторы. В чем разница? Чтобы ответить на...
План Проективная геометрия Аксиоматика Некоторые свойства icon«аксиоматика». Знакомство с темой исследования
Краткий проект исследования по алгоритму теоретического исследования «аксиоматика»
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org