Комплексные числа, геометрия комплексных чисел Комплексные числа получаются из действительных чисел



Скачать 25.58 Kb.
Дата19.10.2012
Размер25.58 Kb.
ТипДокументы
Комплексные числа, геометрия комплексных чисел

Комплексные числа получаются из действительных чисел добавлением нового числа , обладающего свойством
.
Число называется мнимой единицей. При этом добавлении предполагается, что сохраняются все арифметические операции, и что все они сохраняют свои свойства. Отсюда следует, что вместе с новому множеству чисел принадлежат, во-первых, все числа вида , а во-вторых, и все числа вида . Множество всех таких чисел называется множеством комплексных чисел (комплексной плоскостью) и обозначается
.
Условие, что сохраняются все арифметические операции и их свойства, приводит к следующему определению арифметических операций с комплексными числами. Пусть и . Тогда








  • .


Имеется удобное геометрическое представление комплексных чисел, когда каждое число представляется точкой или вектором с координатами на координатной плоскости.





Именно эта плоскость называется комплексной плоскость , ось абсцисс здесь называется действительной осью, ось ординат – мнимой.

С каждым комплексным числом gif" name="object19" align=absmiddle width=63 height=18> связаны следующие характеристики – функции


  • – модуль комплексного числа, мы видим, что это длина вектора

  • – действительная часть

  • – мнимая часть

  • – аргумент, мы видим, что это угол между осью абсцисс и вектором

  • – комплексное число, сопряженное к .

Все эти функции имеются в Mathcad. Хочу подчеркнуть, что правильное вычисление аргумента выполняется именно функцией , но никак не . Ни в коем случае не используйте арктангенс для вычисления аргумента, иначе можете получить ошибочный результат.
Формулы для сложения и вычитания показывают, что

при сложении комплексных чисел соответствующие им векторы складываются, а при вычитании – вычитаются.
Гораздо интереснее обстоит дело с умножением. Чтобы разобраться с этим, введем новую форму записи комплексного числа . В соответствии с рисунком введем обозначения , . Тогда тот же самый рисунок показывает, что и , и следовательно
,

т.е.

.
Это представление называется представлением комплексного числа в тригонометрическом виде.

Будем перемножать два комплексных числа , , представив их в тригонометрическом виде и

Но в первой скобке стоит косинус суммы, а во второй – синус суммы. Значит
.
И это означает, что

при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
И точно так же доказывается, что

при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются
.
Из формулы для умножения комплексных чисел следует формула для возведения в степень
,
которая называется формулой Муавра.

Похожие:

Комплексные числа, геометрия комплексных чисел Комплексные числа получаются из действительных чисел iconКомплексные числа, арифметика комплексных чисел Комплексные числа получаются из действительных чисел
Комплексные числа получаются из действительных чисел добавлением нового числа, обладающего свойством
Комплексные числа, геометрия комплексных чисел Комплексные числа получаются из действительных чисел icon1. Комплексные числа
Комплексные числа – упорядоченная пара (x; y) действительных чисел, если для множества этих чисел определяется равенство и операции...
Комплексные числа, геометрия комплексных чисел Комплексные числа получаются из действительных чисел iconРабочая программа учебной дисциплины «Теория функций комплексной переменной»
Таким расширением области действительных чисел являются комплексные числа. Замечательным свойством комплексных чисел является тот...
Комплексные числа, геометрия комплексных чисел Комплексные числа получаются из действительных чисел iconРабочая программа учебной дисциплины «Теория функций комплексной переменной»
Таким расширением области действительных чисел являются комплексные числа. Замечательным свойством комплексных чисел является тот...
Комплексные числа, геометрия комплексных чисел Комплексные числа получаются из действительных чисел iconКомплексные числа
Комплексные числа представляют собой расширение множества действительных чисел. Впервые с необходимостью их введения математики столкнулись...
Комплексные числа, геометрия комплексных чисел Комплексные числа получаются из действительных чисел iconПрограмма курса высшей алгебры и теории чисел январь 2011 I. Комплексные числа
Свойства сопряжения, тригонометрическая форма комплексного числа, равенство комплексных чисел, записанных в тригонометрическом виде,...
Комплексные числа, геометрия комплексных чисел Комплексные числа получаются из действительных чисел iconРешение задач с параметром на множестве комплексных чисел
Выбор темы: Комплексные числа математическая модель для описания и изображения материальных точек в решении прикладных задач по физике....
Комплексные числа, геометрия комплексных чисел Комплексные числа получаются из действительных чисел iconКомплексные числа Обозначим через с множество пар упорядоченных действительных чисел: Определение
Определение. Упорядоченную пару действительных чисел называют комплексным числом
Комплексные числа, геометрия комплексных чисел Комплексные числа получаются из действительных чисел icon«Комплексные числа»
Приложение 2: Показательная форма записи комплексных чисел. Ло­гарифм комплексного числа
Комплексные числа, геометрия комплексных чисел Комплексные числа получаются из действительных чисел iconКомплексные числа
Когда расширили множество рациональных чисел до множества действительных (вещественных) чисел, то была решена и эта проблема. В общеобразовательных...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org