Решение Обозначим искомые числа через Х и У. Так как числаХиУ делятся на 13, то их можно записать в следующем виде Х=13а и у=13В, гдеАиВ целые числа. ЧислаХиУ являются делителями числа 78 и, следовательно, не превосходят его



Скачать 87.32 Kb.
Дата19.10.2012
Размер87.32 Kb.
ТипРешение

четверг, 6 января 2011 г.

ЗАДАЧИ ТИПА С6.

ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

ЕДИНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН

Универсальные материалы для подготовки учащихся

МАТЕМАТИКА

(ВЫПИСКА)

Авторское решение задач.

О недостатках прошу сообщить

по обратной связи с

главной страницы.
С6.1. Найдите все пары натуральных чисел, наименьшее общее кратное которых равно 78, наибольший общий делитель равен 13.

РЕШЕНИЕ. Обозначим искомые числа через Х и У. Так как числа Х и У делятся на 13, то их можно записать в следующем виде Х=13А И У=13В, где А и В – целые числа. Числа Х и У являются делителями числа 78 и, следовательно, не превосходят его. Т.к. число А натуральное число, то искомое число Х находится среди чисел

13, 26, 39, 52, 65 и 78. Из этих чисел только числа 13, 26, 39,и 78 являются делителями числа 78. Таким образом, искомое число Х находится среди чисел 13, 26, 39 и 78. Аналогично, искомое число У также находится среди чисел 13, 26, 39 и 78.

Рассмотрим все пары из этих чисел.









ЗНАЧЕНИЕ Х







13

26

39

78

ЗНАЧЕНИЕ

У

13

НОК=13

НОД=13

НЕ ПОДХОДИТ

НОК=26

НОД=13

НЕ ПОДХОДИТ

НОК=39

НОД=13

НЕ ПОДХОДИТ

НОД=13

НОК=78

ПОДХОДИТ

26

НОК=26

НОД=13

НЕ ПОДХОДИТ

НОК=26

НОД=26

НЕ ПОДХОДИТ

НОД=13

НОК=78

ПОДХОДИТ

НОК=78

НОД=26

НЕ ПОДХОДИТ

39

НОК=39

НОД=13

НЕ ПОДХОДИТ

НОД=13

НОК=78

ПОДХОДИТ

НОК =39

НОД=39

НЕ ПОДХОДИТ

НОД=39

НОК=78

НЕ ПОДХОДИТ

78

НОД=13

НОК=78

ПОДХОДИТ

НОД=26

НОК=78

НЕ ПОДХОДИТ


НОД=39

НОК=78

НЕ ПОДХОДИТ

НОД=78

НОК=78

НЕ ПОДХОДИТ

ОТВЕТ: Условию задачи удовлетворяют ровно две пары чисел

{13 и 78} и {26 и 39}.
С6.2. Найдите все пары натуральных чисел, разность которых 66, а их наименьшее общее кратное равно 360.

РЕШЕНИЕ. Обозначим искомые числа через Х и У. Эти числа связаны соотношением У=Х+ 66. Ясно, что У>66. Число 360 делится на Х и на У.

Тогда, 360= mX и 360=nY, где m и n натуральные числа. Возможные значения числа У находятся среди делителей числа 360 больших, чем 66.

Такими числами являются: 72, 90, 120, 180 и 360.

Соответствующие им значения числа Х: 6, 24, 54, 114 и 294. Числа 54, 114 и 294 не являются делителями числа 360. Следовательно, искомые значения числа Х находятся среди чисел: 6 и 24.

Пара чисел 6 и 72 не удовлетворяет условиям задачи, так как их НОК равен 72.

Пара 24 и 90 подходит.

ОТВЕТ: Одна пара чисел: 24 и 90.

С6. 3. Найдите все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 55.

РЕШЕНИЕ.

Обозначим искомые числа через А и С. Из условия получаем: А22=55. Тогда

(А-С)(А+С)=55. Число 55 представлено в виде произведения двух чисел. Число 55 можно представить виде произведения двух чисел двумя способами: 55= 1*55 и 55=5*11 Таким образом, получается две системы уравнений.

А-С=1 А-С=5

А+С=55 А+С=11
Из первой системы получаем: А=28;С=27.

Из второй системы получаем: А=8;С=3

ОТВЕТ: Таких пар чисел ровно две {28 и 27} и {8 и 3}.
С6.4. Найдите все пары таких чисел, для которых их сумма, произведение и разность квадратов одинаковы.

РЕШЕНИЕ.

Обозначим искомые числа через К и М. Из условия следует

К+М=КМ= К22

К+М=(К-М)(К+М) К+М- (К-М)(К+М) =0 (К+М)(1-К+М)=0

Из последнего соотношения следует, что либо К+М=0, либо 1-К+М=0.

Рассмотрим случай К+М=0 Тогда КМ=0 Получаем систему уравнений

К+М=0 К=-М

КМ=0 КМ=0 -М2=0 М=0 Тогда и К=0

Получили пару чисел М=К=0.

Рассмотрим случай 1- К+М=0. Получаем систему уравнений

  1. К+М=0

К+М=КМ Из первого уравнения получаем К=М+1. Подставляем во второе
уравнение М+1+М=(М+1)М М2 –М-1=0

Тогда
ОТВЕТ: Получены все три пары таких чисел
{0 и 0}




и и

С6.5. Найдите двухзначное число, которое на 19 больше суммы квадратов его десятичных цифр и на 44 больше удвоенного произведения его цифр.

РЕШЕНИЕ.

Обозначим искомое число ХУ=10Х+У. Из условия задачи получаем систему уравнений

10Х +У= Х22+19

10Х+У=2ХУ+44

Из системы получаем Х22+19=2ХУ+44.

Х22-2ХУ=25 Следовательно, Х - У=5 или Х - У= -5.

Пусть Х - У=5. Тогда Х=5+У. Подставим во второе уравнение

10(5+У)+У=2(У+5)У+44

2-У-6=0 Корни этого уравнения У=2 и У=-3. Второй корень не подходит по смыслу.

Тогда Х=У+5=2+5=7 . Таким образом, найдено одно из значений искомого числа..

Далее рассмотрим случай, когда Х-У=-5.

Х=У-5

Подставим значение Х во второе уравнение системы

10(У-5)+У=2(У-5)У+44

2-21У+94=0 Дискриминант этого уравнения D=1193. Если число оканчивается на 3, то оно не может быть квадратом целого числа. Значит, это уравнение не имеет целых корней.

ОТВЕТ: Искомое число равно 72

С6.6. Произведение натурального числискомрго числаа и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, равно 2430. Найдите о можных значений и вооднвсе такие числа.

РЕШЕНИЕ.

Искомое число двухзначное, т.к. произведение двух однозначных чисел не больше 81, а произведение двух трёхзначных чисел не меньше 10000. Запишем искомое число в виде 10А+В. Тогда второй сомножитель запишется в виде 10В+А.

Из условия следует

(10А+В)(10В+А)=2430

Раскроем скобки

100АВ +10В2+10А2+АВ=2430.

Последняя цифра числа в левой части выражения равна последней цифре произведения АВ и должна равняться нулю. Это возможно в двух случаях:

  • хотя бы одно из чисел А и В равно нулю (в этом случае равенство невозможно).

  • одно из чисел рано 5, а другое чётное число.

Пусть А=5. Тогда В одно из чисел 2, 4, 6 или 8.

Тогда искомое число одно из чисел 52, 54, 56 и 58.. Второй сомножитель соответственно

Равен 25, 45, 65 и 85.

Проверим каждую пару

52*25<2430 ; 54*45=2430; 56*65>2430; 58*85>2430.

Значит, подходит только число 54.

Пусть В=5. Рассуждая аналогично, найдём ещё одно число -45.

ОТВЕТ:

Таких чисел два: 45 и 54.

С6.7. Найдите все натуральные значения n, удовлетворяющие уравнению
, (1)

где [x] – наибольшее целое число, не превосходящее х.

РЕШЕНИЕ.

Заметим, что



Следовательно,



Значит,
Очевидно, что и

Тогда



Таким образом, правая часть равенства (1) равна

Рассмотрим левую часть равенства (1)

Так как

,

получаем

При n от 1 до 2008 включительно получаем, что левая часть равенства (1) также равна
Открытым остаётся вопрос при n>2008.

Ясно, что

При n>2008 левая часть равенства больше правой части.

ОТВЕТ: все натуральные числа
С6.8 Натуральные числа А, В и С таковы, что НОК(А,В)=60, НОК(А,С)=270.

Чему равен НОК(В,С)?

РЕШЕНИЕ.

Разложим 60 и 270 на простые множители:

60=2*2*3*5=22*3*5 и 270=2*3*3*3*5=2*33*5. Отсюда следует, что числа А, В и С при разложении на простые множители могут содержать только сомножители 2, 3 и 5. Значит,



MAX(a1,b1)=2 и MAX(a1,c1)=1 Следовательно, а1=1 или а1=0, b1=2, c1=0 или с1=1. Значит, мах (с1,b1)=2.

Аналогично, мах(а2,b2)=1 и мах(а22)=3. Следовательно, мах(b2,c2)=3.

Аналогично, мах(а3,b3)=1 и мах(а33)=1. Следовательно, мах(b3,c3)= либо 0, либо 1.

НОК( B,C)=108 либо 540

ОТВЕТ: 108 или 540
С6.9. На клетчатой бумаге отмечен прямоугольник с вершинами в узлах сетки клеток, причём числа m и n взаимно простые и m

Найти все возможные значения m и n.

Примечание к условию задачи.

Видимо под числами m и n подразумеваются
длины сторон прямоугольника.


РЕШЕНИЕ.































































Поскольку числа m и n взаимно простые, то

диагональ прямоугольника не проходит через узлы сетки. Поэтому при пересечении горизонтальной линии сетки диагональ проходит через 2 клетки. В остальных местах в каждом вертикальном ряду клеток диагональ пересекает по одной клетке. Диагональ пересекает m – 1 горизонтальную линию.

Следовательно, диагональ пересекает n + m -1 клетку. Общее число клеток в прямоугольнике равно mn. Тогда получаем

mn –m –n + 1=116

m(n -1) –(n-1)=116

(n -1)(m-1)=116

Число 116 можно представить в виде произведения двух чисел

116=1*116=2*58=4*29

Получаем 3 системы уравнений

n – 1= 1 n -1=2 n -1=4

m – 1= 116 m -1=58 m -1=29
Из этих трёх систем получаем три пары значений для m и n.

n=2 n=3 n=5

m=117 m=59 m=30
В последней паре значения mи не являются взаимно простыми.

ОТВЕТ: Таких пар чисел ровно две (2;117) и (3;59)6
С6.11. Каким может быть наибольший общий делитель натуральных чисел m и n, если при увеличении числа m на 6 он увеличивается в 4 раза?

РЕШЕНИЕ.

Обозначим НОД(m,n)=x. Тогда НОД(m+6,n)=4x. Так как m делится на х и m+6 делится на х, то 6 делится на х. Значит, х может быть 1, 2, 3 и 6. Проверим эти числа.

Пусть х=1. Тогда НОД(m,n)=1 (оба числа не могут быть чётными) и НОД(m+6,n)=4 (оба
числа чётные). Значение х=1 не годится.


Пусть х=2. Например, при m=2 и n=8 оба условия выполнены. Значение х=2 годится.

Пусть х=3. . Тогда НОД(m,n)=3 (оба числа не могут быть чётными) и НОД(m+6,n)=4
(оба числа чётные). Значение х=3 не годится.


Пусть х=6. Например, при m=18 и n=24 оба условия выполнены. Значение х=6 годится.

ОТВЕТ: 2 или 6.
С6.12. Натуральные числа a, b, c, d удовлетворяют условию ab= cd. Может ли число

а+b+ c+d быть простым?

РЕШЕНИЕ.

Обозначим а+b+ c+d =Р. Из условия задачи .

Тогда и


Так как b+d целое число, то справа сократимая дробь. Значит, с+b при разложении на простые множители обязательно содержит Р, если Р простое число. Из этого следует, что

c+b >=P. Но тогда a+b+c+d>P.
ОТВЕТ: не может

Похожие:

Решение Обозначим искомые числа через Х и У. Так как числаХиУ делятся на 13, то их можно записать в следующем виде Х=13а и у=13В, гдеАиВ целые числа. ЧислаХиУ являются делителями числа 78 и, следовательно, не превосходят его icon«Длинные целые числа. Циклы с предусловием» Длинные целые числа
...
Решение Обозначим искомые числа через Х и У. Так как числаХиУ делятся на 13, то их можно записать в следующем виде Х=13а и у=13В, гдеАиВ целые числа. ЧислаХиУ являются делителями числа 78 и, следовательно, не превосходят его iconЛабораторная работа №1 Системы счисления (двоичная, восьмеричная, десятеричная, шестнадцатеричная)
Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей...
Решение Обозначим искомые числа через Х и У. Так как числаХиУ делятся на 13, то их можно записать в следующем виде Х=13а и у=13В, гдеАиВ целые числа. ЧислаХиУ являются делителями числа 78 и, следовательно, не превосходят его iconКонтрольная работа Пример 1)  Решение определить цену сложности исходной бф по Квайну (С)
Сложность бф по Квайну можно вычислить как сумму числа букв в элементарных конъюнкциях (11), числа отрицаний (5), числа дизъюнкций...
Решение Обозначим искомые числа через Х и У. Так как числаХиУ делятся на 13, то их можно записать в следующем виде Х=13а и у=13В, гдеАиВ целые числа. ЧислаХиУ являются делителями числа 78 и, следовательно, не превосходят его iconВозьмем последовательность чисел, например, от 2 до 30. Выделим в этой последовательности числа, которые делятся на "2". Зачеркнем числа, которые делятся на 2
Зачеркнем числа, которые делятся на в оставшейся последовательности чисел выбираем числа, которые делятся на "3". Зачеркнем числа,...
Решение Обозначим искомые числа через Х и У. Так как числаХиУ делятся на 13, то их можно записать в следующем виде Х=13а и у=13В, гдеАиВ целые числа. ЧислаХиУ являются делителями числа 78 и, следовательно, не превосходят его iconПлан проведения проекта 10 класс действительные числа
Действительные числа. Натуральные и целые числа. Делимость чисел. Основная теорема арифметики натуральных чисел. Рациональные, иррациональные,...
Решение Обозначим искомые числа через Х и У. Так как числаХиУ делятся на 13, то их можно записать в следующем виде Х=13а и у=13В, гдеАиВ целые числа. ЧислаХиУ являются делителями числа 78 и, следовательно, не превосходят его icon1 линейные числа 2 плоские числа
Вот почему Аристотель писал: "Точка есть единица, имеющая положение, единица есть точка без положения". Т. о пифагорейские числа...
Решение Обозначим искомые числа через Х и У. Так как числаХиУ делятся на 13, то их можно записать в следующем виде Х=13а и у=13В, гдеАиВ целые числа. ЧислаХиУ являются делителями числа 78 и, следовательно, не превосходят его iconЭкзаменационные вопросы Целые, рациональные, действительные числа. Числовые множества, операции над множествами
Комплексные числа: модуль и аргумент комплексного числа; алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа;...
Решение Обозначим искомые числа через Х и У. Так как числаХиУ делятся на 13, то их можно записать в следующем виде Х=13а и у=13В, гдеАиВ целые числа. ЧислаХиУ являются делителями числа 78 и, следовательно, не превосходят его iconЭкзаменационные вопросы Целые, рациональные, действительные числа. Числовые множества, операции над множествами
Комплексные числа: модуль и аргумент комплексного числа; алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа;...
Решение Обозначим искомые числа через Х и У. Так как числаХиУ делятся на 13, то их можно записать в следующем виде Х=13а и у=13В, гдеАиВ целые числа. ЧислаХиУ являются делителями числа 78 и, следовательно, не превосходят его iconВариант 1 Записать прямой код числа, интерпретируя его как шестнадцатибитовое целое без знака: а) 20282(10); б) 18094(10). Записать дополнительный код числа, интерпретируя его как шестнадцатибитовое целое со знаком
Записать дополнительный код числа, интерпретируя его как шестнадцатибитовое целое со знаком
Решение Обозначим искомые числа через Х и У. Так как числаХиУ делятся на 13, то их можно записать в следующем виде Х=13а и у=13В, гдеАиВ целые числа. ЧислаХиУ являются делителями числа 78 и, следовательно, не превосходят его iconПростые числа Натуральные числа можно поделить на простые и составные числа
Каждое натуральное число, большее единицы, делится, по крайней мере, на два числа: на 1 и на само себя
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org