Равными, если а = с и b = d. Алгебраическая форма комплексного числа



Скачать 30.65 Kb.
Дата19.10.2012
Размер30.65 Kb.
ТипДокументы
Комплексные числа

Комплексным числом называется выражение вида а + bi, в котором а и b – действительные числа, а i – некоторый символ такой, что


Два комплексных числа (a; b) и (c; d) называются равными, если а = с и b = d.

Алгебраическая форма комплексного числа

Запись a + bi

называется алгебраической формой комплексного числа z = (a; b).

Число адействительная часть;

число bi - мнимая часть комплексного числа.

Комплексные числа, действительные части которых равны, а мнимые противоположны по знаку, называются сопряженными.

Арифметические операции над комплексными числами

Суммой комплексных чисел z = (a; b) и w = (c; d) называется комплексное число (a+c; b+d).

Разностью комплексных чисел z = (a; b) и w = (c; d) называют такое число и, которое в сумме с числом w даёт число z

z = w + и.

Справедливо следующее правило

(a; b) – (c; d) = (a – c; b – d).

Произведением комплексных чисел z = (a; b) и w = (c; d)

называют комплексное число (ac – bd; ad + bc)

Частным от деления z на w называют число u, равное:




U
Пример 1

Вычислить



Геометрический смысл комплексного числа

Если комплексное число Z= a+bi трактовать как точку M (a,b) плоскости xOy, то модуль Z равен расстоянию точки M (a,b) от начала координат

Если на плоскости ввести полярные координаты (r,φ), то а = rCOS φ,

b = rSIN φ
В силу этого комплексное число Z можно записать в форме

z = r(COS φ+iSIN φ),

где r – модуль числа Z, φ – угол (в рад.), который составляет вектор OM с положительным направлением оси ox.

Тригонометрическая форма комплексного числа

Тgif" name="object5" align=left hspace=12 width=78 height=22>ригонометрической формой комплексного числа называют его запись в виде:

z = r(cosφ + isinφ), где - модуль, а

φ – аргумент числа z, связанный с а и b формулами:




(*)





Угол φ из промежутка называется главным аргументом. Все остальные значения угла φ могут быть получены прибавлением к главному аргументу значений 2n, где n –любое целое число.

Пример2.

Записать в тригонометрической форме:




Сначала находим модуль числа:
Далее, согласно формулам (*) ,



имеем:




Учитывая, что угол

Итак:

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

При умножении/делении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются /делятся, а аргументы складываются (вычитаются).




(1)
(2)
Пример3. Выполнить действия:



Используя формулу (1), находим:


Корень n-й степени из комплексного числа z = r (Cosφ + iSinφ) имеет n различных значений, которые находятся по формуле :




(3)
Здесь к = 0, 1, 2, … n-1

Пример4. Решить уравнение

Корнями данного уравнения являются все значения

Для числа - 4 имеем r = 4,

Согласно формуле(3),

находим:




Если к = 0, то




Если к = 1, то
При возведении комплексного числа

z = r (Cosφ + iSinφ) в натуральную степень n

модуль данного числа возводится в эту степень,

а аргумент умножается на показатель степени



формула Муавра

Похожие:

Равными, если а = с и b = d. Алгебраическая форма комплексного числа iconИсследование выпуклости функции. Точки перегиба. Асимптоты функций. Понятие об асимптотическом разложении. Общая схема исследования функции и построения ее графика
Комплексные числа и действия над ними. Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая...
Равными, если а = с и b = d. Алгебраическая форма комплексного числа iconТематический план практических занятий по дисциплине «Математический анализ»
Тем Комплексные числа и действия над ними. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Формула Муавра. Показательная...
Равными, если а = с и b = d. Алгебраическая форма комплексного числа iconКоплексные числа. Алгебраическая форма записи комплексного числа
При каких значениях вещественных параметров х и у числа и являются сопряженными?
Равными, если а = с и b = d. Алгебраическая форма комплексного числа iconЭкзаменационные вопросы Целые, рациональные, действительные числа. Числовые множества, операции над множествами
Комплексные числа: модуль и аргумент комплексного числа; алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа;...
Равными, если а = с и b = d. Алгебраическая форма комплексного числа iconЭкзаменационные вопросы Целые, рациональные, действительные числа. Числовые множества, операции над множествами
Комплексные числа: модуль и аргумент комплексного числа; алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа;...
Равными, если а = с и b = d. Алгебраическая форма комплексного числа iconВопросы по курсу «Математика»
Алгебраическая форма комплексного числа, действия над комплексными числами в алгебраической форме
Равными, если а = с и b = d. Алгебраическая форма комплексного числа iconВопросы к экзамену по дисциплине «Геометрия и алгебра»
Алгебраическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме
Равными, если а = с и b = d. Алгебраическая форма комплексного числа iconВопросы к экзамену по высшей математике (1 курс, 1 семестр)
Алгебраическая форма комплексного числа, действия над комплексными числами в алгебраической форме
Равными, если а = с и b = d. Алгебраическая форма комплексного числа iconПрограмма экзамена по высшей математике спец. «Радиотехника»
Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая и показательная форма записи комплексного числа
Равными, если а = с и b = d. Алгебраическая форма комплексного числа iconУрок №4 Тема 1 введение в курс математики вопросы: Понятие комплексного числа (алгебраическая форма записи)
Множество действительных чисел позволяет полностью оценить количественные стороны явлений действительности. При помощи действительных...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org